专题03 反比例函数的应用重难点题型专训（1个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 以“1知识点+5题型+1拓展”构建反比例函数应用体系，提炼“审设求写解”五步法，覆盖实际、销售等场景，强化模型思想与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|含2思路+5步骤+易错点|“审设求写解”五步法，2种解题思路|从概念（反比例函数实际应用）到方法（建模步骤），再到应用（实际问题转化）| |5大题型|每题型含2典例+3练习|实际问题建函数模型，几何问题用面积性质，综合问题联图像性质|按“单一应用→综合应用”递进，结合物理、经济等场景培养数学眼光| |拓展训练|1综合题型+多梯度训练|跨学科综合问题解法，数据分析与函数结合|整合多知识点，提升用数学语言表达现实问题的能力|

专题03反比例函数的应用重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+1拓展训练+自我检测） 题型一 实际问题与反比例函数 题型二 反比例函数的应用之销售问题 题型三 反比例函数的应用之几何图形问题 题型四 反比例函数的应用之行程问题 题型五 一次函数与反比例函数的实际应用 拓展训练一 反比例函数实际综合问题 知识点： 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【即时训练】 1．（2025·云南·模拟预测）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 【经典例题一 实际问题与反比例函数】 【例1】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位：）与光照强度（单位：，光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示．已知当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω．若要使光敏电阻的阻值增大到10Ω，则下列关于光照强度的说法正确的是（    ）    A．增大至12.5 B．减小至12.5 C．增大至2 D．减小至2 【例2】（2025·湖南衡阳·三模）如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率为，则电阻为_______． 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则电流与电阻之间的表达式为______． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【经典例题二 反比例函数的应用之销售问题】 【例1】（24-25八年级下·山东威海·期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　　） A．4月份的利润为50万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元 D．8月份该厂利润达到200万元 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为______元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）一家名牌上衣专卖店月份的经营目标是盈利元． (1)写出专卖店月份每件上衣的利润（元）关于所需售出的上衣件数（件）的函数解析式； (2)如果每件上衣的利润是元，要完成经营目标，该商店月份至少要卖出多少件上衣？ (3)若经理只要求达到元利润，每售出一件上衣，售货员要提成元，在每件上衣元利润不变的前提下，营业员至少需要卖出多少件上衣才能完成任务？ 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 【经典例题三 反比例函数的应用之几何图形问题】 【例1】（2026·河北邯郸·二模）如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（   ）． A．6 B．9 C．10 D．12 【例2】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）分别写出下列函数的关系式，指出是哪种函数，并确定其自变量的取值范围． (1)在时速为的运动中，路程s（单位：）关于运动时间t（单位：h）的函数关系式； (2)某校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式． 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水，水池的底面为正方形．由设计单位核算知，水池的总储水量为．若水池底面为S，高为h． (1)求出S与h的函数关系，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (2)若底面S为，则水池高度为多少m？ (3)楼顶平台长为30m，宽为15m，规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%，同时考虑到楼顶平台承受能力，水池底面不能小于，则水池高度h在什么范围？ 【经典例题四 反比例函数的应用之行程问题】 【例1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·四川达州·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进．但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象，经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）（）的反比例函数，其图象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是___厘米． 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）红红一家人自驾从昆明到丽江游玩，途径一段高速公路，假设汽车在该高速公路上匀速行驶，记行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/时．若红红爸爸驾车速度为90千米/时，则6小时可以行完该高速公路． (1)求v与t的函数关系式． (2)他们是早上驶入该高速公路，中午驶离该高速公路，求红红爸爸在该高速公路上的行驶速度． 2．（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 3．（2026八年级下·上海宝山·专题练习）（一）“反比例函数”与“闭眼打转问题” 在日常生活中，有一个有趣的现象，当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，又回到了原来出发的地方，这就是著名的“闭眼打转问题”． “反比例函数”与“闭眼打转问题”看似两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系呢？看了下面的分析，你就会感受到反比例函数的“神奇力量”！ 相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的研究．他收集了大量事例分析并得到结论：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长（或短）一段微不足道的距离．而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！ 现在我们来研究一下x与y之间的函数关系： 如图所示，假定某人两脚踏线间相隔为d，很明显，当人在转圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆．设该人平均步长为l．那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程：；另一方面，外脚走的路程是外脚步长乘步数，内脚走的路程是内脚的步长乘步数，那么外脚比内脚多走的路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，所以有，即． 