专题01 一元二次方程的概念与解法重难点题型专训（6个知识点+11大题型+自我检测）-2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 一元二次方程的概念与解法重难点题型专训（6个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、一元二次方程的定义 1 题型二、化成一元二次方程的一般式 2 题型三、由一元二次方程的定义求参数 3 题型四、判断是否是一元二次方程的解 4 题型五、由一元二次方程的解求参数 5 题型六、因式分解法解一元二次方程 6 题型七、解一元二次方程——直接开平方法 7 题型八、解一元二次方程——配方法 8 题型九、配方法的应用 9 题型十、公式法解一元二次方程 10 题型十一、换元法解一元二次方程 11 第二部分·练提高题型 题型一、配方法求最值 1 题型二、一元二次方程含参问题 2 题型三、一元二次方程新定义计算 3 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）一元二次方程的一次项系数是________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式及概念，解题的关键是熟记：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做一次项系数，叫做常数项． 根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 1．（2025·河南濮阳·一模）一元二次方程的常数项是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程化为标准形式，常数项为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴常数项为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般形式，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， ∴化成的一般形式为， ∴一次项系数为， 故答案为：． 知识点03 直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 【即时训练】 1．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）方程的解是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即或. 2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）方程的解是________． 【答案】 ， 【分析】先移项整理方程，再将二次项系数化为1，最后开平方得到方程的解． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴两边同时除以6，得， ∴开平方得 ∴方程的解为，． 知识点04 用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 【即时训练】 1．（2026·甘肃平凉·模拟预测）用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）用配方法解方程，方程可化为，则________． 【答案】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题关键是将方程左边配成完全平方式． 通过配方法将一元二次方程转化为“等号左边是完全平方形式，等号右边是数字”的形式，从而求出的值． 【详解】 移项得：， 配方得：， 即：， ∴ ． 故答案为． 知识点05 用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 根据一元二次方程的求根公式计算判断即可．一元二次方程，当时，． 【详解】因为一元二次方程的根是，所以A符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以B不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以C不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以D不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____； 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法推导求根公式的步骤． 按照配方法的步骤，移项，系数化为1，同时加上一次项系数一半的平方，求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 （其中 ）， 移项得，， 系数化为1得，， 两边加上 得，， 则， 开平方得，， 移项得，， 故答案为： ． 知识点06 用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东汕头·期中）一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用因式分解法解方程即可，注意不要漏掉这个根． 【详解】解：由得，解得，． 2．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）一元二次方程的根为_______，_______． 【答案】 0 9 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或 ， ，． 故答案为：，． 【基础题型一 一元二次方程的定义】 【例1】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 【例2】（25-26八年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 2．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 【答案】①⑥ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 3．（25-26八年级上·甘肃平凉·阶段检测）若方程是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【基础题型二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．1，3 B．1， C．1， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式的定义确定二次项系数和一次项系数由此求解即可． 【详解】解：将方程展开得：， ∴该方程的二次项系数为1，一次项系数为． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）写出一个二次项系数与常数项之积为6的一元二次方程，你写出的是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题考查了一元二次方程，根据题意，需要构造一个一元二次方程，使得二次项系数与常数项的乘积为6．二次项系数和常数项可任意选择，只要满足乘积为6即可，一次项系数可任意取值． 【详解】解：设一元二次方程为 ，其中 a 为二次项系数，c 为常数项． 由条件知， 选择，则，再选择， 得到方程． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）将关于x的一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程左边展开，然后移项使右边为零，得到一般形式． 本题考查等式的性质，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵ 原方程为 ， 展开左边得 ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是将方程化为一般形式； 由一元二次方程的一般形式确定一次项系数. 【详解】将方程 移项得： 一般形式为： ； ∴一次项系数为： . 故答案为：. 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)．二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为 (2)．二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 【详解】（1）解：，     移项得：； 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为； （2）解：， ， 整理得：； 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． 【基础题型三 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（25-26八年级上·广西来宾·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．4 B．4 C．0 D．0或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，需满足指数部分且二次项系数据此进行解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 解： 当时，； 当时， 但，故 的值为 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义知，未知数的最高次数为2，因此令求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得． 故答案为：3． 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确理解计算是解题的关键． 一元二次方程的定义要求二次项系数不为零． 【详解】方程是一元二次方程， 二次项系数； 故满足的条件是． 故选． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是注意一元二次方程的二次项系数不等于零． 由一元二次方程常数项为0，得，并结合二次项系数不为0，排除，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 由题意，常数项为0， ∴ 解得或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 【基础题型四 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 1．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般式即可判断①；将代入即可判断②；将代入化简即可判断③；把代入，然后化简等式的左边与右边，即可判断④． 【详解】解：①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是，故①错误； ②把代入方程的左边，则， ∵， ∴方程左边等于0，即方程成立， ∴是方程的根，故②正确； ③将代入，则，则，由于，故，故③正确； ④若是一元二次方程的根，则，则 ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有3个． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当时，有可得答案． 【详解】解：∵当时，，即， ∴是该方程的一个根， 故答案为： 3．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 【答案】 解：有错，不能直接约去，也有可能，因为当时，是不能作分母的． 正确的解答为：正确的解答为：把代入原方程，化简得， ． 将的三个值代入方程检验，均符合题意，故的值是． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是注意当时的特殊情况，不能直接在等式两边除以． 将代入方程，得到关于的方程，然后通过因式分解求解，同时要考虑的情况． 【详解】略 【基础题型五 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（2026八年级上·四川·专题练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【详解】解：将代入方程，得 ， 即， 解得． 【例2】（2026·浙江金华·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）若是关于的一元二次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程解的定义，将代入方程，整理变形即可求出的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴将代入方程得， 即， ． 2．（2026·河北廊坊·二模）如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先得到②段包含两个整数和0，然后根据一元二次方程的解写出方程即可． 【详解】解：由数轴可知②段包含两个整数和0， 由题意得，一元二次方程的根为，， 可以写出一个以这两个整数为根的一元二次方程为，化为一般式是（答案不唯一）． 3．（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2)2011 【分析】（1）直接根据定义把二次项系数和常数项交换即可； （2）先根据定义写出原方程的倒方程，然后根据方程的解的定义得到，接着代入所求代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程 的倒方程是， ∴把代入方程， 得 ， ∴， ∴ ． 【基础题型六 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（2026·河南周口·一模）对于任意两个实数，定义运算“”：．若，则的值为（    ） A． B．2 C．1或 D．或2 【答案】D 【分析】根据给定的运算法则即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【例2】（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 1．（26-27八年级上·全国·阶段检测）方程的解是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分类讨论去掉绝对值符号，将原方程转化为一元二次方程求解，结合的取值范围舍去增根． 【详解】解：当时，原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去； 当时，原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去． 综上，方程的解为或． 2．（25-26八年级上·湖北十堰·自主招生）定义新运算：，例如：．已知实数满足，则的最大值是______． 【答案】 【分析】首先根据新运算的规则，把等式转化为一般的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 的最大值是 3．（26-27八年级上·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项、整理为一般形式，然后运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，． （2）解：，整理，得， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【基础题型七 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解．利用直接开平方法即可求得． 【详解】解：， 移项得， 解得， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）用直接开平方法解一元二次方程，要把方程化为或的形式． （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根__________，．当时，方程有两个相等的实数根． （2）当__________时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程的解的情况，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；根据平方根的定义和实数的性质，当时，方程有两个互为相反数的实数根；当时，方程有一个重根；当时，方程无实数根，然后问题可求解． 【详解】解：对于一元二次方程，根据平方根的意义： 当时，方程有两个不等的实数根，即，因此； 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当时，由于对任意实数x，都有，因此方程无实数根； 故答案为，＜． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D． ， 【答案】D 【分析】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握此方法是解题关键． 根据直接开方法求解即可． 【详解】解：， ， 直接开方得：，， 故选：D． 2．（25-26八年级上·重庆合川·期中）一元二次方程的解为：__________. 【答案】， 【分析】本题主要考查了直接开方法解一元二次方程， 先移项，合并同类项，再直接开方即可． 【详解】解：方程， 移项得：， 即， 开方，得， ∴，． 故答案为：，． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，； （3）解： ， ， 或， 解得； （4）解：， ， ， 或， 解得； （5）解：， ， ， 或， 解得； （6）解：， ， ， ， 或， 解得. 【基础题型八 解一元二次方程——配方法】 【例1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，从而确定参数a和b的值，再计算它们的和可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 3．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）阅读下列用配方法解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ，⑤ (1)该解题过程从第__________步开始出错（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程（用配方法）． 【答案】(1)② (2)解：， 整理得， 配方得，即， ， ∴，． 【详解】（1）解：该解题过程从第②步开始出错； （2）略 【基础题型九 配方法的应用】 【例1】（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 【例2】（25-26八年级上·江苏常州·期中）类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 通过配方法将二次多项式进行化简，利用平方非负性求最小值即可． 【详解】解：原多项式为 ，进行配方：取一次项系数的一半的平方，即 ，添加并减去 9， 得 ， 由于 ， 因此当 时，，多项式取最小值 6． 故答案为 ：6． 1．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故不存在实数x，使得值为0， 当时，有最小值为4，不存在最大值， 当时，解得：； 故（1）（2）（4）正确，（3）错误； 故选C． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则___． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，将配方得出，从而可得，，代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵把一元二次方程化为， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)试用配方法求出代数式的最小值． 【答案】(1)是等腰三角形，理由如下： ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)代数式的最小值为 【分析】（1）将代入方程，整理得出，从而可得，即可得出结果； （2）利用配方法计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 【基础题型十 公式法解一元二次方程】 【例1】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键． 将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】解：∵原方程可变形为， ， ， 故选：A． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）关于x的方程，下列解法完全正确的是_______．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 甲 乙 两边同时除以，得 移项，得， ， 或， 即 丙 丁 整理，得． ， ， ， 即 整理，得． 配方，得， ， ， 即 【答案】丁 【分析】逐一检验四人的解法步骤，根据一元二次方程的解题规则判断正误即可． 【详解】解：判断甲的解法：甲两边同时除以，当时，，0不能作为除数，该操作会丢失根，因此甲错误； 判断乙的解法：原方程移项应为， 乙移项后符号错误，因此乙错误； 判断丙的解法：将原方程整理为一般式得，其中，，，丙的常数项取值错误，因此丙错误； 判断丁的解法：原方程整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得，，步骤和结果均正确，因此丁正确． 1．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）有下列方程：①；②；③，则解上述方程较适合的方法为（   ） A．①直接开平方法，②因式分解法，③配方法 B．①因式分解法，②因式分解法，③直接开平方法 C．①公式法，②直接开平方法，③因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查灵活选用解一元二次方程的方法，根据所给方程式的结构特征选取适当的方法即可． 【详解】解：①运用直接开平方法求解比较合适； ②运用公式法求解比较合适； ③运用因式分解法求解比较合适． 故选：D． 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 因式分解得，， ∴，或， 解得：，， ∴输出的的值为或． 3．（26-27八年级上·全国·单元复习）嘉淇在解一元二次方程时，具体步骤如下：解方程：． 解：，，，① ．② ．③ ，．④ (1)事实上，嘉淇的解答是错误的，他开始出现错误的步骤是__________（请填写序号）； (2)请给出正确的解法． 【答案】(1)② (2)解：，，， ， ， ，． 【详解】（1）解：在计算第②步时，， 故开始出现错误的步骤是②． （2）略 【基础题型十一 换元法解一元二次方程】 【例1】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别为和1，则方程的两根分别为（     ） A．1，5 B．，3 C．，1 D．， 【答案】D 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将方程变形为， ∵一元二次方程（）的两根分别为和， ∴或， 解得，． 【例2】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 【答案】 ， 【分析】将待求方程变形为，通过换元转化为已知根的原方程，即可求解． 【详解】解：将方程变形为， 令， 则方程转化为， ∵已知方程的两个根为，， ∴，， 即或， 解得，． 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ 故选 B. 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）阅读下面的例题与解答过程：例：解方程：． 解：原方程可化为； 设，则； 解得，． 当时，， ； 当时，， 无实数解． 原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看成一个整体，用字母代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解如下方程：，方程的解为__________． 【答案】， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解换元的实质是转化．结合例题，利用换元法求解即可． 【详解】解：方程可化为． 设，则， 解得 ， 即， ∴，， ∴方程的解是：，． 故答案为：，． 3．（2026八年级上·全国·专题练习）阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的根为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________达到了降次的目的，体现了_______的数学思想； (2)已知实数a，b满足，试求的值； (3)请利用以上知识解方程：． 【答案】(1)换元，转化 (2)5 (3)，，， 【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）设，则原方程可化为，再解方程即可； （3） 设，则原方程化为，再解方程即可． 【详解】（1）解：利用了换元法，体现了转化思想． （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴，． ∵， ∴的值为5． （3）解：设，则原方程化为 ∴ ∴，， 当时，， ∴． ∴； 当时，， ∴， ∴． 【提高题型一 配方法求最值】 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴， ∴对于代数式的最值，最大值为13， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·新疆昌吉·阶段检测）代数式有最_____值，其最值为_______． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 【答案】(1)9 (2)6 【分析】本题主要考查配方法、完全平方式，熟练掌握配方法及完全平方式是解题的关键； （1）根据完全平方式可进行求解； （2）由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由完全平方公式，可知：， 故答案为9； （2）解：； 由于，所以， 即的最小值为6． 2．（24-25八年级上·山西晋中·阶段检测）阅读与思考 请认真阅读所给材料，并完成相应任务． 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得：． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或 所以． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：， ， ，即有最小值1． 任务： (1)解一元二次方程，配方后可变形为______． A．    B．    C．    D． (2)利用配方法求的最值． 【答案】(1)D (2)14 【分析】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：D； （2）解： ， ， ，即有最大值14． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （4） 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）略 （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为． 【提高题型二 一元二次方程含参问题】 【例1】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，，，…，均为非零的整数，下列说法中： ①若且，且互不相同，则满足条件的有4个； ②若且，则满足条件的有12个； ③若，、，关于的方程与同解，则． 正确的有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①当时，易得，根据题意可知，进而可得或，然后分情况讨论，即可判断说法①；②当时，结合，可得从1到6中选4个不同的数，按从小到大对应到，然后按的取值分类讨论，即可判断说法②；③当时，方程与同解，可将和代入，进而可得和，联立解得，与“均不为零”矛盾，可判断说法③． 【详解】解：①当时，，且满足， 且， 或， 又且，即， ，故，，共2种选择， 且， ，，共2种选择，且与一定不同， 且， ， 又∵， ∴与符号相反，仅1种选择，且与一定不同， 满足条件的共有个，故①正确； ②当时，，系数为严格递增的正整数， 即从1到6中选4个不同的数，按从小到大对应到， 按的取值分类：当时，有1种选法； 当时，有4种选法； 当时，有10种选法． 共个，故②错误； ③当时，可得， ∵， ∴， ∴，解得或， ∵，即， 当时，可得， 结合、，可得， 当时，可得， 结合、，可得， 联立解得，与“均不为零”矛盾，无法推出结论，故③错误． 综上所述，正确的有1个． 【例2】（26-27八年级上·全国·单元复习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 【答案】 【分析】根据是的一个根，将代入原方程得，再代入计算即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴把代入方程得: ， 整理得 :， ∴ ． ∴代数式的值为． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知a是方程的一个实数根，求的值． 【答案】2032 【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴． 2．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1) 解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（a，b为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中a，b，c，d为实数，且，）有如下运算法则： ； ； ． (1)化简直接填空：① ，② ； (2)关于x的一元二次方程有一个根是，其中m，n是实数，求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，平方差公式，完全平方公式，将方程的解代入原方程，求出，的值是解题的关键． （1）根据运算法则，即可求出化简及； （2）将代入原方程，可得出，进而可得出，，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：； ， 故答案为：5，； （2）解：将代入原方程得：， 整理得：， ，， ，， ． 【提高题型三 一元二次方程新定义计算】 【例1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：关于x的方程有一个根为1， ∴ ∴ ∴． 【例2】（2025·湖南永州·模拟预测）定义一种新运算： 对于任意的非零实数，，定，若定，则的值为__________. 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据新定义列出方程运算即可． 【详解】解：∵定， ∴， ∴ ， 解得：或， 故答案为：或． 1．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）定义一种新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．如．已知，求x的值． 【答案】，． 【分析】本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，运用因式分解法解答即可． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得：，． 2．（24-25八年级上·山西晋中·阶段检测）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【答案】(1)①，；②， (2)2或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）①利用公式法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）（1）① ，， ∴ 解得，； ② ， 解得，； （2）根据题意得， 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 综上所述，的值为2或． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3 （1）计算：2※（﹣1）＝　 　；（﹣1）※2＝　 　； （2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值； （3）若x※2与3※x的值相等，求x的值． 【答案】（1）-3，6；（2）；（3）x的值为1或或4． 【分析】（1）根据新定义运算方法进行计算即可； （2）先解一元二次方程，然后利用新定义进行计算即可； （3）对x的范围进行讨论：当时，；当时，；当时，，然后分别解方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 故答案为：-3，6； （2）， ， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）当时，根据， 可得：， 解得：，（舍去）； 当时，根据， 可得：， 解得：，（舍去）； 当时，根据， 可得：， 解得：（舍去），； 综上所述，x的值为1或或4． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的公式法、因式分解法，理解题意，掌握题目中新的运算法则是解题关键． 1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，熟记一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程”是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简得，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的最高次数为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，，0 B．4，0， C．4，0， D．，0， 【答案】C 【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，0，， 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查换元法求一元二次方程的解，令，对于关于的一元二次方程的解为，，则或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，， 令， ∴对于关于的一元二次方程的解为，， 即或， 即，， ∴关于的一元二次方程的解是，． 故选：C． 5．（26-27八年级上·全国·单元复习）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 6．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）把一元二次方程化成一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左右两边，再移项合并同类项，整理得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是___________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程求解，是能使方程左右两边相等的未知数的值，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得：， 故答案为：1． 8．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________ 【答案】， 【分析】先利用直接开平方解，得；再解，得，再通过观察可得，两个方程的解只差3，即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 直接开平方得，， ∴； ， 移项得，， 直接开平方得，， ∴， ∵关于x的方程的解是，， ∴方程的解是：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是正确找出两个方程的解． 9．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段检测）关于的方程的解是，（、、均为常数，）． 问题： （1）关于的方程的根是______； （2）关于的方程的根为______． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是，， ∴设，则可化为， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：，． （2）设，则可化为， 即， ∵关于x的方程的解是，， ∴，，即， ∴， 解得：． 故答案为：，． 10．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）在学习了乘法公式“”的应用后，求代数式的最小值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解： ∵ ∴， ∴的最小值是． （1）代数式的最小值为________． （2）若，则的最____值（填大或小）为________． 【答案】 大 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式仿照题干中的步骤，利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最小值即可． （2）原式可化为，仿照题干中的步骤，利用完全平方公式将等号右边配方后，利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）根据题中的解法可得， ∵， ∴， ∴的最小值是． （2）根据题中的解法，原式可化为 ， ， ， ， ∵， ∴， ∴的最大值是． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (2)一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (3)一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (4)一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】（1）通过移项让方程右边变为，再按的降幂排列，即可得到答案； （2）通过移项让方程右边变为，再按的降幂排列，最后利用等式的性质把二次项系数化成正数，即可得到答案； （3）先去括号，合并同类项，再利用等式的性质把二次项系数化成正数，即可得到答案； （4）通过去括号，移项，让右边变为，再合并同类项，最后利用等式的性质把二次项系数化成正数，即可得到答案． 【详解】（1）解：移项得：， 一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． （2）解：移项得：， ， 一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． （3）解：去括号得：， 合并同类项得：， ， 一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． （4）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 12．（26-27八年级上·云南保山·阶段检测）解下列方程： (1) (2)（因式分解法） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ，即， ∴， 解得； （2）解：， ，即， ， 解得． 13．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 14．（25-26八年级上·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 15．（25-26八年级上·内蒙古通辽·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是-1． (1)【直接应用】代数式的最小值为_____；代数式的最大值为_____； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)；13 (2)2025 (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， ， 当时，代数式有最大值，最大值为13， 故答案为：；13； （2） ． 当，时，有最小值为2025． （3）设菜地垂直于墙面的一边为，则平行于墙的一边长为， 根据题意，得，． ． 当时，有最大值，最大值为． 故围成的菜地的最大面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的概念与解法重难点题型专训（6个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、一元二次方程的定义 1 题型二、化成一元二次方程的一般式 2 题型三、由一元二次方程的定义求参数 3 题型四、判断是否是一元二次方程的解 4 题型五、由一元二次方程的解求参数 5 题型六、因式分解法解一元二次方程 6 题型七、解一元二次方程——直接开平方法 7 题型八、解一元二次方程——配方法 8 题型九、配方法的应用 9 题型十、公式法解一元二次方程 10 题型十一、换元法解一元二次方程 11 第二部分·练提高题型 题型一、配方法求最值 1 题型二、一元二次方程含参问题 2 题型三、一元二次方程新定义计算 3 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）一元二次方程的一次项系数是________． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 1．（2025·河南濮阳·一模）一元二次方程的常数项是（   ） A． B．2 C． D．3 2．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为______． 知识点03 直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 【即时训练】 1．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）方程的解是（     ） A． B． C．或 D． 2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）方程的解是________． 知识点04 用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 【即时训练】 1．（2026·甘肃平凉·模拟预测）用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）用配方法解方程，方程可化为，则________． 知识点05 用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____； 知识点06 用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东汕头·期中）一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）一元二次方程的根为_______，_______． 【基础题型一 一元二次方程的定义】 【例1】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【例2】（25-26八年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 2．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 3．（25-26八年级上·甘肃平凉·阶段检测）若方程是关于x的一元二次方程，求m的值． 【基础题型二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．1，3 B．1， C．1， D．， 【例2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）写出一个二次项系数与常数项之积为6的一元二次方程，你写出的是___________．（写出一个即可） 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）将关于x的一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数是________． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)． 【基础题型三 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（25-26八年级上·广西来宾·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．4 B．4 C．0 D．0或4 【例2】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是________． 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【基础题型四 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 1．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 3．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 【基础题型五 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（2026八年级上·四川·专题练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 【例2】（2026·浙江金华·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）若是关于的一元二次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（2026·河北廊坊·二模）如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 3．（26-27八年级上·云南文山·阶段检测）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【基础题型六 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（2026·河南周口·一模）对于任意两个实数，定义运算“”：．若，则的值为（    ） A． B．2 C．1或 D．或2 【例2】（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 1．（26-27八年级上·全国·阶段检测）方程的解是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26八年级上·湖北十堰·自主招生）定义新运算：，例如：．已知实数满足，则的最大值是______． 3．（26-27八年级上·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【基础题型七 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）用直接开平方法解一元二次方程，要把方程化为或的形式． （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根__________，．当时，方程有两个相等的实数根． （2）当__________时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D． ， 2．（25-26八年级上·重庆合川·期中）一元二次方程的解为：__________. 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【基础题型八 解一元二次方程——配方法】 【例1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 3．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）阅读下列用配方法解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ，⑤ (1)该解题过程从第__________步开始出错（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程（用配方法）． 【基础题型九 配方法的应用】 【例1】（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏常州·期中）类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 _______． 1．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则___． 3．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)试用配方法求出代数式的最小值． 【基础题型十 公式法解一元二次方程】 【例1】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）关于x的方程，下列解法完全正确的是_______．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 甲 乙 两边同时除以，得 移项，得， ， 或， 即 丙 丁 整理，得． ， ， ， 即 整理，得． 配方，得， ， ， 即 1．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）有下列方程：①；②；③，则解上述方程较适合的方法为（   ） A．①直接开平方法，②因式分解法，③配方法 B．①因式分解法，②因式分解法，③直接开平方法 C．①公式法，②直接开平方法，③因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③因式分解法 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 3．（26-27八年级上·全国·单元复习）嘉淇在解一元二次方程时，具体步骤如下：解方程：． 解：，，，① ．② ．③ ，．④ (1)事实上，嘉淇的解答是错误的，他开始出现错误的步骤是__________（请填写序号）； (2)请给出正确的解法． 【基础题型十一 换元法解一元二次方程】 【例1】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别为和1，则方程的两根分别为（     ） A．1，5 B．，3 C．，1 D．， 【例2】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）阅读下面的例题与解答过程：例：解方程：． 解：原方程可化为； 设，则； 解得，． 当时，， ； 当时，， 无实数解． 原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看成一个整体，用字母代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解如下方程：，方程的解为__________． 3．（2026八年级上·全国·专题练习）阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的根为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________达到了降次的目的，体现了_______的数学思想； (2)已知实数a，b满足，试求的值； (3)请利用以上知识解方程：． 【提高题型一 配方法求最值】 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【例2】（25-26八年级上·新疆昌吉·阶段检测）代数式有最_____值，其最值为_______． 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 2．（24-25八年级上·山西晋中·阶段检测）阅读与思考 请认真阅读所给材料，并完成相应任务． 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得：． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或 所以． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：， ， ，即有最小值1． 任务： (1)解一元二次方程，配方后可变形为______． A．    B．    C．    D． (2)利用配方法求的最值． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 【提高题型二 一元二次方程含参问题】 【例1】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，，，…，均为非零的整数，下列说法中： ①若且，且互不相同，则满足条件的有4个； ②若且，则满足条件的有12个； ③若，、，关于的方程与同解，则． 正确的有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（26-27八年级上·全国·单元复习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知a是方程的一个实数根，求的值． 2．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（a，b为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中a，b，c，d为实数，且，）有如下运算法则： ； ； ． (1)化简直接填空：① ，② ； (2)关于x的一元二次方程有一个根是，其中m，n是实数，求的值． 【提高题型三 一元二次方程新定义计算】 【例1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（    ） A． B． C． D．0 【例2】（2025·湖南永州·模拟预测）定义一种新运算： 对于任意的非零实数，，定，若定，则的值为__________. 1．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）定义一种新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．如．已知，求x的值． 2．（24-25八年级上·山西晋中·阶段检测）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3 （1）计算：2※（﹣1）＝　 　；（﹣1）※2＝　 　； （2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值； （3）若x※2与3※x的值相等，求x的值． 1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，，0 B．4，0， C．4，0， D．，0， 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 5．（26-27八年级上·全国·单元复习）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）把一元二次方程化成一般形式是__________． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是___________． 8．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________ 9．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段检测）关于的方程的解是，（、、均为常数，）． 问题： （1）关于的方程的根是______； （2）关于的方程的根为______． 10．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）在学习了乘法公式“”的应用后，求代数式的最小值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解： ∵ ∴， ∴的最小值是． （1）代数式的最小值为________． （2）若，则的最____值（填大或小）为________． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（26-27八年级上·云南保山·阶段检测）解下列方程： (1) (2)（因式分解法） 13．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 14．（25-26八年级上·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 15．（25-26八年级上·内蒙古通辽·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是-1． (1)【直接应用】代数式的最小值为_____；代数式的最大值为_____； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 学科网（北京）股份有限公司 $