第21章一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次根式单元核心内容，通过基础辨析、实际应用及创新题型，全面检测知识掌握与问题解决能力，适配初中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次项系数、根的概念、判别式|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|6/18|方程根与等腰三角形、参数取值范围|结合几何情境，培养空间观念| |解答题|8/72|根的证明、增长率问题、利润模型、配方法应用|融合实际情境（如锻炼增长、工厂生产），突出模型意识与推理能力，阅读材料题（如配方法因式分解）发展创新意识|

第21章一元二次方程二次根式单元测试卷 一、单选题(每题3分，共30分) 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 【答案】C 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的定义确定对应系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∵原方程为 ， 移项整理得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 3．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 4．若分式的值为0，则x的值为（     ） A． B．2 C． D．没有符合要求的值 【答案】A 【分析】分式值为0需满足分子等于0，且分母不为0，据此计算即可． 【详解】解：∵ 分式的值为， ∴ 分子，且分母． 解方程，移项，得，化简得，解得或， 又∵ ，即， ∴ ． 5．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 6．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 7．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 8．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 9．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 10．若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若是方程的一个根，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可． 【详解】 m是方程的一个根，， ， 将代入得 ． 故答案为：9． 12．关于x的方程是一元二次方程，则m=_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且． 解方程，得，即， ∴或． ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 13．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 【答案】10 【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否成立，最后计算周长即可. 【详解】解： 因式分解得 解得 ； 若为腰，2为底，三角形三边长为，因为，满足三角形三边关系，此时周长为， 若为底，2为腰，三角形三边长为，，不满足三角形三边关系，故舍去. 综上：这个等腰三角形周长是10. 14．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 15．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，联立不等式求解即可． 【详解】解：由题意，该方程为一元二次方程，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式满足， 解得， 因此的取值范围是且． 16．已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 【答案】没有实数根 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 18．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 20．为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 21．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 22．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 23．【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)该零件的实际售价应定为每个元 【分析】（1）本题为平均增长率问题，设月平均增长率为未知数，根据4月产量和6月产量的关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）本题为销售利润问题，利用“总利润单个利润月销售量”的关系列一元二次方程求解，结合“价格尽可能实惠”的要求，选择较小的解即可． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（增长率为负不符合实际，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设该零件的实际售价应定为每个元，则单个利润为元，售价上涨了元， 因此月销售量为个， 由月销售利润为元， 列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵要求价格尽可能实惠，需选取较小的售价， ∴， 答：该零件的实际售价应定为每个(元)． 24．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第21章一元二次方程二次根式单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.一元二次方程2x2=x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（) A.2,-1,9 B.2,0,-9 C.2,-1,-9 D.2,1,-9 2.若方程m-3列x+3x-3=0 关于x的一元二次方程，则m的值为() A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若a是关于x的方程3x2-x-1=0的一个根，则2026-6a2+2a的值是() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 4x2-16 4,若分式x-2的值为0，则x的值为() A.-2 B.2 C.±2 D.没有符合要求的值 x2-6x+2=0 (x-m)2= 5.用配方法解方程 ,将方程变为 ”的形式，则m,”的值分别为 () A.93 、2 1 B.9,3 C.-13 D.1,3 6 6.已知关于x的一元二次方程ax2-bx+b-a=0(a≠0)有两个相等的实数根，则a () A.-2 C.2 D.2 7.已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2-14x+48=0的一个根，则此三 角形的周长为() A.13 B.14 C.15 D.13或15 8.若关于"的方程m-r+x+1=0 实数根，则”的取值范围是() B.m24 5 5 C.m≤4且mt1D.m之4且mt1 试卷第1页，共3页 9.若实数0， b(a≠b) ）满足a2-2a-2=0,b2-26-2=0,则() A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a2+2b<0 10.若实数、n分别满足方程m2-5m+6=0,n2-5n+6=0,且m≠n,则m2+n2的值 为() A.12 B.13 C.14 D.15 二、填空题（每题3分，共18分） 11.若m是方程2x2-3x+2=0的一个根，则9m-6m2+3= 12关于x的方程是一元二次方程(m++x-5=0 则 13.方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 14.方程x2-2x-1=0的正根介于正整数m与m+1之间，则m= 15.关于x的一元二次方程2-3x+2=0有实数根，则k的取值范围是 16已实数a,满足2+5反-34-万，则关于的方程旷++h-0 的情况 是 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知关于的一元=次方程a-3)r-(a-2)x+1=0 (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的两个根均为整数，求整数a的值. 2-(k+2)x+2k=0 18.已知关于x的方程 (I)求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； 试卷第2页，共3页 (2)若等腰△ABC的边长a=3,另两边长b,C恰好是这个方程的根，求△ABC的周长， 19.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m=0 (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (@四若方程的两根为，5，日=2，求m的值。 20.为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼。己知王大伯第一周行走的总路程为 10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长.经统计， 第三周时，单周路程达到了12100米. (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 21.请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c=0,其中b、c均为整数，且有一 x=V5+ 个根为 2,求、C的值. 辰辰同学根据二次根式的性质：（个回=aa≥0），联想到了如下解法：由x=5+2得 x-2=5,则(x-2=5 ,即2-4x+4=5,x2-4x-1=0.故b=4,c=-1 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程2 2x2+bx+c=0 b C x=2-V ,其中、均为整数，且有一个根为 ,求 c的值. √5-1 x= (2)已知 2,求代数式3x3+6x2+2025的值。 22.【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问 题中都有广泛应用. 创如：将-6x+8先利用配方法变形为a(x+m+”的形式，再分解因式 配方：x2-6x+8 =x2-6x+32-32+8 试卷第3页，共3页 =(x-3)2-1 分解因式：x2-6x+8 =(x-3)}2-1 =(x-3+1)(x-3-1) =(x-2)(x-4) 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把x2-2x-35分解因式。 (2)代数式++4r-6y+15 的最小值是 (直接写答案). (3)若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b+3c2-2ab-2b-6c+4=0,试判断△ABC的 形状，并说明理由， 23.【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工， 生产效率大幅提升.车间技术员记录了以下两组信息： 素 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相 材1 同 素 该零件的生产成本为每个30元.市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可 材2 销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率. (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元.同时， 为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠.请你计算该零件的实际售价应定为每个多少 元？ 24.一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动， (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5m用了多少秒（结果保留根号）？ (提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度”（初速度与末速度的算术平均 试卷第4页，共3页 数)与路程s,时间t的关系为s=t.) 试卷第5页，共3页