专题01 因式分解的意义及方法 重难点题型专训 -2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题01 因式分解的意义及方法重难点题型专训（6个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断是否是因式分解 1 题型二、已知因式分解的结果求参数 2 题型三、公因式 3 题型四、提公因式法分解因式 4 题型五、判断能否用公式法分解因式 5 题型六、平方差公式分解因式 6 题型七、完全平方公式分解因式 7 题型八、综合运用公式法分解因式 8 题型九、综合提公因式和公式法分解因式 9 题型十、因式分解在有理数简算中的应用 10 题型十一、十字相乘法 11 题型十二、分组分解法 12 题型十三、因式分解的应用 13 第二部分·练提高题型 题型一、利用提公因式法化简求值 1 题型二、运用提公因式法分解因式求多项式的值 2 题型三、因式分解新定义运算 3 题型四、因式分解规律计算 4 第三部分・自我检测 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）下列属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据因式分解的定义判断选项，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的乘积的变形叫做因式分解，需满足“多项式化为乘积”“所有因式都是整式”两个条件． 【详解】解：根据因式分解的定义逐一判断： ∵ 选项A是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解． ∴ A错误． ∵ 选项B的结果为，不是整式乘积的形式，仍为和的形式． ∴ B错误． ∵ 选项C等式右边的不是整式，不符合要求． ∴ C错误． ∵ 选项D将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义． ∴ D正确． 2．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【详解】解：①，是多项式乘法，故①不是因式分解； ②，是因式分解，； ③是单项式，不是因式分解； ④中不是整式，故④不是因式分解； ⑤，等式右边不是整式的乘积，故⑤不是因式分解， 故答案为：②． 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．（2026·四川内江·模拟预测）因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 知识点三： 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖南怀化·阶段检测）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 2．（25-26七年级下·湖南永州·阶段检测）因式分解＝________． 【答案】 【分析】根据添项结合分组分解可进行求解． 【详解】解：原式= = =； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 知识点四： 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 知识点五： 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设所求代数式为， 由题意得，， ∵， ∴， ， ∴与的乘积等于的代数式是． 2．（2026·江苏泰州·一模）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 知识点六： 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东潮州·期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据完全平方公式分解因式的条件，需紧扣“三项式，两个平方项符号相同，第三项为两平方项底数乘积的2倍”这一特征逐一判断选项． 【详解】解：，第三项不是与乘积的2倍， 故A不符合条件； ，与符号不同， 故B不符合条件； ，第三项不是与乘积的2倍，故C不符合条件； ，符合完全平方公式分解因式的条件， 故D符合条件， 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了公式法因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键．通过观察其结构，符合完全平方公式的形式，可直接进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为： 【基础题型一 判断是否是因式分解】 【例1】（26-27七年级上·四川达州·阶段练习）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不合题意； B、等号右边为，不是积的形式，不合题意； C、等号右边展开为，与左边不相等，变形错误，不合题意； D、等号右边是两个整式的积，展开后为，与左边相等，符合因式分解定义，符合题意． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）把一个多项式化为_________的形式，叫做因式分解，分解因式是________的逆变形． 【答案】 几个整式的积 整式乘法 【分析】根据分解因式的定义进行解答即可． 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，分解因式是整式乘法的逆变形． 故答案为：几个整式的积；整式乘法． 【点睛】本题主要考查了分解因式的定义，解题的关键是熟练掌握分解因式的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，分解因式是整式乘法的逆变形． 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在下列等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、的右边是和的形式，不符合因式分解定义，该选项不符合题意； B、是整式乘法，不符合因式分解定义，该选项不符合题意； C、的右边是和的形式，不符合因式分解定义，该选项不符合题意； D、，符合因式分解定义，该选项符合题意． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）以下等式：①；②；③；④；⑤．从左到右的变形属于因式分解的是________． 【答案】④ 【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】①是整式乘法，不是因式分解； ②从左到右的变形不是因式分解； ③是整式乘法，不是因式分解； ④是因式分解； ⑤，不是因式分解． 故选④． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解是解题的关键． 3．（25-26八年级上·全国·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【基础题型二 已知因式分解的结果求参数】 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出a和b的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∵， ∴， ， 解得：． 故答案为：3 1．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可． 【详解】解：由题意得， 二次三项式在整数范围内可因式分解为， ， ， 故选：C． 2．（26-27八年级上·黑龙江·期中）若可分解为，则 __________． 【答案】7 【分析】本题考查因式分解求参数，将展开，根据对应项相同，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：7． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式； 把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案． 