专题01 反比例函数的概念重难点题型专训（1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 以反比例函数定义为核心，通过“1知识点+6题型+2拓展+分层检测”构建“概念辨析-应用迁移-综合提升”体系，提炼定义三形式、k≠0条件等关键方法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|1个核心概念|定义三形式（y=k/x,kx⁻¹,xy=k）、k≠0条件|从概念本质出发，明确自变量取值范围与函数图象特征| |6大题型|每题型含2典例+3训练|定义判断（紧扣形式）、参数求解（指数与系数双重条件）、解析式确定（xy=k快速计算）|从描述关系到求解析式，形成“识别-计算-应用”递进链| |拓展训练|2类综合题|跨学科情境（物理电路、视力表）中的反比例关系建模|连接数学与现实，发展应用意识| |自我检测|15题（分层）|基础巩固（定义辨析）、提高拓展（动态问题）、培优深化（综合应用）|覆盖中考高频考点，实现能力分层提升|

专题01 反比例函数的概念重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 求反比例函数解析式 拓展训练一 判断是否为反比例函数 拓展训练二 根据函数表达式求比例系数K 知识点一：反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（2026·上海松江·二模）下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据反比例函数的定义，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、是二次函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； B、的分母不是的单项式，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； C、，符合反比例函数定义，该选项符合题意； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 2．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解：①变形为，含有常数项，不符合反比例函数形式； ②是二次函数，不符合反比例函数形式； ③可化为，其中，符合反比例函数形式； ④可化为，其中，符合反比例函数形式； ⑤分母是而非，不符合反比例函数形式； 综上分析可知：是的反比例函数的是③④． 故答案为：③④． 【经典例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 【详解】解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数． 1．（2025·湖北恩施·一模）如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 【答案】A 【分析】根据功率判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴A选项错误 故选：A． 【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式是解题的关键． 2．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．正确求出反比例函数解析式是解题关键． 根据糖果的总数不变来列式． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【答案】(1)见解析 (2)成反比例，理由见解析 (3) 页 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； 故表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 （2）解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 【经典例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·月考）下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据反比例函数的定义：满足形式的函数是反比例函数，可知只有是反比例函数； 选项A、B、D不满足反比例函数的定义，不是反比例函数． 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·山东东营·月考）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据反比例的三种形式判断即可． 【详解】解：反比例的三种形式分别为：，，． ①中的次数是，是一次函数，不是反比例函数； ②，③是反比例函数； ④中分母是，故不是反比例函数； ⑤是反比例函数； ⑥中没有，故不是反比例函数； ⑦分母是，故不是反比例函数； ⑧中的次数是，是一次函数，不是反比例函数． 故有三个是反比例函数． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·湖南·期中）下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是__________填所有正确的序号． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，判断函数是否为反比例函数，需满足形式（k为常数且），或等价形式如．需逐一分析每个函数是否符合条件，注意分母是否为的一次式，以及是否存在其他变形导致不符合定义的情况． 【详解】解：，未明确说明的取值范围，可能为0，因此不符合题意； ，由于（无论为何实数），分母为，分子为常数且不为零，故符合反比例函数的定义； ，可化简为，分子为常数且，符合定义，故是反比例函数； ，分母为，不符合分类函数的形式，不属于反比例函数，故不符合； ，此为正比例函数，与反比例函数形式不同，故不符合； ，为反比例函数与常数的组合，不符合纯反比例函数的定义，故不符合； ，该函数可化为，自变量的指数是，不等于，不符合反比例函数的定义，故不符合； ，即，显然符合反比例函数的定义，故是反比例函数； ，变形为，即，符合反比例函数的定义，故是反比例函数． 综上，符合条件的函数为． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 【经典例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·四川广安·月考）已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查利用一次函数和反比例函数的待定系数法求解析式，以及解二元一次方程组，根据题意设，，则，再代入点、，然后解方程组，即可作答． 【详解】解：设，， ∴， ∵函数的图像经过点、， ∴，解得：， ∴ 故答案为：． 1．（2025·广东广州·三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数的图象可能经过点（　　） A．（3，1） B．（0，3） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1） 【答案】D 【分析】由方程根的情况可求得m的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根， ∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m＜0， 解得m＜﹣1， ∴m+1＜0， ∴反比例函数的图象经过二、四象限， ∴反比例函数的图象可能经过点（﹣3，1）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m的取值范围是解题的关键． 2．（2026·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点分别在三个不同的象限．若一个反比例函数的图象经过其中两点，则的值为__________． 【答案】3 【分析】先根据坐标特征判断已知点所在象限，结合三点在不同象限确定点B的象限，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，分情况讨论反比例函数经过的两点，计算后舍去不符合题意的解，得到最终结果． 【详解】解：根据平面直角坐标系中象限的坐标特征可知，点在第三象限，点在第四象限， ∵三点分别在三个不同的象限， ∴点在第一象限，即， 对于反比例函数，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，即， 若反比例函数同时经过和，可得：，，则， 因此反比例函数不可能同时经过和， 分两种情况讨论： ① 若反比例函数经过和，则，将代入得， 解得，此时点在第一象限，三点分别在三个不同象限，符合题意； ② 若反比例函数经过和，则，将代入得， 解得，此时点在第四象限，与点同象限，不符合题意，舍去； 综上，的值为． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 【经典例题四 求反比例函数值】 【例1】（2026·重庆万州·一模）已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用点在反比例函数图象上时坐标满足函数解析式，分别求出和，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∴． 【例2】（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P的坐标为．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，这样的点叫做点P的“调和点”．若点是反比例函数图象上点P的“调和点”，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据调和点的定义，分两种情况讨论，得到点坐标与点坐标的关系，再利用点在反比例函数图象上的性质求出未知参数，验证条件后得到点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，根据“调和点”的定义，分两种情况讨论： 情况：当时，的坐标为， 已知， 因此可得，， 解得， 即， ∵点在上， ∴将代入解析式得， 此时，，满足，因此符合题意； 情况：当时，的坐标为， 已知， 因此可得，， 解得， 即， ∵点在上， ∴将代入解析式得， 解得， 此时，，满足，因此符合题意； 综上，点的坐标为或． 1．（24-25九年级上·浙江台州·自主招生）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数自变量的取值范围，采用特殊值法、排除法将不适合题意的图象排除即可． 采用特殊值法，取和，分别计算的值，根据图象利用排除法即可得出答案． 【详解】解：当时，取， 则， 故排除、选项， 当时，取， 则， 故排除选项， 故选：． 2．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】 解：函数的图象经过点和，，， ，， ． 故答案为：0． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示： 位置 视力值 的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5      (1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由； (2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，即可判定视力值和宽度成反比例函数关系，待定系数法求解即可； （2）将，，分别代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，故视力值和宽度成反比例函数关系， 设视力值和宽度的函数解析式为：， 将点，代入求得， 故视力值和宽度的函数解析式为：． （2）解：∵第4行首个字母E的宽度a（mm）的值是35mm， 即，将代入，求得； ∵第7行首个字母E的宽度a（mm）的值是17.5mm， 即，将代入，求得； 故求第4行、第7行的视力值分别是，． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键． 【经典例题五 由反比例函数值求自变量】 【例1】（2025·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 1．（2025·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数与图象．由图象可知，当时，，即可判断；当时，函数值不存在，即可判断． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∵，， ∴ ∴； 当时，函数值不存在， ∵函数图象在第二象限不连续， ∴， 故选：D 2．（2025·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建福州·月考）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【经典例题六 求反比例函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，经过原点的直线在第一象限内与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，若是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 设，则，根据中点的定义得到，可知，即． 【详解】解：设，则 ∵是线段的中点， ∴， ∵经过原点的直线在第一象限内与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴ 即． 故选：B． 【例2】（2025·山东青岛·模拟预测）写出一个具有性质①②的函数__________． ①当时，； ②当时，y的值随x值的增大而减小． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据常见函数的性质，构造同时满足两个条件的函数即可，任意写出一个符合要求的函数即可． 【详解】解：构造反比例函数， 将，代入解析式得： ， 解得， 得函数， 根据反比例函数的性质，当时，函数在每个象限内随的增大而减小， 当时，，该函数满足随的增大而减小，符合题目要求． 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值． 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得，解得． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 【答案】 【分析】设点D的坐标为，可得点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上得到，再根据点在反比例函数的图象上即可求解． 【详解】解：设点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴点A的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 3．（2026·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若x轴上存在点，使，求点的坐标； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可； （）由勾股定理可知，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，再结合题意可得点的坐标； （）结合函数的性质，根据图象观察可得一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可写出的取值范围． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：，由图象的对称性，可知， 由勾股定理，得． 又， ． 又点在轴上， 点的坐标为或． （3）解：结合函数图象，一次函数图象在反比例函数上方的区间为：或． 【拓展训练一 求反比例函数解析式】 【例1】（2025·湖北宜昌·模拟预测）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（    ） 5 … … … … … 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据电流与电路的电阻是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限内x和y的变化规律是单调的，即可判断 【详解】∵电流与电路的电阻是反比例函数关系 由表格：； ∴在第一象限内，I随R的增大而减小 ∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减 【例2】（2025八年级下·上海虹口·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中______________是反比例函数，而_______不是． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别．熟练掌握反比例函数定义是解题的关键．x，y相乘为一个常数，或者形如（）的函数为反比例函数，不属于上述两个形式的函数不是反比例函数． 根据反比例函数定义逐一判断即得． 【详解】解：①∵， ∴，是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④符是反比例函数． 故答案为①③④；②． 1．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）已知y是关于x的反比例函数，、和、是自变量与函数的两组对应值．下面关系式中，哪些成立？哪些不成立？你是怎样判断的？ (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)成立 (2)不成立 (3)不成立 (4)成立 【分析】（1）根据反比例函数的性质得，即可判断； （2）根据反比例函数的性质得，可得，即可判断； （3）根据反比例函数的性质得，可得，即可判断； （4）根据反比例函数的性质得，可得，即可判断． 【详解】（1）解：∵y是关于x的反比例函数，、和、是自变量与函数的两组对应值， ∴成立； （2）解：∵， ∴，故不成立； （3）解：∵， ∴，故不成立； （4）解：∵， ∴成立． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点得特征，掌握反比例函数的性质是关键． 2．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 【答案】(1)，是 (2)，不是 【详解】（1）解：由题意得，，是反比例函数； （2）由题意得，，不是反比例函数． 3．（24-25九年级上·山东泰安·月考）写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数． （1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化； （2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系； （3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化． 【答案】（1），不是反比例函数；（2），是反比例函数；（3），不是反比例函数． 【分析】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义（k≠0）判断变量间是否为反比例函数关系． 【详解】（1） 根据三角形的面积公式可得 ， 所以不是反比例函数． （2） 因为 ， 所以两个变量之间的函数表达式为 ，是反比例函数． （3） 因为 ， 所以两个变量之间的函数表达式为 ，不是反比例函数． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数解析式的一般式形式． 【拓展训练二 根据函数表达式求比例系数K】 【例1】（2026·湖南长沙·一模）若反比例函数的图象经过点，则该函数图象还经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 解得：， 则该反比例函数图象上的点满足， A选项：，不符合要求； B选项：，不符合要求； C选项：，不符合要求； D选项：，符合要求． 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）若点与点都在反比例函数的图象上，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数图象上点的坐标特征，点的横纵坐标之积等于比例系数，列出方程求解． 【详解】解：点与点都在反比例函数的图象上， ，且． ． （反比例函数中，故）， ，解得． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知函数是反比例函数，求的值． 【答案】． 【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点，指数特点是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广西贺州·期末）当m取何值时，是关于x的反比例函数？ 【答案】-1 【分析】根据反比例函数的定义即可求解． 【详解】∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键要注意x的指数为-1，系数不等于0要同时成立． 3．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 【答案】见解析 【详解】解：②一定是反比例函数，，的值是； ③一定是反比例函数，，的值是． A基础训练 1．（24-25九年级上·云南文山·期末）已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 2．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了判断点是否反比例函数的图象上，把点逐一代入解析式即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，则， 、当时，，图象一定经过点，符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 【答案】A 【分析】本题主要考查了列关系式、反比例的定义等知识点，掌握反比例函数是自变量与函数值的积为定值的函数成为解题的关键． 先根据题意列出y与x的关系是可判定甲同学的正误；根据反比例函数是自变量与函数值的积为定值的函数可判断乙同学的正误． 【详解】解：根据题意列出y与x的关系是，即甲同学结论正确； 由，则y与x成反比例关系． 所以甲、乙的都对． 故选A． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 5．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则…的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点横坐标的变化规律，找到纵坐标的变化规律，进而确定矩形面积的变化规律，即可求解，本题考查了反比例函数图像的性质，解题的关键是：找到矩形面积的变化规律． 【详解】解：点，，，…，的横坐标依次为1，2，3，4，…，2024， 点，，，…，的纵坐标为依次为，，，…，， 又图中每个小矩形的水平边长均为1，纵向边长等于相邻两个点的纵坐标的差， ，，，…，， ……， 故选：． B 提高训练 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知是关于x的反比例函数，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义，函数形式应为 （），因此指数部分必须为，且系数非零，据此计算即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴且 解得：且， 综上所述，． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）考察函数的图象，当时，_______；当时，y的取值范围是_______；当时，x的取值范围是_______． 【答案】 或 【分析】把代入反比例函数解析式求解即可；根据得到，再根据求解即可；（3）根据得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴把代入反比例函数解析式得： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得y＞-1 ∴， ∵， ∴， x＞-2，即，解得x≤-2 ∵当x＞0时，y＞0 ∴当y＞-1时，或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质、求反比例函数函数值的范围等知识点，熟练掌握并运用相关知识成为解答本题的关键． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的性质，根据题意可得函数图象分别在第二、四象限，则在每个象限内y随x增大而增大，据此可得当时，，利用待定系数法求出函数解析式，再根据增减性可得当时，且当时，函数有最小值，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是6， ∴，即函数图象分别在第二、四象限， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则当时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，……．如此继续下去，_____． 【答案】 【分析】分别计算出，，，，可得到每三个一循环，即可求出． 【详解】解：由题意，得，，…，每三个数为一组循环． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查探索规律，根据已知找出数字之间的联系是解题的关键． 10．（2026·山西忻州·一模）如图，在某综合与实践课上，老师自制了一杆秤，其中，是秤杆的支架，C是可旋转的支点，秤杆左端A点挂了一定质量的沙包，B是支点右侧秤杆的一个动点，点B下方挂有托盘．当托盘中放入一定质量的物质，并移动托盘的位置时，可使秤杆保持水平平衡．小组同学记录秤杆水平平衡时，托盘中物质的质量为，的长度为如下．结合表中数据，m和l的函数关系式是______． 托盘中物质的质量 100 150 200 300 的长度 18 12 9 6 【答案】 【分析】先确定m与l成反比例函数关系，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】解：根据表格中数据可得：，，，， ∵m与l的乘积为定值， ∴m与l成反比例函数关系， ∴设，把时，代入得：， 解得：， ∴m和l的函数关系式是． C 培优训练 11．（24-25八年级·上海·暑假作业）已知反比例函数，求的值，并求当时的函数值． 【答案】， 【分析】根据反比例函数的定义求得的值，进而求出当时的函数值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴． ∴函数解析式为：， 当时，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的定义是解题的关键． 12．（24-25九年级上·广西桂林·期中）已知反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)当且时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当且时，或 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解； （2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由且即可求出图像位置，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴． （2）解：反比例函数的图像如图所示， 当且时，在第二象限：或在第四象限：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【答案】(1) (2)22m 【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴y与x的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：当x= 5时，， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当x=6时，， ∵， ∴符合题意，此栅栏总长为： ； 答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值． 14．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）依据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点； （2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点的坐标为，则点的坐标为； （3）由题意知，点M在上，设，当时，的“可控变点”坐标为：，当时，的“可控变点”坐标为：，再结合反比例函数的特点解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴根据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点， （2）当时，点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； 当时， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； ∵， ∴当点的坐标为，则点的坐标为． （3）由题意知，点M在上，设， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， ∴， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， 此时， ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的理解，坐标变换，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要根据点的坐标变化规律进行判断． 15．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴上，反比例函数的图象经过点，交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数的性质、正方形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由正方形的性质可得，，求出，再由三角形面积公式计算得出，代入反比例函数解析式即可得解． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的表达式为． （2）解： 由题意得，， ， 当时，， ， ． ， 而，解得， 当时，，解得． 点的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数的概念重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 求反比例函数解析式 拓展训练一 判断是否为反比例函数 拓展训练二 根据函数表达式求比例系数K 知识点一：反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（2026·上海松江·二模）下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤；其中表示是的反比例函数的是______． 【经典例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 1．（2025·湖北恩施·一模）如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 2．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 3．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【经典例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·月考）下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 1．（24-25九年级上·山东东营·月考）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·湖南·期中）下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是__________填所有正确的序号． 3．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【经典例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【例2】（25-26九年级上·四川广安·月考）已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则的值为______． 1．（2025·广东广州·三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数的图象可能经过点（　　） A．（3，1） B．（0，3） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1） 2．（2026·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点分别在三个不同的象限．若一个反比例函数的图象经过其中两点，则的值为__________． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【经典例题四 求反比例函数值】 【例1】（2026·重庆万州·一模）已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【例2】（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P的坐标为．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，这样的点叫做点P的“调和点”．若点是反比例函数图象上点P的“调和点”，则点P的坐标为______． 1．（24-25九年级上·浙江台州·自主招生）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示： 位置 视力值 的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5      (1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由； (2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值． 【经典例题五 由反比例函数值求自变量】 【例1】（2025·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 1．（2025·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为______． 3．（24-25九年级上·福建福州·月考）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【经典例题六 求反比例函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，经过原点的直线在第一象限内与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，若是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【例2】（2025·山东青岛·模拟预测）写出一个具有性质①②的函数__________． ①当时，； ②当时，y的值随x值的增大而减小． 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 3．（2026·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若x轴上存在点，使，求点的坐标； (3)直接写出时的取值范围． 【拓展训练一 求反比例函数解析式】 【例1】（2025·湖北宜昌·模拟预测）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（    ） 5 … … … … … 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A． B． C． D． 【例2】（2025八年级下·上海虹口·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中______________是反比例函数，而_______不是． 1．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）已知y是关于x的反比例函数，、和、是自变量与函数的两组对应值．下面关系式中，哪些成立？哪些不成立？你是怎样判断的？ (1)． (2)． (3)． (4)． 2．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 3．（24-25九年级上·山东泰安·月考）写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数． （1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化； （2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系； （3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化． 【拓展训练二 根据函数表达式求比例系数K】 【例1】（2026·湖南长沙·一模）若反比例函数的图象经过点，则该函数图象还经过点（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）若点与点都在反比例函数的图象上，则的值为_______． 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知函数是反比例函数，求的值． 2．（24-25九年级上·广西贺州·期末）当m取何值时，是关于x的反比例函数？ 3．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． A基础训练 1．（24-25九年级上·云南文山·期末）已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则…的值是（　　） A． B． C． D． B 提高训练 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知是关于x的反比例函数，则_____． 7．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）考察函数的图象，当时，_______；当时，y的取值范围是_______；当时，x的取值范围是_______． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 9．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，……．如此继续下去，_____． 10．（2026·山西忻州·一模）如图，在某综合与实践课上，老师自制了一杆秤，其中，是秤杆的支架，C是可旋转的支点，秤杆左端A点挂了一定质量的沙包，B是支点右侧秤杆的一个动点，点B下方挂有托盘．当托盘中放入一定质量的物质，并移动托盘的位置时，可使秤杆保持水平平衡．小组同学记录秤杆水平平衡时，托盘中物质的质量为，的长度为如下．结合表中数据，m和l的函数关系式是______． 托盘中物质的质量 100 150 200 300 的长度 18 12 9 6 C 培优训练 11．（24-25八年级·上海·暑假作业）已知反比例函数，求的值，并求当时的函数值． 12．（24-25九年级上·广西桂林·期中）已知反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)当且时，直接写出的取值范围． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 14．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 15．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴上，反比例函数的图象经过点，交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，且，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $