第二十一章 一元二次方程 重难点检测卷 -2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第二十一章 一元二次方程重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 4．（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·全国·课后作业）“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．（26-27八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的解是_____． 8．（26-27九年级上·山西朔州·阶段检测）写出一个二次项系数为3的关于的一元二次方程________． 9．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）将方程配方成的形式，则______． 10．（2026·浙江金华·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 11．（2026·上海奉贤·二模）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 12．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______ ． 13．（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 14．（2026·广东东莞·二模）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为，可列出方程__________． 16．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，则关于x的一元二次方程的解为______ 17．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． 关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是________． 18．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)． 20．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 21．（24-25八年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 22．（21-22八年级上·山东枣庄·阶段练习）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 23．（2026·河北·模拟预测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 24．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：；因此有最小值是1，只有当时，才能得到这个式子的最小值1． (1)代数式有最小值还是最大值，这个最值是多少？此时x为何值？ (2)小明爸爸计划用高1.5米、总长的木栅栏围成一个矩形自行车场地，如图，一边靠墙（墙长），在和边各开一个1米宽的小门（不用木板）． ①围成的自行车场地面积能否等于？若能，请说明如何搭建？若不能，请说明理由． ②当长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？ 25．（25-26八年级下·福建厦门·期末）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 一元二次方程重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】解： ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到▲表示的数. 【详解】对一元二次方程配方时，若二次项系数为1，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方. ∵原方程为，一次项系数为， ∴一次项系数的一半为 ， ∴， ∴等式两边同时加9，▲表示的数是9， 4．（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再分别计算和判别式，对比即可得到二者的数量关系． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，常数项为， ∵由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式， 又， ． 5．（26-27八年级上·全国·课后作业）“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】先根据给定的“洛书积”运算规则列出关于的方程，整理为一元二次方程的一般形式，再通过根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 运算规则为，方程为， ∴ 将，代入运算规则得 ， 展开并整理得， ∴ ∵ ∴该方程有两个不相等的实数根． 6．（26-27八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【详解】解： 整理得， ∴或 解得，． 8．（26-27九年级上·山西朔州·阶段检测）写出一个二次项系数为3的关于的一元二次方程________． 【答案】 【分析】根据二次项系数为3的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】解：满足条件的一元二次方程为：（答案不唯一）． 9．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）将方程配方成的形式，则______． 【答案】30 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 10．（2026·浙江金华·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 11．（2026·上海奉贤·二模）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据“当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根”进行求解即可． 【详解】解：由关于x的方程有两个不相等的实数根，可知： ， 解得：． 12．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系求出和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：m，n是一元二次方程的两个实数根， ， ． 13．（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 14．（2026·广东东莞·二模）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为，可列出方程__________． 【答案】 【详解】根据题意，原价为118元，降价百分率为x，可得第一次降价后的售价为． 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上下降x，因此第二次降价后的售价为76，所以可列方程为． 16．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，则关于x的一元二次方程的解为______ 【答案】 【分析】将所求方程变形为关于的一元二次方程，结合原方程的根，即可求出所求方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则方程化为， 由已知得，一元二次方程的两根为，， 即或 分别解得，． 17．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． 关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是________． 【答案】或 【分析】先解方程得出，，再根据“邻根方程”的定义得出或，求出m的值即可． 【详解】解：由方程得： ， ∴或， 解得：，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴或， 解得：或， ∴m的值是或． 18．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【答案】或 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， ∵建成的饲养室面积为， ∴或． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ， ， ． 20．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以，     正确解答： ， ， 或 解得，． 21．（24-25八年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 22．（21-22八年级上·山东枣庄·阶段练习）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件 (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 (3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元． 23．（2026·河北·模拟预测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 【答案】(1) 这两个方程是“同根方程”， 理由：解，得，， 解，得，， 一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， 这两个一元二次方程为“同根方程”； (2)的值为1或4 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得；结合题意，将分别代入，从而计算得的值；再经检验符合的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）略 （2）解：解，得，， 一元二次方程与为“同根方程”， 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 综上，的值为1或4． 24．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：；因此有最小值是1，只有当时，才能得到这个式子的最小值1． (1)代数式有最小值还是最大值，这个最值是多少？此时x为何值？ (2)小明爸爸计划用高1.5米、总长的木栅栏围成一个矩形自行车场地，如图，一边靠墙（墙长），在和边各开一个1米宽的小门（不用木板）． ①围成的自行车场地面积能否等于？若能，请说明如何搭建？若不能，请说明理由． ②当长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)代数式有最小值， (2)解：①能，设，则， 由题意，， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 故当为，为时，自行车场地面积等于； ②当长时，自行车场地的面积最大，最大面积为. 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）①根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可；②根据矩形的面积公式和配方法进行求解即可. 【详解】（1）解： ； 故代数式有最小值，只有时，才能得到这个式子的最小值. （2）解：①略； ②由（1）可知： ， ∴当时，此时，满足题意，值最大为32， ∴当长时，自行车场地的面积最大，最大面积为. 25．（25-26八年级下·福建厦门·期末）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 满足条件的一个的值为（答案不唯一，也符合要求） 【分析】 （1）先对原方程因式分解得到两根，再根据特征数对的定义列出关于的方程组，求解得到符合条件的； （2）先求出方程的特征数对，再根据“关联全整根方程”的定义得到与的关系，结合方程是全整根方程的条件，找出满足所有要求的即可. 【详解】（1）解：， ， 解得方程的两个根为和， 特征数对为， ， 由得， 当时，，符合条件， 当时，，舍去， 故； （2）解：对方程：， ， 解得方程的两根为和， ∴方程的特征数对：，， 对于方程：， 由根与系数的关系得，， ，， ∴， ∵两个方程互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设方程两根为（为正整数），则，， 代入得， ∴， 将分解为两个大于1的正整数乘积，得： ， ∴或； ∴一个满足条件的为或12. 学科网（北京）股份有限公司 $