第12章因式分解单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第12章因式分解单元测试卷，覆盖因式分解概念、方法及应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|因式分解概念、公因式确定、分解正确性判断|基础概念辨析，如第1题考查因式分解定义| |填空题|6/18|公因式、公式法分解、二次三项式因式分解、几何面积|结合几何情境，如第16题通过正方形面积考因式分解| |解答题|8/72|十字相乘法、待定系数法、分组分解法、几何与代数综合|融入阅读材料（如第21题十字相乘法），体现推理意识；几何综合题（第24题）培养模型意识|

第12章因式分解单元测试卷（解析版) 一、单选题（每题3分，共30分） 1.在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是() A.5a(3a+1)=15a2+5a B.(x+-y)=x2-y C.@x+x+ay+a=x(a+l)+a(y+1) D.4r+4w+-16=(2x+y+4)2x+y-4) 2.把多项式mn-mm 因式分解时，提取的公因式是m㎡ ,则k的值可能为() A.1 B.2 C.3 D.5 3.下列因式分解正确的是() A.6r-4y=x(6x-4) B.r-4y=(x+4y)0x-4) c.a-2a+1=a(a-2)+1 D.2x(x+)-6y(x+y)=2(x+y)(x-3y) 47.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a-)； 的是() A.a2-1 B.a2-a C.a2+2a+1 D.a2-2a+1 5,已知关于的二次三顶式产+6-有一个因武为任+4)，则”的值为() A.8 B.-8 C.-40 D.24 6.关于的多项式+8r+0可以分解为任+2x+b ,则a,b的值为() A.12,6 B.8,4 C.10,8 D.2,6 74.若将多项式2r+mx-12因式分解得 x+42x+川），则m的值为（） 试卷第1页，共3页 A.12 B.-12 C.15 D.-15 8.分解因式：x3+x2-x-1=() A.(x-x+10 B.(x+D)(x-1) C.(x-DG-x+D)D.(+D+x-D) 4a+2b+c=0 a-b+c=0 9.若 满足 (a≠0 ,则分解因式 等于() a,b,c ax2+bx+c A.(x+2)(x-1) B.(ar-2)(x+1) c.a(x-2)(x+1) D.(6x-2)(0x+1) 9.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： a-1,x-y,2,a2+1,x,a+1 分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰.现将 2x(a2--2(a-因式分解，结果呈现的密码信息可能是（） A.我爱兰州 B.爱兰州 C.我爱数学 D.兰州数学 二、填空题（每题3分，共18分） t8xy与4ry 11.单项式 的公因式是 a2 12,多项式0a-2a-l1②-少：@+：@4a+1:⑤a-4ab+46中能用 公式法分解因式的有」 (填序号). 1B。二次三项式3r-ar-6有一个因式是6x+2 ,则实数“的值为一 2026,2026,2026 2026 14. 十…十 22×33×4 2025×2026 15.已知a+b=8,则a2+ab+8b的值为 16.如图，有两个正方形A,B,它们的边长分别为a和b,现将A放在B内部得到图1， 图1中CD=2,将A,B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为 试卷第2页，共3页 10.5,则图1中阴影部分的面积为， B B B A A 图1 图2 三、解答题（每题9分，共72分） 17.因式分解： )-6+9y2 23r-12 18.【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用. 它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解. ()因式分解：a2-4= (x-2)}2-9= (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2-8x+ (3)参考上面方法，分解因式：x2+4x+3, 19.分解因式：-4a3+12a2-9a」 20.因式分解 +m-12=(x+Px+9）,其中m,P,9都为整数，求这样的m的最大 值 21.利用整式的乘法运算法则推导得出： (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd .我们知 道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 acr+(ad+hc)r+M=(ar+ba+）.通过现察可把a+(ad+c)r+b 看作以x为未 知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数 aC与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘 试卷第3页，共3页 得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项 式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则 2x2+11x+12=(x+4)(2x+3) a×d+cXb=ad+bc 1×3+2×4=11 图1 图2 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：x2+6x-27: (2)用十字相乘法分解因式：6x2-7x-3: 3)结合本题知识，分解因式：(x+)-7(+)+6 22.1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解.关于笛卡尔的 “待定系数法”原理，举例说明如下.分解因式：x-4x+3. 解：观察可知，当x=1时，原式=1-4+3=0，所以原式可分解为-1与另一个整式的积 因为x-4x+3为三次式，且最高次项系数为1，而x-1是一次式，一次项的系数为1.所 以可设另一个整式为2+bx+c,即-4红+3=(-l(:+r+c).因为上式对年意x恒成 立，所以可另取几个方便计算的x的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得b,C 的值，从而完成对x-4x+3的因式分解. (1)取x=0和x=2代入，求b,C的值. (2)尝试用上述方法分解因式：x3+2x2-1. 23.【阅读材料】要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组， 再把它的后两项分成一组，从而得am+an+bm+bn=(am+am)+(bm+bm) 试卷第4页，共3页 =a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 这种分解因式的方法称为分组分解法. 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】3x-18+y-6y= (2)【解决问题】因式分解：ab-bc+a2-c2; (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为a,b,c,且满足a2-2ac+b2-2bc+2c2=0, 试判断这个三角形的形状，并说明理由. 24.如图，将一张长方形纸片分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长 为y的正方形0<x<y, x-yx x2+3y+y2 (1)观察图形，代数式 可因式分解为一： S S2 (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作 S S2 ①用含x,y的代数式表示， S ②若S-S,=2x2-y求3，的值. 试卷第5页，共3页 第12章因式分解单元测试卷（解析版） 一、单选题（每题3分，共30分） 1．在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：∵因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式乘积的形式； ∴选项A，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项B，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项C，右边是多项式和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，不符合要求； 选项D，左边是多项式，右边是整式乘积，等式成立，属于因式分解，符合要求. 2．把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】公因式中相同字母的次数取多项式各项中该字母的最低次数，据此确定k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵提取的公因式为，多项式中第一项的次数为， ∴第二项中的次数满足， ∵选项中只有满足， ∴的值可能为． 3．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】A项：的公因式是， 正确结果应为，原分解公因式未提尽，A错误； B项：，由平方差公式可得 ，与选项结果不符，B错误； C项：因式分解要求结果为几个整式的乘积形式，该选项右边是和的形式，不符合定义，C错误； D项：提取公因式，可得 ，分解正确，D正确． 47．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，含因式，故A不符合题意； B选项：，含因式，故B不符合题意； C选项：，不含因式，故C符合题意； D选项：，含因式，故D不符合题意． 5．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【答案】B 【分析】若多项式含有因式，则当时，该多项式的值为，代入即可求出的值. 【详解】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. 6．关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 【答案】A 【分析】先展开分解后的因式乘积，根据多项式相等时对应项系数相等，列等式求解即可得到和的值． 【详解】解：∵，多项式可以分解为， ∴， ∴ ， 解得． 74．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 8．分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【详解】解：． 9．若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解含有字母参数的二元一次方程组，因式分解；根据已知条件可求出关于的表达式，代入二次三项式后进行分解因式即可得到结果． 【详解】解： 由得，可得， 将代入得，可得， 将代入得：． 故选：C． 9．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 【答案】A 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解，根据各因式对应密码得到最终信息，选出正确选项，正确分解因式是解题关键. 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 根据题意，对应关系为：我，爱，州，兰， 因此结果呈现的密码信息可能为我爱兰州. 二、填空题（每题3分，共18分） 11．单项式与的公因式是________ 【答案】 【分析】本题考查了单项式的公因式，熟悉掌握公因式的概念是解题的关键． 根据公因式的概念解答即可． 【详解】解：与的公因式是：； 故答案为：． 12．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 13．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【分析】已知二次三项式的一个一次因式，可设出另一个一次因式，根据多项式乘法法则展开后，利用多项式相等对应项系数相等列方程求解． 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 14．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 15．已知，则的值为__________． 【答案】 【分析】对所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴ 原式． 16．如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为和，现将A放在B内部得到图1，图1中，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为________． 【答案】10 【分析】设正方形A，B的边长分别为，，结合题意可得，，进一步可得，从而可得答案. 【详解】解：设正方形A，B的边长分别为，， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图1中阴影部分的面积为. 三、解答题（每题9分，共72分） 17．因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式：． （2）提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：根据完全平方公式可知：是一个完全平方式； （3）解：原式 ． 19．分解因式：． 【答案】 【分析】先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 20．因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 【答案】 【分析】先由多项式乘以多项式展开，再由多项式相等得到，，结合，，都为整数，分类讨论求解即可． 【详解】解：由， ∴，， ，，都为整数， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴这样的的最大值是． 21．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 22．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按要求代入指定的值，得到关于，的方程组求解即可； （2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解． 【详解】（1）解：已知， 将代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 将，代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 即 （2）对于多项式，当时，原式， 因此原式可分解为与一个二次整式的乘积， 设另一个整式为，可得， 取代入等式，得左边，右边， 因此， 取代入等式，得左边， 右边， 因此， 解得， 因此 23．【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 24．如图，将一张长方形纸片分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为______； (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含x，y的代数式表示，； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①，；②1 【分析】（1）最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积，可推出，据此可得答案； （2）①阴影部分的面积等于三个长方形的面积之和，非阴影部分的面积等于三个正方形的面积之和，据此求解即可；②根据（2）①可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积， ∴， ∴， ∴代数式可因式分解为； （2）解：①由题意得，，； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $