期末重难点检测卷（提高卷）（考试范围：15-18章）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 七年级下册期末提高卷，以自行车尾灯反射、厨具销售等现实情境为载体，通过折叠探究、规律归纳等任务，融合几何直观、推理意识与应用能力，覆盖不等式、平行线、三角形等核心知识，适配期末综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|不等式组解集、平行线判定|结合测量墙角度等生活问题，考查空间观念| |填空题|12/24|新运算、等边三角形规律|通过零件称重、书架夹角规律，培养抽象能力| |解答题|7/64|折叠操作、倍长中线证明|23题折叠探究体现几何直观，25题倍长中线法强化推理意识，21题销售问题发展应用意识|

期末重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：15 ~ 18章 （七年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2026·上海·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·二模）如图1，要测量两堵墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，如图2，嘉嘉反向延长至点C，反向延长至点D，可得，则嘉嘉测量的依据是（    ） A．邻补角的定义 B．内错角相等 C．角平分线的定义 D．对顶角相等 4．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）六个零件中有一个是次品，用天平称了三次（如图），则（   ） 　 A．次品是（3）号，比正品的质量重 B．次品是（3）号，比正品的质量轻 C．次品是（6）号，比正品的质量重 D．次品是（6）号，比正品的质量轻 5．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下列结论错误的是（    ） A．平分 B．的周长等于 C． D．点是线段的中点 6．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）书架上有5本完全一样的书如图1所示摆放着，除第1本竖着外，从第2本起适当倾斜，其平面图形，使左边上顶点在前一本书的右边上，并形成的夹角，点A、B、C、D、E、R，……，在同一条直线上，，，，，……均为，如图2．依次类推，则最后一本书与水平面夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26七年级下·湖南常德·期中）不等式组的最大整数解为________． 8．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，、交于点，，垂足为，，则______． 9．（25-26七年级下·山西临汾·期中）若关于，的二元一次方程组 的解满足，则的取值范围是_______． 10．（25-26七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________． 11．（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 12．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 13．（25-26七年级下·上海崇明·期中）对、定义一种新运算，规定（其中，、均为非零常数）． 例如：． 现已知，，． 在此条件下，若关于的不等式组恰好有2025个整数解，求实数的取值范围____________． 14．（25-26八年级上·吉林松原·期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件______．（只需填上一个即可） 15．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，相交于点O，，，则． 理由是： （_________） 又，， （等量代换） _________（内错角相等，两直线平行）． （_________）． 16．（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 17．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 18．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…， （1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是_____________； （2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是_____________． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（2026·山东济南·一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 20．（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，点A，B，C在一条直线上，，，求证：． 21．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）好街坊厨具店购进电饭煲和电压力锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价/（元/台） 售价/（元/台） 电饭煲 200 250 电压力锅 160 200 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，若将这些电器全部售出，则厨具店赚了多少钱？ (2)为了满足市场需求．二季度厨具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压力锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压力锅的利润的，则厨具店有哪几种进货方案？并说明理由． 22．（25-26七年级下·云南昆明·期中）【问题情境】自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理． 【学科融合】如图1，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】如图2，，是两个平面镜，入射光线经过两次反射后，形成反射光线，，且是两次反射法线的交点． (1)若，则__________° (2)试判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由． 23．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 24．（25-26七年级下·广东深圳·期中）老师给小深和小圳布置了一道课后作业：过直线外一点，作一条线和已知直线平行． (1)如图1，，，均在格点上．小深觉得，如果能够在网格中作图，就可以利用网格的格点作出平行线．请利用网格的格点，在网格中过点作出的平行线． (2)如图2，小圳觉得，连接或者，利用同位角或者内错角相等，两直线平行的定理，作一个角等于已知角，也可以过点作出的平行线，请用尺规作图在图2中作出的平行线． (3)如图3，已知，，，在平行线之间有一点，连接、，求的大小？小深提出，可以过点作的平行线，借助辅助线可以解决问题．请写出完整解答过程． (4)如图4，已知，在平行线上方有一点，连接、，作与的角平分线相交于点，请问与有什么数量关系，并说明理由． 25．（24-25七年级下·四川巴中·月考）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：15 ~ 18章 （七年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2026·上海·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 2．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，能判定，故A不符合题意； B、，能判定，故B不符合题意； C、，能判定，故C不符合题意； D、，能判定，不能判定，故D符合题意． 3．（2026·上海·二模）如图1，要测量两堵墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，如图2，嘉嘉反向延长至点C，反向延长至点D，可得，则嘉嘉测量的依据是（    ） A．邻补角的定义 B．内错角相等 C．角平分线的定义 D．对顶角相等 【答案】D 【详解】解：由题意可得，与为对顶角． 所以，嘉嘉测量的依据是对顶角相等． 4．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）六个零件中有一个是次品，用天平称了三次（如图），则（   ） 　 A．次品是（3）号，比正品的质量重 B．次品是（3）号，比正品的质量轻 C．次品是（6）号，比正品的质量重 D．次品是（6）号，比正品的质量轻 【答案】A 【分析】根据天平第一次称是平衡的得到（1）号，（2）号，（4）号，（5）号零件都是正品，次品出自（3）号或者（6）号，分别设正品零件质量为，（3）号零件质量为，（6）号零件质量为，根据第二次和第三次测量列出不等式，进一步解答即可． 【详解】解：∵用天平第一次称是平衡的， ∴（1）号，（2）号，（4）号，（5）号零件都是正品， ∴次品出自（3）号或者（6）号， 设正品零件质量为，（3）号零件质量为，（6）号零件质量为， 根据第二次天平的情况可知，①， 根据第三次天平的情况可知， ∴②， ∴①＋②得到，，即， ∴次品是（3）号，比正品的质量重． 5．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下列结论错误的是（    ） A．平分 B．的周长等于 C． D．点是线段的中点 【答案】D 【分析】由在中，，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得与的度数，又由的垂直平分线是，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，继而求得的度数，则可知平分；可得的周长等于，又可求得的度数，求得，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵在中，， ， ∵的垂直平分线是， ， ， ， ∴平分，故A正确； ∴的周长为：，故B正确； ， ， ， ， ，故C正确； ∵， ， ， ∴点不是线段的中点，故D错误． 6．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）书架上有5本完全一样的书如图1所示摆放着，除第1本竖着外，从第2本起适当倾斜，其平面图形，使左边上顶点在前一本书的右边上，并形成的夹角，点A、B、C、D、E、R，……，在同一条直线上，，，，，……均为，如图2．依次类推，则最后一本书与水平面夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：依题意，为保证最后一本书的顶点能在前一本书的边上， ∴ 解得：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26七年级下·湖南常德·期中）不等式组的最大整数解为________． 【答案】2 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后找出解集中的最大整数解即可． 【详解】解： 解不等式可得， 解不等式可得， 因此不等式组的解集为， 则不等式组的最大整数解为． 8．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，、交于点，，垂足为，，则______． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 与是对顶角， ． 9．（25-26七年级下·山西临汾·期中）若关于，的二元一次方程组 的解满足，则的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式，得，根据已知可得，进而解不等式，即可求解． 【详解】解： 得， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________． 【答案】10 【分析】首先求出，然后根据“与的周长的差是”列方程求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴ ∵，与的周长的差是， ∴ ∴，即 ∴． 11．（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 【答案】18 【分析】连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为3，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 12．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 【答案】20 【分析】先根据已知条件得，，再根据三角形内角和定理求出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵分别是的高和角平分线， ∴于点D，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·上海崇明·期中）对、定义一种新运算，规定（其中，、均为非零常数）． 例如：． 现已知，，． 在此条件下，若关于的不等式组恰好有2025个整数解，求实数的取值范围____________． 【答案】 【分析】根据，，得到关于a，b的方程组，再求出a，b的值可得，把不等式组变形为，可得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵不等式组恰好有2025个整数解， ∴， 解得：． 14．（25-26八年级上·吉林松原·期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件______．（只需填上一个即可） 【答案】或或或或（写一个即可） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据是等腰三角形，且，结合三边相等的三角形是等边三角形、有一个角是的等腰三角形是等边三角形添加条件判定即可得到答案，熟记等边三角形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或（写一个即可）． 15．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，相交于点O，，，则． 理由是： （_________） 又，， （等量代换） _________（内错角相等，两直线平行）． （_________）． 【答案】对顶角相等；；两直线平行，内错角相等 【分析】根据对顶角的性质，平行线的判定与性质，结合已知过程即可求解． 【详解】解：（对顶角相等） 又，， （等量代换） （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 16．（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 【答案】② 【分析】延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①错误；②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，只要和为即可， 故③④不一定正确． 17．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 18．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…， （1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是_____________； （2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是_____________． 【答案】 10 【分析】本题考查了全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． （1）根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果； （2）根据（1）中规律得出当有个点时，图中有对全等三角形即可确定答案． 【详解】解：（1）∵D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴， ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第4个图中有对全等三角形． 故答案为：； （2）由（1）知当有个点时，图中有对全等三角形， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（2026·山东济南·一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；，， 【分析】先求出每个不等式的解集，再求不等式组的解集，最后写出所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①， ， 解不等式②， ， 不等式组的解集为． 所有整数解为，，． 20．（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，点A，B，C在一条直线上，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，比较简单，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，则，再由得到，继而等量代换出结果． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）好街坊厨具店购进电饭煲和电压力锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价/（元/台） 售价/（元/台） 电饭煲 200 250 电压力锅 160 200 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，若将这些电器全部售出，则厨具店赚了多少钱？ (2)为了满足市场需求．二季度厨具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压力锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压力锅的利润的，则厨具店有哪几种进货方案？并说明理由． 【答案】(1)1380元 (2)①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台，理由见解析 【分析】（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据橱具店购进这两种电器共30台且用去了5520元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据总利润单个利润购进数量即可得出结论； （2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅台，根据已知列不等式组，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由此即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据题意得： ， 解得：， ∴ (元)． 答：橱具店在该买卖中赚了1380元； （2）解：①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台，理由如下： 设购买电饭煲a台，则购买电压锅台，根据题意得： ， 解得：， ∵a为整数， ∴a取19，20，21， 故有三种方案：①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x，y的二元一次方程组；（2）根据数量关系，列出关于a的一元一次不等式组． 22．（25-26七年级下·云南昆明·期中）【问题情境】自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理． 【学科融合】如图1，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】如图2，，是两个平面镜，入射光线经过两次反射后，形成反射光线，，且是两次反射法线的交点． (1)若，则__________° (2)试判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)；理由见解析 【分析】（1）要求就是要求，那么放在中来看，只要知道即可，而，问题就迎刃而解了； （2）这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： ∵，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ 23．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与探究 在折叠中探索几何元素的关系 材料准备 定点在纸片内的位置如图1所示． 【垂直可折】 操作要求：按如图2所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边垂直． 操作说明：①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． (1)任务一：说明． 【平行可折】 操作要求：在图2中折叠，使得折痕经过点P且平行于． (2)任务二：在图3中，用直尺画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【等角可折】 操作要求：如图4，过点折出折痕，使得与、分别相交于点，，且． (3)任务三：仿照上面操作示例，画出示意图，并简要叙述“操作说明”，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：由折叠可知 ∵， ∴， ∴． （2） 解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在射线上． ③展平纸片，得到折痕． （3）解： ①过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕． ③过点再次折叠纸片，使得点落在射线上．展平纸片，得到折痕即为所求． 24．（25-26七年级下·广东深圳·期中）老师给小深和小圳布置了一道课后作业：过直线外一点，作一条线和已知直线平行． (1)如图1，，，均在格点上．小深觉得，如果能够在网格中作图，就可以利用网格的格点作出平行线．请利用网格的格点，在网格中过点作出的平行线． (2)如图2，小圳觉得，连接或者，利用同位角或者内错角相等，两直线平行的定理，作一个角等于已知角，也可以过点作出的平行线，请用尺规作图在图2中作出的平行线． (3)如图3，已知，，，在平行线之间有一点，连接、，求的大小？小深提出，可以过点作的平行线，借助辅助线可以解决问题．请写出完整解答过程． (4)如图4，已知，在平行线上方有一点，连接、，作与的角平分线相交于点，请问与有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行，画图即可； （2）利用作一个角等于已知角的步骤作图，利用同位角相等，两直线平行可验证； （3）利用平行线的判定和性质求解； （4）利用平行线的判定和性质进行求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； 借助网格，利用长方形，得出， ∴； （2）解：如图所示，直线即为所求； （3）解：如图所示，过点作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： 如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴假设， ∴，， ∴，， ∴． 25．（24-25七年级下·四川巴中·月考）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，求得，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $