专题05 一元二次方程章末易错必刷题型专训（56题14个考点）-2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 一元二次方程章末易错必刷题型专训（56题14个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）一元二次方程的一次项系数为_______． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，求a的值． 4．（25-26九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 【易错必刷二 根据一元二次方程定义求参数取值】 5．（25-26九年级上·广西来宾·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．4 B．4 C．0 D．0或4 6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 8．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【易错必刷三 解一元二次方程——直接开平方法】 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 10．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）方程的解是_____________． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 12．（26-27九年级上·四川达州·阶段练习）解下列方程： (1) ； (2)； (3)； 【易错必刷四 因式分解法解一元二次方程】 13．（2026·河北唐山·二模）已知方程，则该方程根的情况判断正确的是（   ） A．两实数根之和为 B．两实数根之和为2 C．两实数根之积为3 D．没有实数根 14．（2026·山东·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 15．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）解下列方程． (1) (2) 16．（26-27九年级上·天津·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【易错必刷五 解一元二次方程——配方法】 17．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）一元二次方程用配方法解可变形为______． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）把下列方程化为（m，n为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷六 公式法解一元二次方程】 21．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． 22．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义表示不超过实数x的最大整数，如：，，．则方程的解为________． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 24．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如图所示． (1)解题步骤从第________步开始出错（写序号）； (2)请你用另一种方法解方程：． 【易错必刷七 换元法解一元二次方程】 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 26．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ________________； （2）关于x的方程的根为 _______________． 27．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 28．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 【易错必刷八 根据一元二次方程根的情况求参数】 29．（2026·贵州黔东南·模拟预测）方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 31．（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的一个根为1，求另一个根和m的值． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读理解： 已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的导出多项式______； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于x的方程的解； ②已知是关于x的二次多项式，且关于x的方程有两个相等的实数根，求a的值． 【易错必刷九 判别式求参数取值范围】 33．（2026·河南信阳·模拟预测）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）一元二次方程的判别式的值为______． 35．（25-26九年级上·甘肃白银·期中）已知关于的方程．求证：该方程有两个不相等实数根． 36．（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为2，求的值． 【易错必刷十 利用方程根代入求代数式的值】 37．（25-26九年级上·云南昆明·期中）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 38．（25-26九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当______时有最______（填“大”或“小”）值，为______． 39．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 40．（25-26九年级上·福建·阶段检测）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 【易错必刷十一 一元二次方程的根与系数的关系】 41．（2026·天津南开·模拟预测）若，是方程的两个根，则（     ）． A． B． C． D． 42．（25-26八年级下·福建福州·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列方程两根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 44．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）设是方程的两个根，且，求常数的值． 【易错必刷十二 实际应用增长率问题】 45．（25-26八年级上·重庆璧山·自主招生）某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3月收入达到28.8万元，该公司文创产品收入的月平均增长率为（    ） A． B． C． D． 46．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）某农场的粮食产量在两年内由50万千克增加到60.5万千克，那么平均每年增长的百分率是多少？设平均每年增长的百分率为x，根据题意列方程得______． 47．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 48．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）为了倡导全民阅读，某校决定在双休日向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月共有1000人进馆，第三个月共有1440人进馆． (1)求进馆人数的月平均增长率； (2)已知该校图书馆每月能接纳人数不超过1750人，在进馆人数的月平均增长率不变的条件下，该校图书馆能否接纳第四个月的进馆人数？请说明理由． 【易错必刷十三 面积类应用题】 49．（25-26九年级上·天津滨海新区·期末）在一幅长，宽的“天津之眼”图片的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 50．（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为______． 