若假设，，代入得，这就是所求的“闭眼打转问题”的半径公式．它是一个反比例函数．假设一位“闭眼走路”的人两脚步差仅为，那么，仅此微小的差异就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子．看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服呢？ （二）有趣的游戏 在世界著名的水都威尼斯，有个圣马可广场．广场上有一座圣马可大教堂，教堂的前面是一片长方形开阔地，长约170米，宽约80米．这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前方．奇怪的是，尽管这段距离只有170米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？ (1)让我们先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一侧的中央M点抵达教堂的点C处，这段弧线的半径R为多少？请同学们完成下面的问题．已知，在矩形中，米，米，M是中点，求弧所在圆O的半径R． (2)也就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于这个R．请你再用公式计算一下，要达到上述要求，游客的两脚步差x的取值范围是多少？你能否说说为什么没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！” 【经典例题五 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例1】（2025·贵州遵义·二模）小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【例2】（2025·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 1．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 3．（2025·福建厦门·一模）某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量（单位：万盒）随价格（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示．该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保，2022年价格下调至30元/盒．但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题：    (1)求2022年该药品的年销售量； (2)该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%．为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由． 【拓展训练一 反比例函数实际综合问题】 【例1】（2026·四川南充·一模）日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： V（单位：） 1 1.5 2 2.5 3 p（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32 p与V之间的函数关系式可能是________． 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．设原计划每天加工个零件． (1)求原计划每天加工零件的个数； (2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？ 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）班级足球队计划采购一批护腿板，保护队员以防受伤，假设每副护腿板的采购费用为元，本次采购的护腿板数量为副，总预算为定值元，与之间满足反比例函数关系，部分数据如表所示． /元 12 30 /副 50 30 20 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算___________元，与之间的函数表达式为___________； (2)求表中的值； (3)当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购多少副护腿板？ 3．（25-26九年级上·安徽·期末）【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 (1)丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． (2)当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． (3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ A基础训练 1．（25-26九年级上·全国·期末）若电磁波波长、频率满足关系式，则下列关于电磁波的说法中，正确的是（    ） A．波长是频率的正比例函数 B．如果波长为，那么频率为 C．如果波长小于，那么频率小于 D．如果波长大于，那么频率小于 2．（2025·河北沧州·模拟预测）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 3．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（   ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 5．（2025·湖南郴州·模拟预测）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 B 提高训练 6．（2026·山西吕梁·一模）通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）是距离（单位：）的反比例函数．已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为；当小张同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为__________． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为____________ 8．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知在温度不变的条件下，汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强成反比例关系，当时，，则当时，______． 9．（2026·陕西榆林·一模）某条公路上有甲、乙两个测速点，从甲到乙汽车平均行驶速度（）与行驶时间（）呈反比例函数关系，其图象如图所示．若某辆汽车从甲到乙所用时间为，则该汽车平均行驶速度是______． 10．（24-25九年级上·安徽·月考）如图所示的是一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数图象． （1）根据图象可知此蓄水池的蓄水量为_______； （2）此函数的解析式为___________； （3）若要在内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______； （4）如果每小时的排水量是，那么水池中的水需要________h排完． C 培优训练 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 12．（24-25九年级上·河北沧州·月考）你当个需要贷款的购房者，购买一套商品房，首付45万，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，所谓等额本金，就是在客户还款的时候，在还款期内把贷款总额进行等分，然后每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息．若每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示．    (1)求y与x的函数关系式； (2)你购买的商品房的总价是______万元； (3)若你计划每月偿还贷款不超过3000元，则至少需要多少个月还清？ 13．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 14．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 15．（25-26九年级上·广东深圳·月考）问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03反比例函数的应用重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+1拓展训练+自我检测） 题型一 实际问题与反比例函数 题型二 反比例函数的应用之销售问题 题型三 反比例函数的应用之几何图形问题 题型四 反比例函数的应用之行程问题 题型五 一次函数与反比例函数的实际应用 拓展训练一 反比例函数实际综合问题 知识点： 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【即时训练】 1．（2025·云南·模拟预测）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的应用．根据，可得结论． 【详解】解：物体对地面的压强与受力面积S之间的函数解析式， ∴该函数图象位于第一象限． 故选：A． 2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 【答案】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设反比例函数的一般形式，再代入已知的和的值求出待定系数，即可得到函数表达式. 【详解】解：因为与成反比例函数关系， 所以设， 将，代入得： ， 因此出水速度与水管横截面积的函数表达式为， 【经典例题一 实际问题与反比例函数】 【例1】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位：）与光照强度（单位：，光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示．已知当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω．若要使光敏电阻的阻值增大到10Ω，则下列关于光照强度的说法正确的是（    ）    A．增大至12.5 B．减小至12.5 C．增大至2 D．减小至2 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．根据图象和已知条件确定光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系，进而利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：∵由图知，光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系， 设这个函数关系式为， ∵当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω， ∴， ∴这个函数关系式为， 当时，， ∴光照强度减小至2， 故选：D． 【例2】（2025·湖南衡阳·三模）如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率为，则电阻为_______． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据题意得出，再求出当电功率为时的值即可，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：， 由滑动变阻器的电阻时，其电功率，可得， ∴． 当电功率为时，则， 故答案为：． 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则电流与电阻之间的表达式为______． 【答案】 【分析】设函数解析式为，把图象上点的坐标代入求得值即可． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为， 由图象可知，该函数图象经过点，把代入得， ∴． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式，求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是 (3)气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据实际问题解释点坐标的意义即可； （3）根据函数解析式求出函数值，然后求解即可． 【详解】（1）解：设压强与体积的函数表达式为， 将代入得：， ， ∴压强与体积的函数表达式为； （2）解：当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是； （3）解：当时，，解得． 当时，，解得． ， 答：气体体积压缩了． 【经典例题二 反比例函数的应用之销售问题】 【例1】（24-25八年级下·山东威海·期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　　） A．4月份的利润为50万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元 D．8月份该厂利润达到200万元 【答案】D 【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为y=， 把（1，200）代入得，k=200， ∴反比例函数的解析式为：y=， 当x=4时，y=50， ∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意； B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意； C、当y=100时，则100=， 解得：x=2， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项正确，不符合题意． D、设一次函数解析式为：y=kx+b， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：y=30x-70， 故y=200时，200=30x-70， 解得：x=9， 则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键． 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为______元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【答案】300 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先求解，再由，再解方程并检验即可； 【详解】解：由题中表格数据，得， ∴， 由题意，得， 把代入，得， 解得， 经检验，是该方程的根， 所以其售价应定为300元/双． 故答案为：. 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）一家名牌上衣专卖店月份的经营目标是盈利元． (1)写出专卖店月份每件上衣的利润（元）关于所需售出的上衣件数（件）的函数解析式； (2)如果每件上衣的利润是元，要完成经营目标，该商店月份至少要卖出多少件上衣？ (3)若经理只要求达到元利润，每售出一件上衣，售货员要提成元，在每件上衣元利润不变的前提下，营业员至少需要卖出多少件上衣才能完成任务？ 【答案】(1) (2)该商店月份至少要卖出120件上衣 (3)营业员至少需要卖出105件上衣才能完成任务 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）由题意得，，据此可得答案； （2）由题意得，解不等式即可得到答案； （3）设营业员需要卖出m件上衣，根据题意可知每件上衣的实际利润为48元，再根据利润要达到5000元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由题意得， 解得， 答：该商店月份至少要卖出120件上衣； （3）解：设营业员需要卖出m件上衣， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的最小值为105， 答：营业员至少需要卖出105件上衣才能完成任务． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 【答案】(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数 (2) (3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． （1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 【答案】(1) (2)当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元 (3)此时店铺的一袋茉莉香茶为60元 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的应用、一元一次方程的实际应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）首先设销售利润为，根据题意即可得到，再结合当增大时，减少，即可得到当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）首先根据降雪量为8毫米时得到原售价为44元，再设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，根据题意即可得到，进而即可求解出此时店铺的一袋茉莉香茶的价钱． 【详解】（1）解：设， 将和代入，得，解得：， ∴； （2）解：设销售利润为， ∴由题意可得，， ∵， ∴当增大时，减少， ∴当时，取最大值，最大值为元， ∴当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）解：当降雪量为8毫米时，原售价为44元， ∵在进行“买三送一”活动时，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴购买了15袋，赠送了5袋， 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元， ∴由题意可得，，解得：， ∴此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 【经典例题三 反比例函数的应用之几何图形问题】 【例1】（2026·河北邯郸·二模）如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（   ）． A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义设点坐标为，得到，，，，可求得四边形、三角形、三角形的面积，可求出四边形的面积表达式，根据四边形的面积为3，可求k的值． 【详解】解：设点坐标为，得到，， 又轴于点，轴于点，则四边形为矩形， 四边形的面积为，，， 根据题意有，，则，， ，， 四边形的面积为， 根据题意有，解得． 【例2】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）分别写出下列函数的关系式，指出是哪种函数，并确定其自变量的取值范围． (1)在时速为的运动中，路程s（单位：）关于运动时间t（单位：h）的函数关系式； (2)某校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式． 【答案】(1)，s是t的正比例函数，自变量 (2)，y是x的反比例函数，自变量 【分析】本题考查了列函数解析式，准确理解题意是解题的关键． （1）直接根据路程=速度×时间求解即可； （2）根据长×宽求解即可． 【详解】（1）由题意得，，s是t的正比例函数，自变量； （2）∵， ∴，y是x的反比例函数，自变量． 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1) (2)①，．②， 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键； （1）根据长方形种植园的面积为，可得出，即，结合墙长为且值非负，可确定的取值范围； （2）根据围栏总长不超过，可得出，结合，均为正整数且，即可找出各围建方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 墙长为，且值非负， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 即， 又，均为正整数，且， 当时，与的对应值如下表： 1 2 5 10 50 25 10 5 符合题目要求的对应值如下表： 5 10 10 5 满足条件的所有围建方案为①，． ②，． 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水，水池的底面为正方形．由设计单位核算知，水池的总储水量为．若水池底面为S，高为h． (1)求出S与h的函数关系，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (2)若底面S为，则水池高度为多少m？ (3)楼顶平台长为30m，宽为15m，规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%，同时考虑到楼顶平台承受能力，水池底面不能小于，则水池高度h在什么范围？ 【答案】(1)与的函数关系式为，函数大致图象如图所示． (2)底面积为时，水池高度为 (3)水池高度的取值范围为 【分析】（1）根据底面积高体积即可列式，再列表，描点，连线画图象即可． （2）将代入（1）中表达式即可求值． （3）先求底面积的范围，接着根据表达式求对应的高的范围． 【详解】（1）解：水池的总储水量为， ， ， 所以与的函数关系式为， 函数大致图象如图所示： （2）解：当时， ， 故底面积为时，水池高度为． （3）解：规定水池地面边长不超过楼顶平面宽的， 水池边长， 由题意得， 又， ， ， 故水池高度的取值范围为． 【点睛】本题考查列函数关系式，画函数图象，求未知量的值，求变量的取值范围．正确理解题意是关键． 【经典例题四 反比例函数的应用之行程问题】 【例1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【详解】解：由题意设 ， 把代入得： ， ， 当h时，， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到， 故选B． 【例2】（24-25九年级上·四川达州·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进．但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象，经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）（）的反比例函数，其图象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是___厘米． 【答案】0.4 【分析】设反比例函数解析式y=，将（2，7）代入，求出解析式，再求当y=35时，x的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式y= 如图可知，图象经过点（2，7） 将（2，7）代入解析式，得7=，解得k=14 ∴反比例函数解析式为y= 当y=35时，35=，解得x=0.4 故答案为：0.4． 【点睛】本题考查求反比例解析式以及求自变量的值，能从图象中获取所需信息和正确地计算能力是解决问题的关键． 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）红红一家人自驾从昆明到丽江游玩，途径一段高速公路，假设汽车在该高速公路上匀速行驶，记行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/时．若红红爸爸驾车速度为90千米/时，则6小时可以行完该高速公路． (1)求v与t的函数关系式． (2)他们是早上驶入该高速公路，中午驶离该高速公路，求红红爸爸在该高速公路上的行驶速度． 【答案】(1) (2)108千米/时 【分析】本题考查反比例函数的实际应用： （1）根据高速公路的路程一定，得到，即可得出结果； （2）先求出行驶时间，代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； （2）（小时）， ∴当时，千米/时； 答：红红爸爸在该高速公路上的行驶速度为108千米/时． 2．（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为80 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）根据路程=速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 最低限速，时，； 最高限速，时，； ∴的范围为； （2）解：前用时，， 剩余用时，， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 3．（2026八年级下·上海宝山·专题练习）（一）“反比例函数”与“闭眼打转问题” 在日常生活中，有一个有趣的现象，当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，又回到了原来出发的地方，这就是著名的“闭眼打转问题”． “反比例函数”与“闭眼打转问题”看似两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系呢？看了下面的分析，你就会感受到反比例函数的“神奇力量”！ 相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的研究．他收集了大量事例分析并得到结论：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长（或短）一段微不足道的距离．而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！ 现在我们来研究一下x与y之间的函数关系： 如图所示，假定某人两脚踏线间相隔为d，很明显，当人在转圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆．设该人平均步长为l．那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程：；另一方面，外脚走的路程是外脚步长乘步数，内脚走的路程是内脚的步长乘步数，那么外脚比内脚多走的路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，所以有，即． 若假设，，代入得，这就是所求的“闭眼打转问题”的半径公式．它是一个反比例函数．假设一位“闭眼走路”的人两脚步差仅为，那么，仅此微小的差异就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子．看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服呢？ （二）有趣的游戏 在世界著名的水都威尼斯，有个圣马可广场．广场上有一座圣马可大教堂，教堂的前面是一片长方形开阔地，长约170米，宽约80米．这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前方．奇怪的是，尽管这段距离只有170米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？ (1)让我们先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一侧的中央M点抵达教堂的点C处，这段弧线的半径R为多少？请同学们完成下面的问题．已知，在矩形中，米，米，M是中点，求弧所在圆O的半径R． (2)也就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于这个R．请你再用公式计算一下，要达到上述要求，游客的两脚步差x的取值范围是多少？你能否说说为什么没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！” 【答案】(1)米 (2)，理由见解析 【分析】（1）易得，在中，根据勾股定理列出方程，求出半径R即可； （2）由半径公式得到当时，，即两脚步差必须小于等于，据此解答即可． 【详解】（1）解：在中，米， 则， 由勾股定理得：， 即， 解得米； （2）解：当时， 即， 解得， 即两脚步差必须小于等于， 而把眼睛蒙上，两脚步差很难小于等于， 故没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！”． 【经典例题五 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例1】（2025·贵州遵义·二模）小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 【例2】（2025·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 1．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解； （2）设，设点到距离为，根据已知条件可知，则，，所以，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数， ∴，解方程得，， ∴，设反比例函数解析式为， ∴，解方程得，， ∴反比例函数解析式为． （2）解：设，设点到距离为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即，解方程得，，， ∴，． 【点睛】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 2．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 3．（2025·福建厦门·一模）某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量（单位：万盒）随价格（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示．该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保，2022年价格下调至30元/盒．但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题：    (1)求2022年该药品的年销售量； (2)该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%．为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由． 【答案】(1)700万盒 (2)该药品价格满足元/盒，见解析 【分析】（1）设双曲线的解析式为，代入点，求出解析式，再将代入即可解答； （2）设2021年的制药成本为元/盒，由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒，根据2022年销售该药品的利润与2021年相同，列得，求出a，根据2023年该药品的价格，则年销售量为万盒，列得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设双曲线的解析式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 可得， 所以， 所以当时，； 答：2022年该药品的年销售量是700万盒； （2）设2021年的制药成本为元/盒， 由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒， 因为2022年销售该药品的利润与2021年相同， 可得， 化简得， 解得， 因为2023年继续下调该药品的价格， 所以2023年该药品的价格，则年销售量为万盒， 依题意得， 化简得， 因为，根据不等式的性质，不等式两边同乘以正数，可得， 所以， 答：该药品价格满足元/盒． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． 【拓展训练一 反比例函数实际综合问题】 【例1】（2026·四川南充·一模）日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上可得，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，可得 ，进而即可判断求解． 【详解】解：根据题意可知，氯化钠的质量为， ∵甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同，即 ， 如图，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，则 ， ∴大小关系为． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： V（单位：） 1 1.5 2 2.5 3 p（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32 p与V之间的函数关系式可能是________． 【答案】 【分析】通过计算表格中对应变量的乘积，可判断与的函数关系． 【详解】解：根据表格中的对应数据计算得：，， 可得， 变形得． 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．设原计划每天加工个零件． (1)求原计划每天加工零件的个数； (2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？ 【答案】(1)原计划每天加工零件25个 (2)原计划完成任务的天数最多为20天 【分析】（1）根据题意，列出分式方程，求解该方程即可得出答案； （2）不妨设原计划完成任务的天数为，那么，由题意判断出原计划的加工零件个数，结合反比例函数的性质，可得原计划完成任务的最多天数． 【详解】（1）解：设原计划每天加工个零件，根据题意得：， 解得，(舍去)， 经检验，是原分式方程的解， 答：原计划每天加工零件个． （2）解：不妨设原计划完成任务的天数为，那么，实际每天加工的零件个数为个， ∵实际每天至少要加工20个零件， ∴， ∴， ∵的图象在时，随的增大而减小， ∴当取最小值时，天数最多， 此时天数 (天) ， 答：原计划完成任务的天数最多为天． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）班级足球队计划采购一批护腿板，保护队员以防受伤，假设每副护腿板的采购费用为元，本次采购的护腿板数量为副，总预算为定值元，与之间满足反比例函数关系，部分数据如表所示． /元 12 30 /副 50 30 20 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算___________元，与之间的函数表达式为___________； (2)求表中的值； (3)当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购多少副护腿板？ 【答案】(1)600， (2) (3)当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购40副护腿板 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，反比例的性质，正确理解题意是解题的关键 （1）由表格中的数据可知，据此可得答案； （2）把代入，即得a的值； （3）把代入解析式即得函数y的值. 【详解】（1）解：， ∴． 故答案为：600，． （2）解：把代入， 得， 解得：． （3）解：当时，． 答：当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购40副护腿板． 3．（25-26九年级上·安徽·期末）【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 (1)丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． (2)当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． (3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 【答案】(1)图见解析； (2)托盘中砝码的质量为 (3)托盘应该向左移动 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例解析式是解题的关键． （1）根据列表数据描点连线得函数图象，利用待定系数法求解析式； （2）将代入（1）中解析式，求出y值即可； （3）根据函数解析式求出托盘移动前和移动后与支点的距离，作差即可． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图象如图所示． 由图象可得与是反比例函数关系， 设 当时， ，解得 ． （2）解：当时，代入，得， 托盘中砝码的质量为； （3）解：设托盘移动前和移动后与支点的距离分别为． 移动前托盘中的砝码质量为 ． 移动后托盘中的砝码质量为 ， 托盘应该向左移动． A基础训练 1．（25-26九年级上·全国·期末）若电磁波波长、频率满足关系式，则下列关于电磁波的说法中，正确的是（    ） A．波长是频率的正比例函数 B．如果波长为，那么频率为 C．如果波长小于，那么频率小于 D．如果波长大于，那么频率小于 【答案】B 【分析】此题重点考查反比例函数的定义与性质，正确理解反比例函数的定义与性质是解题的关键．根据关系式，波长与频率成反比例关系，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．关系式可变形为，此为反比例函数关系，故A不符合题意； B．当时，代入得：，故B符合题意； C．当时，代入得：，根据反比例函数性质，与成反比例，当，应有，故C不符合题意； D．当时，代入得：，根据反比例函数性质，与成反比例，当，应有，故D不符合题意． 故选：B． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故A正确，不符合题意； B、当时，，故B正确，不符合题意； C、根据题意得，所以要增大y，应减小x，故C不正确，符合题意； D、根据题意得，所以x增大一倍，则y减少一半，故D正确，不符合题意， 故选：C． 3．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质；根据公式，即，结合反比例函数的性质，图象离原点越远，k值越大，即用电器功率（P）越大． 【详解】解：∵， ∴，即当电功率一定时，其图象是反比例函数的图象， ∵乙、丁两点在曲线上， ∴乙、丁两用电器的功率相等， ∵甲点在曲线上方，丙点在曲线下方， ∴功率最大的是甲． 故选：A． 4．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（   ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，设，过四个点作坐标轴的垂线，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，依题意得：，，，分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．于是得到结论． 【详解】解：设， 分别过四个点作坐标轴的垂线， 则与原点围成的矩形面积即为，也就是优秀人数， 由矩形面积可得， 即：4班优秀人数1班优秀人数3班优秀人数2班优秀人数， 故选：D． 5．（2025·湖南郴州·模拟预测）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 故选：D． B 提高训练 6．（2026·山西吕梁·一模）通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）是距离（单位：）的反比例函数．已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为；当小张同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为__________． 【答案】5 【分析】设反比例函数，利用已知条件求出比例系数，再代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数， 已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为， ，解得， ， 又时，， 所以，此时信号强度为． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为____________ 【答案】 【分析】根据销售量=每日销售总金额÷单价列出函数关系式即可． 【详解】解：∵每斤50元时，当日销量为80斤， ∴当日销售金额为：（元）， ∴每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数应用，求出当日销售总金额是解答本题的关键． 8．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知在温度不变的条件下，汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强成反比例关系，当时，，则当时，______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，设汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强的关系式为，当时，，求出，即有，然后把代入求解即可，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强成反比例关系， ∴设汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强的关系式为， 当时，， ∴，解得：， ∴汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强的关系式为， 当时，， 故答案为：． 9．（2026·陕西榆林·一模）某条公路上有甲、乙两个测速点，从甲到乙汽车平均行驶速度（）与行驶时间（）呈反比例函数关系，其图象如图所示．若某辆汽车从甲到乙所用时间为，则该汽车平均行驶速度是______． 【答案】 【分析】设，根据函数图象可知，当时，，用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入函数解析式求出值即可． 【详解】解：设， 由函数图象可知，当时，， 可得：， 解得：， ， 当时， 可得：． 10．（24-25九年级上·安徽·月考）如图所示的是一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数图象． （1）根据图象可知此蓄水池的蓄水量为_______； （2）此函数的解析式为___________； （3）若要在内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______； （4）如果每小时的排水量是，那么水池中的水需要________h排完． 【答案】 48 8 9.6 【分析】（1）根据工作总量＝工作效率×工作时间即可求出答案； （2）根据点在此函数图象上，利用待定系数法求出函数的解析式； （3）把代入函数的解析式即可求出每小时的排水量； （4）把代入函数的解析式即可求出水池中的水需要排完的时间． 【详解】解：（1）根据题意得：蓄水量为， 故答案为：48； （2）设， 点在此函数图象上， ， ， 此函数的解析式， 故答案为：； （3）当时，； 每小时的排水量至少应该是． 故答案为：8； （4）当时，； ∴水池中的水需要9.6h排完， 故答案为：9.6． 【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式． C 培优训练 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中的解析式，即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 即这个三角形的底边长为． 12．（24-25九年级上·河北沧州·月考）你当个需要贷款的购房者，购买一套商品房，首付45万，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，所谓等额本金，就是在客户还款的时候，在还款期内把贷款总额进行等分，然后每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息．若每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示．    (1)求y与x的函数关系式； (2)你购买的商品房的总价是______万元； (3)若你计划每月偿还贷款不超过3000元，则至少需要多少个月还清？ 【答案】(1) (2)105 (3)至少需要200个月还清 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用首付加上贷款进行计算即可； （3）求出时，的取值范围即可． 读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 由图可知：在函数图象上， ∴， ∴； （2）商品房的总价为（万元）； 故答案为：105； （3）万元， 当时，即：， ∴， ∴至少需要200个月还清． 13．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由（1）得， 在中，当时，， 解得或（舍去）， 小时， 答：这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次． 14．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． （1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积． 【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 15．（25-26九年级上·广东深圳·月考）问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟 （4）则该品牌头盔每个应涨价5元 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式； （2）50分钟，将代入，即可求解； （3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解． （4）设头盔每个涨价m元，根据题意列出关于m的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意，测速区间的路程是定值， 因为平均速度， 所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数， 根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为， 所以，与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得50分钟， 将代入， 得， 答：它的平均速度是； （3）根据题意，得，解得， 小时分钟分钟， 答：行驶时间应不少于22.5分钟． （4）设头盔每个涨价m元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 则该品牌头盔每个应涨价5元． 学科网（北京）股份有限公司 $