【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为， 所以， 所以，． 【基础题型三 公因式】 【例1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最大公约数与相同字母的最低次幂，再得到公因式． 【详解】解：∵多项式中，两项系数和的最大公约数为，两项共有的字母为和，的最低次数为，的最低次数为， ∴公因式为． 【例2】（25-26七年级下·山东济南·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_____． 【答案】 【分析】根据公因式的确定，一看系数：各项系数为整数时，提取各项系数的最大公因数；二看字母：取各项都含有的相同字母；三看字母指数：取相同字母的最低次幂，进行解答，即可． 【详解】解：多项式中，系数与的最大公因数是，两项都含有的相同字母是，的最低次数是， ∴分解因式时应提取的公因式是． 1．（25-26八年级上·天津北辰·阶段检测）多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了公因式，注意一个多项式的各项都含有的公共因式是这个多项式的公因式．通过计算多项式各项系数的最大公因数和字母部分的最小指数，确定公因式． 【详解】解：多项式各项的公因式是， 故选D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）用提公因式法分解因式时，从多项式中提出的公因式为____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“”，则公因式的符号一般为负．正确找出公因式是解题的关键． 【详解】解： 从多项式中提出的公因式为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河北保定·期末）下面为李老师在黑板上布置的因式分解的作业题目： ①； ②； ③． 一位同学完成了题目③． (1)题目①的公因式为__________． (2)完成李老师布置的题目②． (3)该同学完成的题目③是否正确？若正确，请说明II处应用的因式分解的方法；若不正确，请直接写出错误的位置（直接回答“I”或“II”）． 【答案】(1) (2) (3)不正确，错误的位置是II 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）根据公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积即可得解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）根据解答过程分析即可得解． 【详解】（1）解：题目①的公因式为； （2）解：； （3）解：根据解答过程可得，该同学完成的题目③不正确，错误的位置是II，再利用完全平方公式分解时分解错误，正确应为． 【基础题型四 提公因式法分解因式】 【例1】（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）把多项式分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）将因式分解，应提取的公因式是_______． 【答案】（此处答，也可） 【详解】解： ， ∴将因式分解，应提取的公因式是． 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）（1）分解因式：________． （2）分解因式：________． 【答案】 【分析】（1）先运用十字相乘法对部分进行因式分解，然后再重组为，分别把中括号里的乘积化为多项式，把看成整体，再继续因式分解即可； （2）通过添项，把原式化为，分组提公因式，再进一步用十字相乘法分解即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 3（25-26七年级下·广东河源·期末）阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码 在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，因式分解的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式因式分解，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)128160 (2)282114 【分析】（1）将，分别代入，，计算，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先分解因式，然后把代入分解好的式子计算，最后按从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：当时，，，，将128，16，0这三个数值按从大到小的顺序排列， 生成的密码是128160； （2）， 当时，，，，将28，21，14这三个数值按从大到小的顺序排列， 生成的密码为282114． 【基础题型五 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式的形式为，多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式因式分解； B、，能用平方差公式因式分解； C、，符号相同，不能用平方差公式因式分解； D、为三次两项式，不能用平方差公式因式分解． 【例2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 1．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)可以用公式法因式分解，结果为 (2)不可以用公式法因式分解 (3)可以用公式法因式分解，结果为 (4)不可以用公式法因式分解 【详解】（1）解：可以用完全平方公式分解因式； ； （2）解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式； （3）解：可以用完全平方公式分解因式： （4）解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式． 3．（25-26七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【基础题型六 平方差公式分解因式】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 【例2】（25-26七年级下·重庆长寿·期末）自然数m与n均为两位数，它们个位上的数字相同，十位上的数字之和为．当的值最大时，值为________；当时，存在正整数，使得，则满足条件的的值为________． 【答案】 【分析】设自然数的十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数，由题意得的十位数字为，个位数字为，表示出，先整理的表达式，再求出最大时对应的值，计算；再利用平方差公式化简，结合的条件分类讨论，求出符合条件的即可． 【详解】解：设自然数的十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数， 由题意得，的十位数字为，个位数字为， ，， 要使最大，需使和同时最大， ， 当时，取得最大值， 为个位数字，最大值为， 当最大时，，，即，， ， 当时，，解得，故， 由平方差公式得： ， 是正整数， 为立方数，且，， ①当时，，区间内无立方数，无解； ②当时，，区间内只有，不是整数，无解； ③当时，，区间内无立方数，无解； ④当时，，区间内只有，解方程，得，符合条件， 此时，得正整数． 1．（25-26七年级下·全国·期末）=在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 【答案】 【分析】先根据定义推导不同正整数是否为智慧数，总结智慧数的分布规律，再根据规律计算指定序号的智慧数． 【详解】解：设正整数为智慧数，则存在正整数，使得，由平方差公式得： 因为与同奇偶， 因此只能为奇数或的倍数， 若为形如的正整数，为偶数但不是的倍数，因此一定不是智慧数； 对任意大于的奇数，有，因此所有大于的奇数都是智慧数； 对任意大于的的倍数，有，因此所有大于的的倍数都是智慧数； 因此可得规律：将正整数从开始每个分为一组，第一组仅有个智慧数，其余每组都有个智慧数； 从小到大列举智慧数得：第个是，第个是，第个是，第个是，第个是； 计算第个智慧数，第一组有个，剩余需要个，每组有个，因此需要组， 即第个智慧数是第组的最后一个数，为． 3．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）按照要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】(1)；3 (2)； 【详解】（1）解： 当，时，原式； （2）解： 当，时，原式． 【基础题型七 完全平方公式分解因式】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 【例2】（2026·贵州毕节·模拟预测）分解因式：____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，直至分解彻底． 【详解】解： ． 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图形阴影面积列出两个等式，再将两式相减化简，变形得到的值． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， 由，， 可得， 故． 2．（25-26七年级下·云南文山·期末）观察下列各式： 照此规律，___________ 提示： …… 【答案】 【分析】找出规律，根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 【基础题型八 综合运用公式法分解因式】 【例1】（24-25七年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 1．（2026·四川凉山·一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的方法与步骤进行判断即可 【详解】解：A．原式不能分解，符合题意； B．原式，不符合题意； C．原式，不符合题意； D．原式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键，注意实数范围内分解因式时2要写成． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，理解题意，掌握配方法因式分解是解题的关键． 通过配方法，添加和减去一次项系数一半的平方，再应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： =． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）对代数式进行因式分解． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 我们发现，代数式可写成平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得． (1)根据上述方法，因式分解：； (2)小明认为：“对于形如（n为正整数）的多项式，都能用这种方法进行因式分解．”请你判断这个说法是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出反例并解释原因． 【答案】(1) (2)正确，理由如下： ， 因此，对于形如（n为正整数）的多项式均可用此法因式分解． 【分析】（1）根据新方法，用构造出平方项，再进行因式分解； （2）仿照（1）的方法，进行解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）略 【基础题型九 综合提公因式和公式法分解因式】 【例1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）多项式，在有理数范围内分解彻底为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先提公因式，再用平方差公式因式分解． 【详解】 解：． 【例2】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将多项式因式分解的结果为___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解： 1．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【答案】C 【分析】密码信息对应因式分解后的各个因式，需先分解多项式再匹配对应文字． 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 2．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 【答案】 【详解】解： ， ∴ 这三个整数是、、． 3．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）提取多项式各项的公因式，完成因式分解； （2）将原式变形为平方差的形式，套用平方差公式分解； （3）先变形提取公因式，再用平方差公式继续分解至不能分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【基础题型十 因式分解在有理数简算中的应用】 【例1】（2026·河北石家庄·模拟预测）结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察式子特征，提取公因式后可利用完全平方公式简化运算． 【详解】解： ． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）简便计算：_______． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的运用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据题意，将改写成，运用完全平方和公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：25 ． 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 2．（2026·山东临沂·二模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 【答案】 【分析】根据题干给出的秦九韶算法的改写规则，对目标多项式进行变形，再将代入变形后的代数式计算． 【详解】解：由秦九韶算法的改写方法可得： ， 当时，． 3．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【基础题型十一 十字相乘法】 【例1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）把 分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确该二次三项式符合十字相乘法分解因式的适用形式，确定使用十字相乘法解题．因为二次项系数为1，所以需要找到两个整数，满足乘积等于常数项，且和等于一次项系数1。将找到的两个整数分别代入两个一次因式的常数项，写出分解后的因式形式，对应选项判断即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 【例2】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式在实数范围内的因式分解，解题的关键是利用十字相乘法或求根公式分解多项式． 先通过十字相乘法拆分二次项与常数项的系数，将拆分为两个一次式的乘积；或先求方程的根，再利用求根公式法分解． 【详解】解：用十字相乘法：． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 3．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 【基础题型十二 分组分解法】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式． 通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式． 【详解】 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【分析】观察多项式结构，将后三项分为一组，可利用完全平方公式分解，前两项分为一组，可利用提公因式法分解，分组后再提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案. 【详解】解：， 故选B． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 【答案】 【分析】首先依据新定义的运算法则把所给式子转化为常规的代数式，然后利用因式分解的步骤和方法分解因式即可． 【详解】解：原式 3．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 【基础题型十三 因式分解的应用】 【例1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察到原式两个括号中均含，可将其整体代换为，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式换元后为． 【例2】（2026·浙江·模拟预测）老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 【答案】 ，（答案不唯一） 【分析】将原等式整理因式分解后可得，满足且非零时，即可满足且原等式成立． 【详解】解：， ∵要求原等式成立且，为非零实数 ∴只需满足，且， ∴可取，得 验证：左边，右边，左边右边，且，符合要求． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】当时，整式，再结合，且，确定、、的取值组合，即可判断①；根据，且（且为整数），确定，，…，，的取值组合，即可判断②；由，得出，且，再结合，得出或，分别求解即可判断③． 【详解】解：当时，整式， ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数，， ∴或或，共种，即满足条件的整式有3个，故①错误； ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数， ∴当时，，整式，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，，整式，有个， 当时，，整式，有1个， ∴所有满足条件的整式有个，故②正确； ∵， ∴，且， ∵， ∴或， 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，，此时整式， 当时，，此时为正整数，其和至少为，故无合适的解，故不符合题意； 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，或，此时整式或， 当时，，， 解得：，，此时整式， ∴所有满足条件的整式的和为 ，故③错误； 综上所述，正确的有②，共个． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个三位数，三个数位上的数字各不相同，用百位数字与十位数字和的平方减去十位数字与个位数字和的平方，若结果的绝对值能够被5整除，则称这个三位数为“完全数”．例如930是一个“完全数”．根据定义回答：最小的“完全数”是_______，将这些“完全数”从小到大进行排列，则第23个“完全数”为_______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简原式，得到乘积能被整除的条件：要么百位数字与个位数字的差是的倍数，要么百位数字加倍十位数字加个位数字是的倍数，再从小到大枚举得到结果． 【详解】解：设一个三位数百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，，， ∵这个三位数为“完全数”， ∴能被整除，且三个数字各不相同， ∵，且5是质数， ∴乘积能被整除等价于：是的倍数，或是的倍数． 若“完全数” 最小，则先取，再取最小的，此时不能为和， 从小到大验证： 若，则，不能被整除； 若，则，不能被整除； 若，，能被整除，且三个数字各不相同，因此最小的“完全数”是． 找第个“完全数”： 从小到大枚举百位为的“完全数”，去掉数字重复的情况，累计共得到个“完全数”， 分别为：， 接下来从小到大枚举百位为的“完全数”，前三个依次为（第个），（第个），（第个）， 因此第个“完全数”是． 3．（25-26七年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 【答案】(1)45 (2)解： ， ∵为整数， ∴为整数， ∴与的平方差能被整除． 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算出的结果即可． 【详解】（1）解： ， 则的结果是的45倍． （2）略． 【提高题型一 利用提公因式法化简求值】 【例1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）化简分式需要先约分，则分子和分母的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的约分，公因式，正确将分式的分子与分母分解因式是解题关键．注意：找出分子分母公共因式时，常数系数不能忽略． 直接将分式的分子与分母分解因式，再找出分子分母共有的因式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴分子和分母的公因式是． 故选：C． 【例2】（2025·山西晋中·三模）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，先对分子分母因式分解，再约分即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)分式化简：； (2)因式分解：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了运用提公因式法，平方差公式因式分解，分式的约分，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分子提公因数，分母根据完全平方公式化简即可求出答案； （）先提公因式，结合平方差公式进行二次分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）利用因式分解化简求值： (1)已知，， 求代数式的值 (2)已知：，求代数式的值 【答案】(1) (2)23 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）把原式化为，将，代入计算即可； （2）把原式变形为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵， ∴． 3．（2026·江西九江·二模）数学老师布置了一道数学题：化简．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … (1)对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是__________． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解    B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法    D．甲、乙都是因式分解 (2)请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)A (2) 选择甲同学的解法： 原式． 选择乙同学的解法： 原式． 【分析】本题考查了整式的化简，因式分解，熟知平方差和完全平方公式是解题的关键。 （1）根据因式分解的概念和整式的化简，即可解答； （2）按照整式的化简，将过程补充完整即可。 【详解】（1）解：，为整式的乘法； ，为因式分解， 故选：A； （2）略 【提高题型二 运用提公因式法分解因式求多项式的值】 【例1】（25-26七年级下·北京通州·期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，含因式，故A不符合题意； B选项：，含因式，故B不符合题意； C选项：，不含因式，故C符合题意； D选项：，含因式，故D不符合题意． 【例2】（2026·山东济宁·一模）多项式因式分解的结果是__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是嘉淇同学把多项式因式分解的具体步骤： 利用加法交换律变形，得， 提取公因式，得， 逆用积的乘方公式，得， 运用平方差公式因式分解，得． (1)事实上，嘉淇的解法并不完全正确，原因是 ． (2)请给出这个问题的正确解法． 【答案】(1)公因式没有提取完 (2) 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法和平方差公式，掌握因式分解时先提取完整的公因式，再用公式分解的原则是解题的关键． （1）检查嘉淇的步骤，发现他提取的公因式仅为，而系数和的最大公约数是，因此公因式没有提取完整； （2）先提取完整的公因式，再对剩余的用平方差公式分解． 【详解】（1）解：公因式没有提取完． 嘉淇只提取了公因式，但系数和的最大公约数是，完整的公因式应为，因此公因式没有提取完． （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下面是小华同学分解因式的过程，请认真阅读，并回答下列问题． 解：原式=① =② = ③ 任务一：以上解答过程从第___________步开始出现错误． 任务二：请你写出正确的解答过程． 任务三：将多项式分解因式：__________． 【答案】任务一：②，任务二：见解析；任务三： 【分析】任务一：注意与的区别，即可做出判断； 任务二：先变形整式提取公因式，再套用平方差公式因式分解即可； 任务三：运用整体的思想，结合完全平方公式因式分解即可； 【详解】解：任务一：第②步； 任务二：原式=① = ② =③ 任务三：将多项式分解因式：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提取公因式法和公式法式解决本题的关键． 【提高题型三 因式分解新定义运算】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】各式利用题中的新定义判断即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： A．，，故推断正确； B．，，故推断不正确； C．，，故推断不正确； D．，，故推断不正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【例2】（2026·四川成都·二模）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是______；第48个平方优数是_______． 【答案】 26 589 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键在于读懂题意，理解新定义．令，，，，，是平方优数，且，由题可知，最小的平分优数为11，即，由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，设，即，为100的倍数，则，求解即可． 【详解】解：令，，，，，是平方优数，且， 由题可知，最小的平分优数为11，即， 由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 即， ， 是平方优数，则的十位数字比个位大1， 为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ， 即是平方优数，同理，，，，是平方优数， 根据定义可得：，，，， ．，，， ，，， ． 故答案为：26，589． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，完全平方公式，理解“完全数”的定义是解题关键．根据“完全数”的概念求解即可． 【详解】解：设两个自然数分别为a，b 由题意可得， ∴小于180且不重复的“完全数”有：，，，，，，，，，，，，， 综上所述，任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东德州·期末）设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：， ∴；故①正确； ； ∴；故②正确； ， ∴，故③错误； ∴；故④错误； 故答案为：①②． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 【答案】(1)40 (2)“比肩数”为，60是比肩数 (3) 证明：由（2）可知：， ∴ ， ∵是完全平方数 ∴是一个完全平方数的4倍． 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“比肩数”的定义可直接代入进行求解； （2）设两个连续正整数为和，根据“比肩数”的定义可得，然后问题可进行求解； （3）由（2）可知：，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴这个比肩数是； 故答案为40； （2）解：设两个连续正整数为和，则根据“比肩数”的定义可知： ， ∴“比肩数”是两个连续正整数积的两倍， ∵， ∴60是“比肩数”； （3）略 【提高题型四 因式分解规律计算】 【例1】（2026·广西玉林·模拟预测）观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可． 【详解】解：由图可得到： 则：， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【例2】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）规律探究题计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式．先利用平方差公式分解，再计算即可得到结果． 【详解】解： 故答案为： 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 【答案】(1)43 (2) 证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴为整数， ∴能被整除 即与的平方差能被3整除． 【分析】（1）利用平方差公式法进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算后判断即可. 【详解】（1）解：， ∴的结果是3的43倍； （2）略． 2．（25-26八年级上·广东江门·期末）观察下列等式： …… (1)①根据以上等式的规律，填空：； ②根据以上等式的规律，填空：，并证明等式成立． (2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水的高度为，求的值． 【答案】(1)①； ②，证明： ； (2) 【分析】本题考查了多项式规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据题干给出的等式即可得出结果；②根据题干给出的等式即可得出结果，再利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）由题意可得，由（1）可得，从而得出，最后利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①根据以上等式的规律可得； ②略 （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2) 设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【分析】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【详解】（1）解：． 设， 则，解得， 则，， 即． （2）解：略； （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 1．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：∵因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式乘积的形式； ∴选项A，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项B，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项C，右边是多项式和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，不符合要求； 选项D，左边是多项式，右边是整式乘积，等式成立，属于因式分解，符合要求. 