51．（26-27九年级上·全国·课后作业）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 52．（25-26八年级下·全国·期末）项目式学习． 项目主题：学校运动会主题草坪设计． 项目情境：学校即将举办运动会，同学们积极参与该主题草坪设计的项目活动，以下是某小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一：(1)需要设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪的两组对边，小组内同学们设计的方案主要有以下三种．三种方案中，标号①的小路的下边线向上平移可得上边线，标号②的小路的左边线向右平移可得右边线．直接写出三种方案中，小路面积，，的大小关系； 活动任务二：(2)已知矩形草坪长，宽，为施工方便，学校选择甲设计方案，并要求除去小路后的面积为，请计算小路的宽． 【易错必刷十四 韦达定理（根与系数关系）求值】 53．（24-25八年级上·四川巴中·自主招生）我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）被称为“代数符号之父”的韦达在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系．对于一元二次方程，它的两根，与系数有如下关系：，，人们把这个关系称为韦达定理． 请运用韦达定理解决问题：已知和是关于的方程的两个根，则的值为______． 55．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 56．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程章末易错必刷题型专训（56题14个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 2．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）一元二次方程的一次项系数为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的概念．根据一元二次方程的一般形式，一次项系数是． 【详解】解：方程中，一次项系数为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，求a的值． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【详解】解：由关于x的方程是一元二次方程，得 ． 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 4．（25-26九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是 【详解】解：（1）不是一元二次方程；（2）是一元二次方程；（3）不是一元二次方程；（4）不是一元二次方程 【易错必刷二 根据一元二次方程定义求参数取值】 5．（25-26九年级上·广西来宾·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．4 B．4 C．0 D．0或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，需满足指数部分且二次项系数据此进行解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 解： 当时，； 当时， 但，故 的值为 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出k即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴，， 因此， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 8．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 【易错必刷三 解一元二次方程——直接开平方法】 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握用直接开平方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，得到两个解是解题的关键． 通过直接开平方的方法求解方程，得到两个解． 【详解】解：∵ ∴ 当 时， 当 时， ∴方程的解为 , 故选：D． 10．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）方程的解是_____________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 两边开方得，， 即或， 解得，； 故答案为，． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）通过移项、系数化为，将方程整理成的形式，直接开平方求出方程的两个根； （2）将等式左边写成完全平方形式，然后直接开平方求出方程的两个根． 【详解】（1）解：已知， 则， 解得，． （2）解：已知， 则， 可得， 解得，． 12．（26-27九年级上·四川达州·阶段练习）解下列方程： (1) ； (2)； (3)； 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：整理，得， ∴， ∴或 解得，； （2）解：移项，得， ∴， ∴， 解得，； （3）解：整理，得， ∵， ∴， ∴，． 【易错必刷四 因式分解法解一元二次方程】 13．（2026·河北唐山·二模）已知方程，则该方程根的情况判断正确的是（   ） A．两实数根之和为 B．两实数根之和为2 C．两实数根之积为3 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用因式分解法求出方程的根，再计算两根的和与积即可判断选项． 【详解】解： ， 解得，， 可知方程有两个不相等的实数根，两根之和为，两根之积为， 对照选项，只有B正确． 14．（2026·山东·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 15．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）解下列方程． (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ， 或， 解得； （2）解：， ， 或， 解得，. 16．（26-27九年级上·天津·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ， （2）解： 或 ， （3） ，，， ， ， （4） 或 ， 【易错必刷五 解一元二次方程——配方法】 17．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过配方将原方程化为题目要求的形式，即可得到的值. 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，得， 整理得 ， 对比，可得. 18．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）一元二次方程用配方法解可变形为______． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案为：． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程两边加上一次项系数一半的平方进行配方，化为完全平方式，直接开平方求解； （2）先移项整理方程，再配方写成完全平方形式，直接开平方求出两根即可； （3）移项合并同类项，再配方构造完全平方式，直接开平方求出两根； （4）方程两边同除以，把二次项系数化为，再配方，然后直接开平方求出两根． 【详解】（1）解：已知， 则，即， 可得， 解得，． （2）解：已知， 则， 可得，即， 可得， 解得，． （3）解：已知， 则， ， 可得， ， 解得，． （4）解：已知， 则， ， ，即， 可得， 解得，． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）把下列方程化为（m，n为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【易错必刷六 公式法解一元二次方程】 21．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键． 将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】解：∵原方程可变形为， ， ， 故选：A． 22．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义表示不超过实数x的最大整数，如：，，．则方程的解为________． 【答案】或或 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意，分6种情况讨论：①时；②时；③；④；⑤；⑥，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为，解得全舍； ③时，， 则化为，解得全舍； ④时，， 则化为，解得或舍； ⑤时，， 则化为，解得或舍； ⑥时，均不成立， 综上，方程的解为或或 故答案为：或或． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得； （3）解： 解得； （4）解： ， ∴ ， ∴， 解得； （5）解： 解得； （6）解： 解得． 24．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如图所示． (1)解题步骤从第________步开始出错（写序号）； (2)请你用另一种方法解方程：． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）对每一步进行判断，即可判断出错误发生在第三步； （2）将原方程整理为一元二次方程的一般形式，然后利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 即， 解得， 故错误在第③步； （2）解：原方程可化为， ， ∴， 即． 【易错必刷七 换元法解一元二次方程】 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元思想是解题的关键．根据题意可知，用替换了原方程中的，结合换元思想即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将一元二次方程中的“”用“”替换， 可得方程， 因为一元二次方程的两根分别为，1， 所以或1， 解得或2， 即方程的两根分别为，． 故选：D． 26．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ________________； （2）关于x的方程的根为 _______________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是， ∴设，则可化为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． （2）设，则可化为，即， ∵关于x的方程的解是， ∴，即， ∴，解得：． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 28．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中解法是解答的关键．仿照题中解法，设，则原方程可变形为，解方程得，，进而分别解关于x的方程即可解答． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 则 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 【易错必刷八 根据一元二次方程根的情况求参数】 29．（2026·贵州黔东南·模拟预测）方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 30．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 31．（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的一个根为1，求另一个根和m的值． 【答案】(1)且 (2)，另一根为 【分析】（1）根据一元二次方程定义得出：，根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，即可得出答案； （2）先将代入方程，求出，再代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故且． （2）解：将代入一元二次方程得：， ∴， ∴原方程化为：． 解得：，， 故，另一根为． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读理解： 已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的导出多项式______； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于x的方程的解； ②已知是关于x的二次多项式，且关于x的方程有两个相等的实数根，求a的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）①先根据新定义，求出，再根据，进行求解即可；②先求出，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，解得； ②∵， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，解得或． 【易错必刷九 判别式求参数取值范围】 33．（2026·河南信阳·模拟预测）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为， 当时，方程有两个不相等的实数根． 对选项A：方程中，，，，，该方程无实数根，不符合题意； 对选项B：方程中，，，，，该方程有两个相等的实数根，不符合题意； 对选项C：方程中，，，，，该方程无实数根，不符合题意； 对选项D：方程中，，，，，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 34．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）一元二次方程的判别式的值为______． 【答案】16 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：16． 35．（25-26九年级上·甘肃白银·期中）已知关于的方程．求证：该方程有两个不相等实数根． 【答案】 证明：， 该方程有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查一元二次方程根判别式，根据一元二次方程根判别式求解即可； 【详解】略 36．（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为2，求的值． 【答案】(1) 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根； (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：将   代入方程， 得 ，即 ， 解得． 【易错必刷十 利用方程根代入求代数式的值】 37．（25-26九年级上·云南昆明·期中）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 38．（25-26九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当______时有最______（填“大”或“小”）值，为______． 【答案】 3 小 3 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3． 故答案为：3，小，3． 39．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根． ， 解得：； （2）解：∵ ∴当时，一元二次方程为， ， ． 40．（25-26九年级上·福建·阶段检测）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，进行计算化简得； （2）把代入进行计算，然后配方，最后分析当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程是“方程” ∴把代入， 得 ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 【易错必刷十一 一元二次方程的根与系数的关系】 41．（2026·天津南开·模拟预测）若，是方程的两个根，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据根与系数的关系求得两根的和与积，再结合各选项即可解答． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，即选项D符合题意． 42．（25-26八年级下·福建福州·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算两根之和即可得到结果； 【详解】解：，是方程的两个实数根， 故； 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列方程两根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)两根和为，两根积为 (2)两根和为，两根积为 (3)两根和为，两根积为 (4)两根和为，两根积为 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系计算两根的和与积． 【详解】（1）解：设方程的两根分别为， 由题意得，， ∴，； （2）解：设方程的两根分别为， 由题意得，， ∴，； （3）解：设方程的两根分别为， 由题意得，， ∴，； （4）解：设方程的两根分别为， 由题意得，， ∴，． 44．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）设是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到，进而求得，代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，解得， 将代入中，则， 解得． 【易错必刷十二 实际应用增长率问题】 45．（25-26八年级上·重庆璧山·自主招生）某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3月收入达到28.8万元，该公司文创产品收入的月平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设月平均增长率为x，根据增长规律列出方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到答案． 【详解】解：设该公司文创产品收入的月平均增长率为 ∵1月收入为20万元，经过两个月增长后，3月收入为28.8万元 ∴列方程得 两边同除以20，得 ∵增长率为正数， ∴ 开方得 解得 因此选B符合题意． 46．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）某农场的粮食产量在两年内由50万千克增加到60.5万千克，那么平均每年增长的百分率是多少？设平均每年增长的百分率为x，根据题意列方程得______． 【答案】 【分析】本题考查了增长率模型的应用，解决本题的关键是熟练利用二次方程表示． 设出未知数，根据复利增长模型，两年增长需用二次方程表示即可． 【详解】解：设平均每年增长的百分率为x，则一年后产量为万千克， 两年后产量为万千克， 根据题意两年后产量为60.5万千克， 故列方程． 故答案为：． 47．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，根据平均增长率列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为， 由题意，得：， 解得或（舍去）； 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为． 48．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）为了倡导全民阅读，某校决定在双休日向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月共有1000人进馆，第三个月共有1440人进馆． (1)求进馆人数的月平均增长率； (2)已知该校图书馆每月能接纳人数不超过1750人，在进馆人数的月平均增长率不变的条件下，该校图书馆能否接纳第四个月的进馆人数？请说明理由． 【答案】(1) (2)能接纳 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设进馆人数的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据第四个月的进馆人数第三个月的进馆人次数增长率，可求出第四个月的进馆人数，再与1750进行比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设进馆人数的月平均增长率是x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：进馆人数的月平均增长率是； （2）解：该校图书馆能接纳第四个月的进馆人数，理由如下： （人）， ， ∴该校图书馆能接纳第四个月的进馆人数． 【易错必刷十三 面积类应用题】 49．（25-26九年级上·天津滨海新区·期末）在一幅长，宽的“天津之眼”图片的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是根据题意确定挂图的长和宽．根据题意镶嵌后的挂图的长为、宽为，由长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：根据题意镶嵌后的挂图的长为、宽为，则， 故选：A． 50．（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于的一元二次方程； 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 51．（26-27九年级上·全国·课后作业）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 52．（25-26八年级下·全国·期末）项目式学习． 项目主题：学校运动会主题草坪设计． 项目情境：学校即将举办运动会，同学们积极参与该主题草坪设计的项目活动，以下是某小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一：(1)需要设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪的两组对边，小组内同学们设计的方案主要有以下三种．三种方案中，标号①的小路的下边线向上平移可得上边线，标号②的小路的左边线向右平移可得右边线．直接写出三种方案中，小路面积，，的大小关系； 活动任务二：(2)已知矩形草坪长，宽，为施工方便，学校选择甲设计方案，并要求除去小路后的面积为，请计算小路的宽． 【答案】(1)；(2)小路的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形面积公式是解题的关键． （1）利用平移的性质解答即可； （2）设小路的宽为，再利用矩形的面积公式列式运算即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：； （2）设小路的宽为，则， 解得或（不合题意，舍去)， ∴小路的宽为， 答：小路的宽为． 【易错必刷十四 韦达定理（根与系数关系）求值】 53．（24-25八年级上·四川巴中·自主招生）我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为，则可得，，，据此可得答案． 【详解】解：设一元三次方程的三个实根分别为，，， 则方程可写成， ∴， ∴ ∴． 对比可得，，，， 可得，，， ∴， 故选：B． 54．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）被称为“代数符号之父”的韦达在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系．对于一元二次方程，它的两根，与系数有如下关系：，，人们把这个关系称为韦达定理． 请运用韦达定理解决问题：已知和是关于的方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题关键．根据为一元二次方程的根得出，利用根与系数的关系得到两根之和为，将化简后，整体代入，求值即可． 【详解】解：∵和是关于的方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为： 55．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 【答案】证明：∵ 整理得，， 由“韦达定理”可得：，， ∵， ∴． 【分析】首先由“韦达定理”得，，然后将展开后代入证明即可． 【详解】略 56．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，由方程的解的定义得到，，则可推出，，可推出，据此代入求值即可； （3）由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $