北京交通大学附属中学2026-2027学年九年级上学期10月 数学学情自测

2026一2027学年度第一学期10月学习诊断一初三数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的， 1.一元二次方程3x2-6x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A.3,6,1 B.3,6,-1 C.3,-6,1 D.3,-6,-1 2.把抛物线y=x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A.y=x2+1 B.y=x2-1C.y=-x2+1 D.y=-x2-1 3.如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△MPN', 则旋转中心可能是 A.点A B.点B C.点C D.点D 4.已知反比例函数y= ,下列结论中，不正确的是() A.图象必经过点(2,1) B.图象在第一、三象限内 C.在图象的每个象限内，y随x的增大而增大 D.若x>1,则0<y<2 5.己知抛物线y=x2+2x经过点(-4，)，(1，y),则乃与y,的大小关系为 A.=y2 B.<2 C.4>y2 D.无法确定 6.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转°后能与原来的图案重合， 那么n的值可能是 A.45 B.60 C.90 D.120 7.如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数 k y=c<0)和y=生(x>0)的图象交于点A和点B,若点C是x轴上的任 意一点，连接AC,BC,若△ABC的面积为10，则k的值为() C( A.-12 B.-16 C.6 D.-6 第1页（共6页） 8.二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象经过点A（-2,y1),B(-1,y2),C（3,y3).若y1<0<y2, 且抛物线的对称轴为直线x=1.则下列结论正确的是() ①abc<0;②8a+c<0;③关于x的方程ax2+bx+c=0的两根之积x1x2>-3;④点(x1,m),(x2, m)在抛物线上且在对称轴的同侧，当x1~=2时，总有m-川≥6，则a≤-多 A.①② B.①②④ c.①③④ D.①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.若点A(a,3)和B(-2,b)关于原点对称，则a+b=一· 10.写出一个图象开口向上，过点(0,1)的二次函数的表达式： 11.若关于x的一元二次方程(a-2)x2+2x+2-4=0有一个根为0，则a的值为 D 12.如右图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4.以点A为中心，将矩 形ABCD旋转得到矩形AB'CD,使得点B'落在边AD上，则此 时DB'的长为 0 13.如图，若反比例函数y1=女>0)与一次函数=+b的图象交于 B(2,m) A(2,m、B(6,1)两点，则不等式ax+b>的解集为 A(6,1) 14.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较O 大部分的比值，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.现有长为4的绳子按 照黄金分割分成两段，设较长一段的长为，依题意，可列方程为 15.己知函数y1=-2k+1(k是常数，k≠0)，y2=2-2m-3a(a是常数，a≠0)，在同一平面直角坐 标系中，若无论k为何值，函数y1和y2图象总有公共点，则α的取值范围是 16.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下定义：若在图形M上存在点Q,使得 O2=kOP,k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点.已知点A(-2,2),B(2,2). (1)在点C(1.0),D(0,-2),E(1,1)中，线段AB的2倍等距点是： (2)线段AB的所有2倍等距点形成图形的面积是 三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18题3分，第19、21、22、23题每小题5分，第20、24、 26题每小题6分，25、27、28题每小题7分) 17.解方程：(1)（x-1-3=0 (2)x2-4x+3=0 第2页（共6页） 18.(3分)如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(4,2),B(3,0),将△OAB绕O点逆时针方向旋转90° 得到△OAB'. (I)在网格中画出△OA'B'; (2)点A'的坐标为 (3)线段OB在旋转过程中扫过的面积为 (结果保留π). 19.己知x1,x2是方程2x2-5x+1=0的两个实数根，求下列各式的值： (1)X1x2+Xx2: (2)+4 X1 X2 20.已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+m-2=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程两个实数根的差为2，求的值. 21.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表： -4 ~3 -2 -1 0 1 2 5 0 3- 2 3 0 5 2 2 2 (1)求这个二次函数的表达式： (2)在右图中画出此二次函数的图象： (3)结合图象，直接写出当y>0时，自变量x的取值范围， -2 (4)当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时， 4 -3-2 -1 0 2 30 n的取值范围是一： -2 22.如图，四边形ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状， 其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE.设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的 面积为y平方米。 (1)y与x之间的函数关系式为 (不需要写出自变量的取值范围)： (2)根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃 G ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？ E H B 第3页（共6页） 23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x-1)+6化>0)的图象与反比例函数y=心（≠0）的图象的 一个交点的横坐标为1. (1)求这个反比例函数的解析式： (2)当x<-3时，对于x的每一个值，反比例函数y=业的值大于一次函数y=k(K-1)+6>0的 X 值，直接写出k的取值范围 A 24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD, 过点B作BE∥CD,过点C作CE∥AB,BE、CE相交于点E. (1)求证：四边形CEBD是菱形： (2)过点D作DF⊥CE于点F,交CB于点G,若AB=10,CF=3, 求DG的长， 25.中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台 决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌.在精彩的比赛过程 中，全红婵选择了一个极具难度的270C(向后翻腾三周半抱膝).如图2所示，建立平面直角坐标系 xOy.如果她从点A(3,10)起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中， 她的竖直高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)近似满足函数关系式y=a(x-h)2+k(a<0). 垂直高度y/m B 泳泄 水平距离x/m 图1 图2 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/ 0 3 3.5 4.5 竖直高度ylm 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为 ,直接写出满足的函数关系式： 第4页（共6页） (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-5x2+40x- 68,记她训练的入水点的水平距离为d山，比赛当天入水点的水平距离为d,请通过计算比较山与d 的大小： (3)在(2)的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c,则她到 水面的距离y与时间t之间近似满足y=-52+c,如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完 成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线G:y=ax-2ax+c(a≠0)的对称轴为x=1. (1)求a的值： (2)若当0<x<3时，抛物线G与x轴有且只有一个交点，直接写出c的取值范围： (3)将抛物线G向右平移(m>0)个单位长度得到抛物线G,,若点A(x,),B(x2,y,)在抛物线G, 上，若对任意的3<x<4,2=m,都有y,>乃，求m的值. 27.在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=a,D为BC的延长线上一点，连接AD,将线段AD绕点A顺 时针旋转180°-2α得到线段AE,连接CE. (1)如图1，a=30°，点E在直线BC上，求证：CE=2CD: (2)如图2，用等式表示线段AB,CD和CE的数量关系，并证明. A B D B E 图1 图2 第5页（共6页） 28.点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的 长度为点P到∠AOB的距离，记为d(P,∠AOB),特别的，当点P在∠AOB的边上时， d(P,∠AOB)=0. 在平面直角坐标系xOy中，A(4,0) (1)如图1，若M(0,2),N(-1,0),则dM,∠AOB)=,d(N,∠AOB)= (2)在正方形OABC中，点B(4,4). ①如图2，若点P在直线y=3x+4上，且d(P,∠AOB)=2W2,求点P的坐标： ②将抛物线y=-x2+4向下平移k(k≥0)个单位长度后得到的新抛物线记作图象W,若点P 在图象W上，且满足d(P,∠AOB)=2V2的点P有且只有两个，请直接写出k的取值范围. y=3x+4 5 C /B 3 2-M NK60° A -10123 4x 32012464高-之01345 -1 图1 -21 -3 4 图2 备用图 第6页（共6页） 2026-2027学年度第一学期10月学习诊断初三数学 答案 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A B D B B 二、填空题（本题共16分，每小题2分) 9.-1. 10.答案不唯一，例如y=x2+1 11.-212.1 13.2<x<6.14.:x2=4(4-x).15.a>0或a≤-316.①.点C和点E: ②.π. 三、解答题（本题共68分） 17.(1)解：(x-1)2=3 x-1=士V3,…1分 x=1士√3，…2分 x1=1+V3,x2=1-V3…3分 (2)解法一： 解：x2-4x+4=1, (x-2）=1,…1分 x-2=士1，…2分 x=1,X3=3.…3分 解法二： 解：（x-1)(x-3)=0,…2分 x-1=0或x-3=0, X=1,X3=3.…3分 18.解：(1)如图，△OAB即为所求： .1分 (2)A（-2,4). 2分 (3)竖 .3分 19.解：根据根与系数的关系得到x+-多xx2-司。2分 1、55 (1)原式=x1x2(xtx2)=2×立=4 3分 -1 (3)原式=2+22-+22-2x1也-空1-2 X1X2 x1X2 1 2 2.5分 20.(1)证明：由一元二次方程得： a=1,b=-(m-1),c=m-2, .△=[-(m-1)]2-4(-2)=(-3)2≥0， 该方程总有两个实数根：…2分 (2)解：由一元二次方程得： x1十为=-名=m-1,名1x=8=m-2,1分 ,该方程两个实数根的差为2， .(x1-x2)2=4, ,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·X2,.2分 .(-1)2-4(m-2)=4,.3分 解得=1或=5， .的值为1或5...4分 21.(1)解法一：由题意，设二次函数的表达式为y=a(x+1)+2. 二次函数经过点1,0)， ∴.4a+2=0 ………1分 2 六=次码数的表达式为=6+02.2分 即y=-1r2 3-x+3 .3 2 解法二：由题意，设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-1). 二次函数经过点(-1,2)， .-4a=2. as、 …1分 2 二次函数的表达武为=6x+30-).2分 即y=-x-x+ 3 21 2 (2)如右图.…3分 (3)-3<x<1.…4分 3 -2 （4)n>3.…5分 22.解：(1)y=-2x2+4x+16(或y=（4-x)(4+2x)…2分 (2)由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得-2x2+4x+16=16.…3分 解得：x=2,x=0（不合题意，舍去). …4分 答：此时BE的长为2米…5分 23.解：(1)解：“一次函数y=长x~1)+6(>0)的图象与反比例函数)=受m≠0)的图象的 个交点的横坐标为1， .代入一次函数得，y=k(x-1)+6=k(1-1)+6=6, .交点坐标为(1,6)，…1分 把交点坐标代入反比例函数y=受Om子0得，空-6： m=6,…2分 “反比例函数解析式为)=是 …3分 (2)k≥2.…5分 24.(1)证明：，BE∥CD,CE∥AB, ∴.四边形CEBD是平行四边形，…1分 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点， CD=BD=2AB,2分 .四边形CEBD是菱形；…3分 (2)解：.AB=10, ∴CD-ZAB=5, DF⊥CE, ∴.∠DFC=90°， .CF=3, ∴.DF=VCD2-CF2=4,…4分 ,四边形CEBD是菱形， .CE=CD=5,∠DCG=∠ECG, ..EF=CE-CF=2, 在△DCG与△ECG中， (CD=CE ∠DCG=∠ECG CG-CG 一3 ∴.△DCG≌△ECG(SAS), ∴DG=GE, ,FG+EF2=EG,…5分 .(4-DG)2+22=DG, ∴DG-2 …6分 25.解：(1)根据表格得：函数图象过点(4,10)，（4.5,6.25)，(3,10)， h=3+4=3.5, 2 y=-5(x-3.5)2+k, 5a6-3.52+k=10 a(4.5-3.5)2+k=6.251 得：=1i25 的函数关系y=-5(x-3.5)2+11.25; 故答案为：11.25：y=-5(x-3.5)2+11.25,…2分 (2)对于y=-5(x-3.5)2+11.25, 当y=0时，0=-5(x-3.5)2+11.25, 解得：x1=5,x2=2(不合题意，舍去)， 山=5米，…3分 对于y=-5x2+40x-68, 当y=0时，-5x2+40.x-68=0, 解得：石=4+2正，=4-2（不合题意，合去） 5 d=4+2 51 ，…4分 4+2压>5. 5 d山<d山：…5分 (3)y=-5x2+40x-68=-5(x-4)2+12, .点B坐标为(4,12)， .c=12, y=-5t2+12,…6分 当t=1.6时，y=-5×1.62+12=-0.8, -0.8<0, 即她在水面上无法完成此动…7分 -4 26.解：解：(1)抛物线G1:y=ax2-2a2x+c(a≠0)的对称轴为x=1. 2a2 =1, 2a .a=1;…1分 (2)由(1)可知，a=1, G1:y=x2-2x+c=(x-1)2+c-1, ①当c-1=0时，G1与x轴只有一个交点， 解得：c=1;…2分 ②当c-1≠0时，将(3,0)代入y=x2-2x+c得，c=-3,将(0,0)代入y=x2-2x+c得，c=0, ∴.当0<x<3时，抛物线G1与x轴有且只有一个交点，-3<c≤0或c=1.…3分 (3)抛物线G1:y=ax2-2a2x+c(a≠0)的对称轴为x=1, ∴.抛物线G2的对称轴为x=1+, ,对任意的3<x1<4,x2=,都有y1>y2, .当点A(x1,y1),B(x2,y2)都在对称轴的左侧时，x1<, m≥4，…4分 当点A(x1,1)在对称轴的右侧时，x1>叶2， .叶2≤3，即≤1，…5分 综上，m的取值为0<m≤1或m≥4.…6分 27.（1)证明：，∠BAC=Q=30°， .180°-20=180°-2×30°=120°， 将线段AD绕点A顺时针旋转180°-2a得到线段AE,连接CE, AE=AD,∠EAD=120°，…1分 ∴∠E=∠D=2(180°-1209=30， ,∠ABC=90°，即AB⊥ED, 六∠BAD=∠BAE=3EAD=60, ∴.∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°， .∠CAD=∠D=30°， AC=CD,…2分 ,∠EAC=∠BAE+∠BAC=60°+30°=90°，∠E=30°， .'.CE=2AC, 即CE=2CD.…3分 -5- (2)解：CE2=4AB2+CD,证明如下： ,在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=a, ∴.∠ACD=∠BAC+∠ABC=90°+a, 如图，将△ACD绕点A顺时针旋转180°-2a得到△AC1E, C, B D E ∴.AC=AC1,CD=C1E,∠AC1E=∠ACD=90°+，∠C1AC=∠EAD=180°-2a, LAC1C=LACC1=Z(1800-∠C40=a,4分 ∴.∠EC1C=∠AC1E-∠AC1C=90°，…5分 :.CE2 CC2+EC, .CE2=CC+CD2,…6分 连接CC1,过A作AG⊥CC1于点G, 证△AGC三△CBA ..CG-AB=CC ..CC1=24B, ∴.CE2=(24B)2+CD, 即CE2=44B2+CD2.…7分 28.（1)1;1.（说明：每空1分)- -2分 (2)①如图， 点P在EF上时，OP-2√2， 设P(x,3x+4), x2+(3x+4)2=8, 天2 (舍)， P(-2,-2), -4分 点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为2√2， 点P与点C重合， P(0,4), -5分 -6- ∴P(-2,-2),(04) @好k<4+25 -7分 -7