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）将多项式因式分解，下面是甲、乙两位同学的解答过程： 甲：原式 乙：原式． 下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 【答案】C 【分析】运用提取公因式法和平方差公式分解原式，验证甲、乙两人的结果即可判断． 【详解】，与甲的结果一致，甲正确． ，与乙的结果一致，乙正确． 甲、乙的结果都正确． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）对于二次三项式（为常数），下列结论正确的个数有（   ） ①当时，若，则； ②无论取任何实数，等式都恒成立，则； ③若，，则或； ④满足的整数解共有8个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，①把代入方程，然后利用因式分解得到，据此可可得结论；②提取公因式x后得到，根据恒成立推出，据此可判断②；③两个方程相加后因式分解得到，解方程即可判断③；④去括号后因式分解得到，再根据x、y都是整数，得到都是整数，据此求解即可． 【详解】解：①当时，若，则 ∴或者，故①错误； ②等式化简后为 ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，即， ∴，故②正确； ③若，，则两个方程相加得：， ∴， ∴， ∴根据乘法计算法则得到,, ∴或，故③正确； ④∵， ∴， ∴ ∴， ∵x、y都是整数， ∴都是整数， ∴或或或 ∴或或 或或或或或或， 整数解共9对，故④错误； 综上所述，结论正确的有②③； 故选：B． 6．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如果是的一个因式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，代入求解即可． 【详解】解：若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，即： ， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”． （1）当时，______； （2）不超过1010的所有“和谐数”之和为______． 【答案】 14 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解“和谐数”的定义是解题的关键． （1）由题意可得，再由“和谐数”的定义得到，据此可得答案； （2）设两个连续的偶数为（k为自然数），则可得，则“和谐数”一定是4的奇数倍，进而可得到不超过1010的所有“和谐数”一共有个，据此求和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：14； （2）设两个连续的偶数为（k为自然数）， ∴ ， ∵k为自然数， ∴一定时大于0的奇数， ∴“和谐数”一定是4的奇数倍， ∵， ∴不超过1010的所有“和谐数”一共有个， ∴不超过1010的所有“和谐数”之和为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解答本题的关键． 先把因式分解，再把代入计算出各个因式的值，即可得到一个密码（各因式的排列顺序不同，得到的密码不同）． 【详解】解： ， 当时， ，，， 密码可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 11．（2026七年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 12．（25-26七年级下·浙江金华·期中）因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 【答案】 【分析】先由多项式乘以多项式展开，再由多项式相等得到，，结合，，都为整数，分类讨论求解即可． 【详解】解：由， ∴，， ，，都为整数， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴这样的的最大值是． 13．（25-26七年级下·浙江台州·期末）下面是小明对“”进行因式分解的过程，请认真阅读并完成下列各小题． 解：原式               第一步                第二步 ．               第三步 (1)小明第一步选择 法进行因式分解．（填序号） ①提取公因式        ②平方差公式        ③完全平方公式 (2)小明的因式分解过程从第 步开始出错． (3)请你写出正确的因式分解过程． 【答案】(1)① (2)二 (3)解： ． 【分析】（1）观察原式两项都含有公因式，第一步是将公因式提取出来，据此对应判断所用的因式分解方法； （2）检查去括号的运算规则，逐一核对第二步去括号后的各项符号，判断出错步骤即可； （3）先正确提取公因式，再对括号内的项正确去括号、合并同类项，最后检查分解结果是否彻底，符合因式分解的要求． 【详解】（1）解：小明第一步将原式两项共有的公因式提取出来，使用的是提取公因式法， 因此填①； （2）解：根据去括号法则：，小明第二步去括号时错误变号，写成了， 因此从第二步开始出错； （3）略． 14．（25-26七年级下·山西运城·期末）配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 【答案】(1)2； (2)； (3)的最大值为18． 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，则，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值； （2）解：， ， ， ，， ，， ； （3）解：设其中一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，有最大值18． 15．（25-26八年级上·河北沧州·期末）认真阅读下面材料并解决问题 阅读材料： 材料一： 分解因式：； 解：， ， ， ， ； 材料二： ∵无论为何值，代数式的值都大于等于，即， ∴， 即有最小值，最小值是． 问题解决： (1)分解因式： ①； ②； (2)①求的最小值； ②直接填空：二次三项式有最 值是 ． 【答案】(1)①；② (2)①；②大；5 【分析】（1）①使用分组分解法，先利用完全平方公式对部分进行变形，再利用平方差公式进行因式分解； ②使用分组分解法，先利用完全平方公式对部分进行变形，再利用平方差公式进行因式分解； （2）①利用完全平方公式将原式变形为，结合平方的非负性求出最小值； ②利用完全平方公式将原式变形为，结合平方的非负性求出最大值． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ， ； （2）解：①， ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，取得最小值； ②， ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解的意义及方法重难点题型专训（6个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断是否是因式分解 1 题型二、已知因式分解的结果求参数 2 题型三、公因式 3 题型四、提公因式法分解因式 4 题型五、判断能否用公式法分解因式 5 题型六、平方差公式分解因式 6 题型七、完全平方公式分解因式 7 题型八、综合运用公式法分解因式 8 题型九、综合提公因式和公式法分解因式 9 题型十、因式分解在有理数简算中的应用 10 题型十一、十字相乘法 11 题型十二、分组分解法 12 题型十三、因式分解的应用 13 第二部分·练提高题型 题型一、利用提公因式法化简求值 1 题型二、运用提公因式法分解因式求多项式的值 2 题型三、因式分解新定义运算 3 题型四、因式分解规律计算 4 第三部分・自我检测 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）下列属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·模拟预测）因式分解：_________． 知识点三： 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖南怀化·阶段检测）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南永州·阶段检测）因式分解＝________． 知识点四： 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解：______． 知识点五： 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·一模）分解因式：______． 知识点六： 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东潮州·期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）因式分解：________． 【基础题型一 判断是否是因式分解】 【例1】（26-27七年级上·四川达州·阶段练习）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）把一个多项式化为_________的形式，叫做因式分解，分解因式是________的逆变形． 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在下列等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）以下等式：①；②；③；④；⑤．从左到右的变形属于因式分解的是________． 3．（25-26八年级上·全国·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【基础题型二 已知因式分解的结果求参数】 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为__________． 1．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 2．（26-27八年级上·黑龙江·期中）若可分解为，则 __________． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【基础题型三 公因式】 【例1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东济南·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_____． 1．（25-26八年级上·天津北辰·阶段检测）多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）用提公因式法分解因式时，从多项式中提出的公因式为____． 3．（24-25七年级下·河北保定·期末）下面为李老师在黑板上布置的因式分解的作业题目： ①； ②； ③． 一位同学完成了题目③． (1)题目①的公因式为__________． (2)完成李老师布置的题目②． (3)该同学完成的题目③是否正确？若正确，请说明II处应用的因式分解的方法；若不正确，请直接写出错误的位置（直接回答“I”或“II”）． 【基础题型四 提公因式法分解因式】 【例1】（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）把多项式分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）将因式分解，应提取的公因式是_______． 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）（1）分解因式：________． （2）分解因式：________． 3（25-26七年级下·广东河源·期末）阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码 在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下： 对于多项式，因式分解的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，当，时，求生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式因式分解，则当，时，生成的密码是多少？ 【基础题型五 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 1．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【基础题型六 平方差公式分解因式】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【例2】（25-26七年级下·重庆长寿·期末）自然数m与n均为两位数，它们个位上的数字相同，十位上的数字之和为．当的值最大时，值为________；当时，存在正整数，使得，则满足条件的的值为________． 1．（25-26七年级下·全国·期末）=在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 3．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）按照要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)先因式分解，再求值：，其中，． 【基础题型七 完全平方公式分解因式】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·贵州毕节·模拟预测）分解因式：____． 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南文山·期末）观察下列各式： 照此规律，___________ 提示： …… 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【基础题型八 综合运用公式法分解因式】 【例1】（24-25七年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【例2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． 1．（2026·四川凉山·一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）对代数式进行因式分解． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 我们发现，代数式可写成平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得． (1)根据上述方法，因式分解：； (2)小明认为：“对于形如（n为正整数）的多项式，都能用这种方法进行因式分解．”请你判断这个说法是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出反例并解释原因． 【基础题型九 综合提公因式和公式法分解因式】 【例1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）多项式，在有理数范围内分解彻底为（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将多项式因式分解的结果为___________． 1．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 2．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 3．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)． 【基础题型十 因式分解在有理数简算中的应用】 【例1】（2026·河北石家庄·模拟预测）结果为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）简便计算：_______． 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·二模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 3．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【基础题型十一 十字相乘法】 【例1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）把 分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）在实数范围内因式分解：______． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 3．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【基础题型十二 分组分解法】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）对于两个实数a、b，规定，如，．将式子分解因式可得______． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【基础题型十三 因式分解的应用】 【例1】（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·浙江·模拟预测）老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个三位数，三个数位上的数字各不相同，用百位数字与十位数字和的平方减去十位数字与个位数字和的平方，若结果的绝对值能够被5整除，则称这个三位数为“完全数”．例如930是一个“完全数”．根据定义回答：最小的“完全数”是_______，将这些“完全数”从小到大进行排列，则第23个“完全数”为_______． 3．（25-26七年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 【提高题型一 利用提公因式法化简求值】 【例1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）化简分式需要先约分，则分子和分母的公因式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山西晋中·三模）化简：______． 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)分式化简：； (2)因式分解：． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）利用因式分解化简求值： (1)已知，， 求代数式的值 (2)已知：，求代数式的值 3．（2026·江西九江·二模）数学老师布置了一道数学题：化简．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … (1)对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是__________． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解    B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法    D．甲、乙都是因式分解 (2)请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 【提高题型二 运用提公因式法分解因式求多项式的值】 【例1】（25-26七年级下·北京通州·期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山东济宁·一模）多项式因式分解的结果是__________． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是嘉淇同学把多项式因式分解的具体步骤： 利用加法交换律变形，得， 提取公因式，得， 逆用积的乘方公式，得， 运用平方差公式因式分解，得． (1)事实上，嘉淇的解法并不完全正确，原因是 ． (2)请给出这个问题的正确解法． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下面是小华同学分解因式的过程，请认真阅读，并回答下列问题． 解：原式=① =② = ③ 任务一：以上解答过程从第___________步开始出现错误． 任务二：请你写出正确的解答过程． 任务三：将多项式分解因式：__________． 【提高题型三 因式分解新定义运算】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·四川成都·二模）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是______；第48个平方优数是_______． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 2．（24-25八年级上·山东德州·期末）设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是__________． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 【提高题型四 因式分解规律计算】 【例1】（2026·广西玉林·模拟预测）观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）规律探究题计算：_____． 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 2．（25-26八年级上·广东江门·期末）观察下列等式： …… (1)①根据以上等式的规律，填空：； ②根据以上等式的规律，填空：，并证明等式成立． (2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水的高度为，求的值． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 1．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）将多项式因式分解，下面是甲、乙两位同学的解答过程： 甲：原式 乙：原式． 下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 5．（24-25八年级上·重庆·期中）对于二次三项式（为常数），下列结论正确的个数有（   ） ①当时，若，则； ②无论取任何实数，等式都恒成立，则； ③若，，则或； ④满足的整数解共有8个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如果是的一个因式，则的值为______． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”． （1）当时，______； （2）不超过1010的所有“和谐数”之和为______． 9．（25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 10．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 11．（2026七年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 12．（25-26七年级下·浙江金华·期中）因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 13．（25-26七年级下·浙江台州·期末）下面是小明对“”进行因式分解的过程，请认真阅读并完成下列各小题． 解：原式               第一步                第二步 ．               第三步 (1)小明第一步选择 法进行因式分解．（填序号） ①提取公因式        ②平方差公式        ③完全平方公式 (2)小明的因式分解过程从第 步开始出错． (3)请你写出正确的因式分解过程． 14．（25-26七年级下·山西运城·期末）配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 15．（25-26八年级上·河北沧州·期末）认真阅读下面材料并解决问题 阅读材料： 材料一： 分解因式：； 解：， ， ， ， ； 材料二： ∵无论为何值，代数式的值都大于等于，即， ∴， 即有最小值，最小值是． 问题解决： (1)分解因式： ①； ②； (2)①求的最小值； ②直接填空：二次三项式有最 值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $