2.5.1 第2课时 直线与圆的位置关系的综合应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的位置关系综合应用，通过基础情境应用、中档综合辨析、拔高建模探究的三层设计，实现从单一知识到实际问题解决的进阶，培养数学眼光、思维与表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的方程、直线与圆位置关系|以拱桥跨度、卡车过隧道等情境题，巩固概念应用| |中档层|对称、动态相切、最值问题|多选题结合符号运算与逻辑推理，提升综合思维| |拔高层|轨迹方程、实际问题建模|台风影响、摄像头监控等复杂情境，培养建模表达能力|

2.5.1 直线与圆的位置关系 第2课时 直线与圆的位置关系的综合应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥的直径为（ 　） A.15米 B.13米 C.9米 D.6.5米 2.已知点A（－1，1）和圆C：（x－5）2＋（y－7）2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是（ 　） A.6－2 B.8 C.4 D.10 3.y＝｜x｜的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小部分的面积是（ 　） A. B. C. D.π 4.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道（双车道，不得违章），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（ 　） A.1.4米 B.3.0米 C.3.6米 D.4.5米 5．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（ 　） A．6秒 B．8秒 C．10秒 D．16秒 6.（多选）已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是（ 　） A.x2＋y2的最大值是＋1 B.的最大值是2＋ C.｜x－y＋3｜的最小值是2－ D.过点（0，）作曲线C的切线，则切线方程为x－y＋2＝0 二、填空题 7.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　 　h. 8.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米，在建筑物底面中心O的东北方向202米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度，那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为 米. 9.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN（M，N为切点），若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是　 　. 三、解答题 10.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 11.已知实数x，y满足y＝，试求m＝及b＝2x＋y的取值范围. 解析版 一、选择题 1.如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥的直径为（　B　） A.15米 B.13米 C.9米 D.6.5米 2.已知点A（－1，1）和圆C：（x－5）2＋（y－7）2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是（　B　） A.6－2 B.8 C.4 D.10 3.y＝｜x｜的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小部分的面积是（　D　） A. B. C. D.π 解析：如图，所求面积是圆x2＋y2＝4的面积的，即为×π×22＝π. 4.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道（双车道，不得违章），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（　C　） A.1.4米 B.3.0米 C.3.6米 D.4.5米 解析：如图，作出半圆形隧道示意图，其半径｜OC｜＝4.5米，车宽｜CD｜＝2.7米，卡车篷顶距离地面的高度｜OD｜＝＝3.6（米）. 故选C. 5．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为(　AD ) A．6秒 B．8秒 C．10秒 D．16秒 解析：设当该圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为＝，得m＝－或m＝－， 所以该圆运动的时间为＝6(秒)或＝16(秒). 6.（多选）已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是（　BD　） A.x2＋y2的最大值是＋1 B.的最大值是2＋ C.｜x－y＋3｜的最小值是2－ D.过点（0，）作曲线C的切线，则切线方程为x－y＋2＝0 解析：曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0可化为（x－1）2＋y2＝3，可得圆心C（1，0），半径r＝. 对于A，由x2＋y2表示圆C上的点（x，y）到定点O（0，0）的距离的平方， 所以它的最大值为[＋]2＝4＋2，所以A错误； 对于B，表示圆上的点与点（－1，－1）连线的斜率，设＝k，即y＋1＝k（x＋1）， 由圆心（1，0）到直线y＋1＝k（x＋1）的距离d1＝≤，解得2－≤k≤2＋， 所以的最大值为2＋，所以B正确； 对于C，｜x－y＋3｜表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的倍， 圆心到该直线的距离d2＝＝2，所以其最小值为×（2－）＝4－，所以C错误； 对于D，因为点（0，）满足圆C的方程，所以点（0，）在圆C上， 则点（0，）与圆心连线的斜率为k1＝－， 根据圆的性质，可得过点（0，）作圆C的切线的斜率为k2＝－＝， 所以切线方程为y－＝x， 即x－y＋2＝0，所以D正确. 二、填空题 7.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　1　h. 答案： 8.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米，在建筑物底面中心O的东北方向202米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度，那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为　17.5　米. 解析：以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系， 则O（0，0），A（20，20），观景直道所在直线的方程为y＝－10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过点A且恰与圆O相切， ①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切； ②若直线l不垂直于x轴， 设直线l：y－20＝k（x－20）， 整理得kx－y－20k＋20＝0， 所以圆心O到直线l的距离d＝＝4， 解得k＝或k＝， 所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0或4x－3y－20＝0. 设这两条直线与y＝－10交于D，E两点，由 解得x＝－20， 由 解得x＝－2.5， 所以｜DE｜＝17.5. 9.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN（M，N为切点），若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是　x2＋y2＝2　. 三、解答题 10.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系（如图），其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部， 港口所对应的点的坐标为（0，4）， 轮船的初始位置所对应的点的坐标为（7，0）， 则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心（0，0）到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3， ∵d＞r，∴直线与圆相离， ∴轮船不会受到台风的影响. 11.已知实数x，y满足y＝，试求m＝及b＝2x＋y的取值范围. 解：如图1，y＝表示以原点为圆心，为半径的半圆. 设P（－3，－1），则m＝表示过点P与半圆上的点的直线的斜率，kPB＝＝，当直线y＋1＝m（x＋3）与半圆相切时，m＝（负值舍去）. 故≤m≤. 如图2，当直线2x＋y＝b通过C（－，0）时，b＝－2； 当直线2x＋y＝b与半圆相切时，b＝（负值舍去）. 所以－2≤b≤. 页 学科网（北京）股份有限公司 $