专题01 等腰三角形的性质与判定重难点题型专训（2个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 以“概念-性质-判定”为逻辑主线，通过9大基础题型+3类拓展训练构建等腰三角形知识网络，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题型|9类核心题型|定义辨析/等边对等角/三线合一/等角对等边|从概念认知到性质应用，再到判定推理，形成完整逻辑链| |拓展训练|旋转/翻折/综合应用|图形变换转化/辅助线构造/多结论证明|结合动态几何提升空间观念，培养创新意识与应用能力|

专题01 等腰三角形的性质与判定重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 找出图中的等腰三角形 题型三 等边对等角 题型四 三线合一 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 题型六 根据等角对等边证明边相等 题型七 根据等角对等边求边长 题型八 等腰三角形的性质和判定 题型九 证一条线段等于两条线段和差 拓展训练一 等腰三角形中旋转问题 拓展训练二 等腰三角形中翻折问题 拓展训练三 等腰三角形的性质和判定综合 知识点一：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）民乐县是全国串番茄单品冠军产地，菜农培育的串番茄藤蔓支架可抽象为等腰三角形，若等腰三角形的一个底角为，则其顶角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 知识点二：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江西新余·月考）在中，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为______． 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知等腰三角形的一边长是5，则另两边长不可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为______． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）阅读理解：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，满足，试判断的形状． 【经典例题二 找出图中的等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·河南郑州·月考）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 【经典例题三 等边对等角】 【例1】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，将绕点C顺时针方向旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图，将绕点旋转至的位置，点在边上，与交于点．若，则_______． 1．（2026·山东青岛·一模）如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，此时点C恰好落在边上．若，则________． 3．（25-26七年级下·四川·期中）已知为等边三角形(三边相等、三个角为)，与分别为，上一点． (1)如图1，，分别为中点，取中点，连接，，，证明：； (2)如图2，，线段上取一点，使得，连接，，，证明：； (3)如图3，，以为边作等边三角形，连接，证明：平分．(辅助知识点：等腰三角形底角相等) 【经典例题四 三线合一】 【例1】（2025·四川雅安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度______． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（    ） A．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B．垂线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．等边对等角 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为的中线，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接，若，则______ 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知等腰，，D是边的中点，，交于点H，过H作，点G为延长线上一点，且，连接； (1)求证：； (2)若，则______． 【经典例题五 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）图①～⑥是三个三角形的碎片，每两个碎片恰好可组成一个完整的三角形，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（   ） A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥ 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形____个． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，四边形是正方形，E是上的一点，是的旋转图形．    (1)由顺时针旋转到，旋转中心是________，旋转角的度数是________； (2)连接，判断并说明的形状． 【经典例题六 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）如图，在中，平分，过点作交于点，交于点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【例2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 1．（2025七年级·上海·模拟预测）如图，已知，增加下列条件中的一个：，，，可以证明的是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 2．（2026·河北沧州·一模）如图，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船从以每小时70海里的速度沿南偏东方向匀速航行，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与处的距离是____________海里． 3．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）在中，平分，E是上一点，交于点F，交的延长线于点P，交的延长线于点H． (1)求证：是等腰三角形； (2)试在图中找出一对全等三角形并给予证明； (3)试猜想与的大小关系？并证明你的猜想？ 【经典例题七 根据等角对等边求边长】 【例1】（2025·山西长治·三模）已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在中，，，将沿折叠，使点与上的点重合，若，则的长为________． 1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰直角中，，，是上一点，连接，，点关于直线的对称点恰好落在上，则的度数为_____；连接交于点．若，则的长为_____． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【经典例题八 等腰三角形的性质和判定】 【例1】（25-26七年级下·上海静安·月考）如图，，，，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．9 D．10 【例2】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 1．（24-25七年级下·辽宁铁岭·月考）如图，在直角三角形中，，，点是的中点，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级下·上海嘉定·七年级下）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为_____；_____． 3．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）如图，在中，，，垂足为点D，点E在上，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)延长到点G，连接，若，求证：． 【经典例题九 证一条线段等于两条线段和差】 【例1】（24-25八年级上·江苏镇江·月考）如图，在中，，是的平分线，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 1．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 2．（2025·广东佛山·一模）如图，在四边形中，，是上一点，，，______． 3．（2026·重庆·一模）如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接． (1)如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 【拓展训练一 等腰三角形中旋转问题】 【例1】 （24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，在中，，将绕点A旋转，旋转后的点B落在边上，点B的对应点为点D，连接，若是的平分线，则的度数为（   ）度 A．36.75 B．37 C．38 D．39 【例2】（24-25八年级上·广东惠州·期中）在中，，；将一块三角板的直角顶点放作斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．当是等腰三角形时，的度数为______（写出所有可能的值）． 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，等腰中，，，绕点B逆时针方向旋转一定角度后到的位置，点D恰好落在边上．求旋转角的度数． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，若，求旋转角的度数． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图1，中，是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，、将绕点C按逆时针方向旋转，使得EF所在直线交线段AD于点M，交线段AB于点N． (1)当旋转75°时，如图2，直线EF与AD的位置关系是______，______°； (2)在旋转一周过程中，试探究：当CE旋转多少度时，中有两个角相等． 【拓展训练二 等腰三角形中翻折问题】 【例1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为___________（用含的式子表示）． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，，点D，E分别是上的动点，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在上，若是等腰三角形，请你探索的大小，并画图说明理由． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，，点在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点，处． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 【拓展训练三 等腰三角形的性质和判定综合】 【例1】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）如图，在中，，是边上的中线，点在边上，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏常州·月考）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是____________．        1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点F，交于点E，平分交于点H，交于点G．求证： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）【探索发现】如图1，晓慧用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【方法应用】 (1)如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． (2)如图4，在等腰中，，，以为边向外作等腰，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，请直接写出的度数． A基础训练 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，将绕顶点顺时针方向旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，和是的高，它们相交于点．且，则图中全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 5．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，中，，点分别为上的点，将沿折叠得，连接，过点作于点．点恰好是的中点．若，平分，则（   ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 7．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 8．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）马扎（图1）是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带．图2为其侧面示意图，，与交于点，若，，则的度数为__________． 9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，________． C 培优训练 11．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在梯形中，，．求证：． 12．（24-25八年级下·河南郑州·月考）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，在的延长线上取一点，使，求证：． 13．（25-26八年级下·江西新余·月考）如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且 (1)若，请直接写出的度数； (2)已知，，求的周长． 15．（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等腰三角形的性质与判定重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 找出图中的等腰三角形 题型三 等边对等角 题型四 三线合一 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 题型六 根据等角对等边证明边相等 题型七 根据等角对等边求边长 题型八 等腰三角形的性质和判定 题型九 证一条线段等于两条线段和差 拓展训练一 等腰三角形中旋转问题 拓展训练二 等腰三角形中翻折问题 拓展训练三 等腰三角形的性质和判定综合 知识点一：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）民乐县是全国串番茄单品冠军产地，菜农培育的串番茄藤蔓支架可抽象为等腰三角形，若等腰三角形的一个底角为，则其顶角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为，即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为， ∴该等腰三角形两个底角的和为， 又∵任意三角形的内角和为， ∴顶角的度数为． 2．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 知识点二：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江西新余·月考）在中，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用“等角对等边”即可直接求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴由等角对等边可得， 又∵， ∴． 2．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为______． 【答案】20 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知等腰三角形的一边长是5，则另两边长不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构成三角形的条件，根据任意两边之和必须大于第三边，对于等腰三角形的一边为5，另两边需满足此条件，逐一判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，不满足两边之和大于第三边，∴ 不能组成三角形； 选项B：，且，成立； 选项C：，且，成立； 选项D：，成立； 故选：A． 【例2】（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 当以作为腰时，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个；当以作为底时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；据此即可解答． 【详解】解：如图：当以作为腰时，有两种情况， 当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个， 当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选B． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为______． 【答案】8 【分析】该题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况讨论：当4为腰时和当4为底边时，利用三角形三边关系判断是否构成三角形． 【详解】解：若4为腰，则底边长为，此时三边为4、4、12， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 若4为底边，则腰长为，此时三边为8、8、4， ∵，， ∴能构成三角形，故腰长为8． 故答案为：8． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）阅读理解：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用分组分解法分解因式． （1）原式，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式； （2）运用分组分解法将式子分解因式得，因为的三边长a，b，c，可得，，据此判断三角形是等腰三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∵的三边长a，b，c， ， ，， 是等腰三角形． 【经典例题二 找出图中的等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 【例2】（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·月考）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据所给条件，结合等腰三角形判定进行分析，即可解题． 【详解】解：所画直线如图所示： 【经典例题三 等边对等角】 【例1】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，将绕点C顺时针方向旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质推出，以及，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴， ∵由旋转有， ∴． 【例2】（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图，将绕点旋转至的位置，点在边上，与交于点．若，则_______． 【答案】50 【分析】由旋转得所以，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵将绕点旋转至的位置，点在边上， ， ， ， ， ， ． 1．（2026·山东青岛·一模）如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，此时点C恰好落在边上．若，则________． 【答案】/度 【分析】由旋转性质得出，求出即可求出结论． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ， ， ∵在中，， ， ， ． 3．（25-26七年级下·四川·期中）已知为等边三角形(三边相等、三个角为)，与分别为，上一点． (1)如图1，，分别为中点，取中点，连接，，，证明：； (2)如图2，，线段上取一点，使得，连接，，，证明：； (3)如图3，，以为边作等边三角形，连接，证明：平分．(辅助知识点：等腰三角形底角相等) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明得出，证明得出，即可得证； （2）证明得出，根据得出； （3）在上取一点使得，，证明，可得，再证明得出，即可得证． 【详解】（1）证明：，，，分别为中点， ． 在和， , ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：，， ． 在和中， ， ， ， 在中，， ． （3）证明：在上取一点使得，． 在中，． ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ． ， ， ， ． 在中，， ． ， 平分． 【经典例题四 三线合一】 【例1】（2025·四川雅安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 【例2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度______． 【答案】40 【分析】根据题意，得，结合，得到，结合平角定义计算即可． 本题考查了等腰三角形三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（    ） A．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B．垂线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．等边对等角 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∴垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的． A、等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合，能解释房梁是水平的； B、垂线段最短，不能解释房梁是水平的； C、直角三角形的两个锐角互余，垂线段最短，不能解释房梁是水平的； D、等边对等角，垂线段最短，不能解释房梁是水平的． 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为的中线，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接，若，则______ 【答案】20 【分析】本题考查了三线合一，等边对等角． 根据三线合一得到为的角平分线，即，根据等边对等角得到，根据三线合一得到，根据计算即可． 【详解】∵，为的中线， ∴为的角平分线， ， ， ， ， ，为的中线， ， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知等腰，，D是边的中点，，交于点H，过H作，点G为延长线上一点，且，连接； (1)求证：； (2)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求得，再利用证明可得到，据此计算即可得到； （2）先求得，，利用三角形外角的性质求得，再证明，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，D是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，D是边的中点，， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【经典例题五 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 综上，等腰三角形共有3个． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）图①～⑥是三个三角形的碎片，每两个碎片恰好可组成一个完整的三角形，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（   ） A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和与轴对称图形，熟练掌握三角形内角和定理和轴对称图形的定义是解题的关键，根据三角形内角和是且利用图形已知的两个角的度数分别求出另一个角的度数，然后利用等腰三角形定义及等腰三角形是轴对称图形判断即可． 【详解】解：∵②，④图形一个角是， ∴②和④可以组成一个三角形，且这个三角形是等腰三角形，是轴对称图形， ∵⑤，③图形一个角是， ∴③和⑤可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形， ∵，①图形一个角是， ∴①和⑥可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形____个． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，仔细审题，根据、易求，又因为是等腰三角形，再结合、三等分即可得到， 然后得到，结合三角形内角和定理即可得到， 接下来再根据等角对等边即可得到、、、、是等腰三角形，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边进行判断． 【详解】∵，， ∴， ∴是等腰三角形。 ∵，，三等分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴、、、、是等腰三角形， 则等腰三角形有：、、、、、共个， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，四边形是正方形，E是上的一点，是的旋转图形．    (1)由顺时针旋转到，旋转中心是________，旋转角的度数是________； (2)连接，判断并说明的形状． 【答案】(1)点； (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正方形的性质，熟练利用旋转性质是解题关键． （1）利用旋转性质得出旋转中心，利用旋转位置得出旋转角即可； （2）利用旋转性质可得到，得到，，根据正方形性质求出，即可判定出是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：由图可知，顺时针旋转到，旋转中心是点，旋转角是， 故答案为：点；； （2）如图：连接，   是等腰直角三角形，理由如下： 旋转得到， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形． 【经典例题六 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）如图，在中，平分，过点作交于点，交于点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【答案】D 【分析】先证明，推出，再根据，结合三角形外角的性质可得，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 【答案】7 【分析】在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，最后计算即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点D， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2025七年级·上海·模拟预测）如图，已知，增加下列条件中的一个：，，，可以证明的是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】通过“”证明，即可判断；通过“”证明，即可判断；先通过等边对等角得，然后通过等角对等边得，再由“”证明，即可判断． 【详解】解：在和中，， ∴； 在和中，， ∴； 连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴； 综上可得：可以证明的是或或． 2．（2026·河北沧州·一模）如图，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船从以每小时70海里的速度沿南偏东方向匀速航行，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与处的距离是____________海里． 【答案】 【分析】本题考查了方位角的计算，等腰三角形的性质与判定．根据已知条件得出为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，， ∵， ∴， ∵，则 ∴为等腰直角三角形， ∵（海里）， ∴（海里）． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）在中，平分，E是上一点，交于点F，交的延长线于点P，交的延长线于点H． (1)求证：是等腰三角形； (2)试在图中找出一对全等三角形并给予证明； (3)试猜想与的大小关系？并证明你的猜想？ 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，再根据角平分线定义证明，最后根据等腰三角形的判定得出答案即可； （2）根据“”证明； （3）根据等腰三角形的判定得出，根据三角形全等的性质得出，从而证明，根据线段间的数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）解：， 证明：∵， ∴，， 又，， ∴， 又， ∴； （3）解：．理由如下： ∵，， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， 又， ∴， 即． 【经典例题七 根据等角对等边求边长】 【例1】（2025·山西长治·三模）已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由角平分线定义可得，然后通过角平分线定义可得，所以，最后由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ， ， ， ， ． 故选：C． 【例2】（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在中，，，将沿折叠，使点与上的点重合，若，则的长为________． 【答案】 【分析】先由三角形内角和求出，再根据折叠性质得到，，利用三角形外角性质得，即可得，最后利用等角对等边得． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∵， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线定义得，，由平行线性质得，，所以，，则，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰直角中，，，是上一点，连接，，点关于直线的对称点恰好落在上，则的度数为_____；连接交于点．若，则的长为_____． 【答案】 /120度 1 【分析】此题考查了轴对称性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，，由对称得到，，，，证明出，得到； 如图所示，连接，证明出，得到，然后证明出，得到． 【详解】∵在等腰直角中，，， ∴，， ∵点关于直线的对称点恰好落在上， ∴，，， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴； 如图所示，连接 ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：，1． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 等腰三角形的性质和判定】 【例1】（25-26七年级下·上海静安·月考）如图，，，，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】首先作于，作交的延长线于．根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求得面积． 【详解】解：作于，作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， 的高即为， ． 【例2】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，交于，根据折叠和等腰三角形性质得出当和重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值是，即可求出答案． 【详解】解：连接，交于，如图所示： ∵沿折叠和重合， ， 垂直平分，即和关于对称， ， ∴当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是， 的周长的最小值是． 1．（24-25七年级下·辽宁铁岭·月考）如图，在直角三角形中，，，点是的中点，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形得到，，推出，然后得到，即可证明，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴ ∴ ∴ ∴，故③正确． 综上所述，正确的结论有3个． 2．（25-26七年级下·上海嘉定·七年级下）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为_____；_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交于点，交于点，由和得到，可得到，则有，推出，利用全等三角形和直角三角形的性质推出，得到，即可求出的长；过点A作 于点P，根据，可得，即可求出． 【详解】解：如图，作交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ，即， ， ， ； 过点A作 于点P， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）如图，在中，，，垂足为点D，点E在上，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)延长到点G，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和得到，根据等角对等边得到，证明，即可得到； （2）过点D作交于点H，根据同角的余角相等得到，根据得到，证明，得到，根据等边对等角得到，，进而得到，即． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题九 证一条线段等于两条线段和差】 【例1】（24-25八年级上·江苏镇江·月考）如图，在中，，是的平分线，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．在上截取，连接，通过证明得到，，结合得到，利用三角形外角的性质推出，推出，最后利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 1．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 2．（2025·广东佛山·一模）如图，在四边形中，，是上一点，，，______． 【答案】 【分析】通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可． 【详解】 解：如图所示，分别过A、D作于E，于F ∴ ∴, ∵ ∴ ∴ , 在与中 ∴ ∴ ， 在中， ∴ 同理可得： ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题考查特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键． 3．（2026·重庆·一模）如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接． (1)如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质结合等腰三角形底角相等，以及三角形内角和定理即可求出； （2）延长构造，结合直角三角形斜边中线等性质，导出，从而得到，最后即可得出； （3）先确定点M的轨迹为直线，又注意到线段到的几何变换为绕点D逆时针旋转并且放大倍，因此构造辅助线得出点H轨迹为直线，结合锐角三角函数与勾股定理计算得出取最小值时，再根据三角形三边关系确定的最大值，即可求解出答案为． 【详解】（1）解：设， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故． （2）解：如图，延长至点H，使得，连接、， 在与中， ， ， ，， D为的中点， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点D作，在上取点F，使得，连接、、、， ，， ， ，， ， 与均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 点在直线上， 当时，取得最小值， 点为中点，， ， ，， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， 当且仅当点D、A、三点共线时取得最大值， 最大值为． 【拓展训练一 等腰三角形中旋转问题】 【例1】 （24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，在中，，将绕点A旋转，旋转后的点B落在边上，点B的对应点为点D，连接，若是的平分线，则的度数为（   ）度 A．36.75 B．37 C．38 D．39 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质得到，，等边对等角求出的度数，角平分线得到的度数，根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 【例2】（24-25八年级上·广东惠州·期中）在中，，；将一块三角板的直角顶点放作斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．当是等腰三角形时，的度数为______（写出所有可能的值）． 【答案】或或或． 【分析】分类讨论，当点在线段上时，①若，②若，③若，当点在的延长线上时，则只有，然后根据等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：当点在线段上时， ①若，则，此时，点与点重合，点与点重合； ②若，，； ③若，则； 当点在的延长线上时，此时，是钝角，只能是顶角，则只有，即． 综上，的度数为或或或． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形存在性问题，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定和分类讨论思想方法． 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，等腰中，，，绕点B逆时针方向旋转一定角度后到的位置，点D恰好落在边上．求旋转角的度数． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，根据旋转的性质得到，进而求出的度数，即可得出旋转角的度数． 【详解】解：，， ． 由旋转的性质得，， ， ， 旋转角的度数是． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，若，求旋转角的度数． 【答案】旋转角 【分析】由得，由旋转得，所以有，进而得到32°，再由=180°即可求出旋转角的度数． 【详解】∵， ∴， ∴．         ∵绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴旋转角． 【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质、旋转前后对应边相等、旋转角的概念等，熟练掌握等腰三角形的性质及旋转性质是解决本类题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图1，中，是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，、将绕点C按逆时针方向旋转，使得EF所在直线交线段AD于点M，交线段AB于点N． (1)当旋转75°时，如图2，直线EF与AD的位置关系是______，______°； (2)在旋转一周过程中，试探究：当CE旋转多少度时，中有两个角相等． 【答案】(1)垂直，60 (2)当CE旋转45°，90°，270°，315°时，△AMN中有两个角相等 【分析】（1）根据题中条件，求得，由此可求得，即EF与⊥AD，同时可求得； （2）分情况进行讨论，①，求得CE旋转45°或315°，②，可求得CE旋转90°或270°． 【详解】（1）解：如图所示，EF与AC交于点O， 由题意可知，， ∵AD是角平分线， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线EF与AD的位置关系是：垂直， ∵， ∴， 故答案为：垂直，60． （2）由题意可知，， ①当， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当CE旋转45°时，△AMN中有两个角相等，如图所示， ②时， 则： ， ∴，即，如图， 则CE旋转的度数为：360°-45°=315°， 即当CE旋转315°时，△AMN中有两个角相等； ③当时， ∵， ∴， 则， 即， ∵， ∴， 即当CE旋转90°时，△AMN中有两个角相等，如图所示， ④由③可知，如图，当时， ∵， 此时CE旋转270°， 即当CE旋转270°时，△AMN中有两个角相等， 综上所述：当CE旋转45°，90°，270°，315°时，△AMN中有两个角相等． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，分情况讨论，利用旋转的性质是解题的关键． 【拓展训练二 等腰三角形中翻折问题】 【例1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折的性质，等腰直角三角形的判定和性质，根据翻折得到，，进而得到，得到为等腰直角三角形，等积法求出的长，进而得到的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵翻折， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【例2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为___________（用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可得，，结合可得，再根据平行线的性质及等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得，进而计算的度数即可． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，，点D，E分别是上的动点，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在上，若是等腰三角形，请你探索的大小，并画图说明理由． 【答案】或或 【分析】本题考查折叠问题，等腰三角形，三角形内角和定理与外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论．由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得 【详解】解：，， ， 分三种情况讨论： ①当时，如图： ， ； ②当时，如图： ， ； ③当时，如图： ， ； 综上所述，为或或， 故答案为：或或． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，，点在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点，处． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查折叠的性质（对应角相等、对应线段相等、折痕垂直平分对应点连线 ）、角的和差计算及三角形面积公式．熟练掌握折叠性质，利用其转化角和线段的等量关系，是解题关键． （1）利用折叠性质，将转化为与相关的角，通过角的和差计算其度数； （2）依据折叠性质得出线段相等关系，确定的高与底，结合面积公式求解． 【详解】（1）解：由折叠可得，． ， ； （2）解：由折叠性质：，且；． 由（1）知，且， 为等腰直角三角形， ． ， ． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论； （2）根据折叠得出，根据；得出， 根据，得出，根据等腰三角形的判定得出结论； 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠可知：， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴． 【拓展训练三 等腰三角形的性质和判定综合】 【例1】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）如图，在中，，是边上的中线，点在边上，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，，由三角形内角和定理得出，再由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例2】（25-26八年级上·江苏常州·月考）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是____________．        【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义． 先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，再由等角对等边得，则的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：在中，与的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 的周长是：， ∵， ． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点F，交于点E，平分交于点H，交于点G．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等，对顶角相等，证明即可； （2）由（1）知，得到为等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一性质证明即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴ ； （2）解：由（1）知， ∴为等腰三角形， 又∵平分， ∴； 2．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由等量代换可得，通过角边角证明； （2）由可得，，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）【探索发现】如图1，晓慧用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【方法应用】 (1)如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． (2)如图4，在等腰中，，，以为边向外作等腰，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）根据题意，证明即可说明四边形是双等四边形； （2）根据题意分、、三种情况，结合等腰三角形的性质求角即可． 【详解】（1）证明：将绕点A逆时针旋转至， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是双等四边形； （2）解： ①当，时， 四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ， ； ②当，时， 四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ， ； ③当，时， 四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ， ， ； 综上，的度数为或或． A基础训练 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 2．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，将绕顶点顺时针方向旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可得、，根据旋转的性质可得、，由等边对等角可得，则，由三角形内角和定理可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕顶点顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，和是的高，它们相交于点．且，则图中全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵在中，高、相交于点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 综上，共5对全等三角形． 5．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，中，，点分别为上的点，将沿折叠得，连接，过点作于点．点恰好是的中点．若，平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点作交于点，利用平分，得到，证明后，求出，再证明，利用三角形外角得到． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 点恰好是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 连接，延长，交于点， ， ， ，， ， ， ， 沿折叠得， ， ， ． B 提高训练 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【详解】解：当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为：10． 7．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 8．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）马扎（图1）是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带．图2为其侧面示意图，，与交于点，若，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先由等腰三角形性质得到，再由平行线性质求解即可． 【详解】解：在中，，则， ， ． 9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，________． 【答案】或90或45 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ，此时是等腰三角形，且； ②当点与点点）重合时，点与点重合， ，，， ，，是等腰三角形， ∴； ③如图当时，是等腰三角形． ∵． ∴， ∴； 故答案为：或90或45． C 培优训练 11．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在梯形中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】延长交于点，根据平行线的性质以及等角对等边证明，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·河南郑州·月考）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，在的延长线上取一点，使，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据三角形的内角和即可得到； （2）根据等腰三角形的性质得到，由得，进而得，然后根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，于点D， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·江西新余·月考）如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线得到，，结合角平分线得到，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分外角． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵平分内角，平分外角． ∴，， 由三角形的外角可得，， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且 (1)若，请直接写出的度数； (2)已知，，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）先根据角平分线的定义求得的度数，据此求解即可； （2）先根据角平分线的定义和平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，，从而可得，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 的周长是． 15．（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1），9；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质得，，则，进而得到，则有，再利用线段的和差即可求出的长； （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差即可求出的长； （3）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可得出结论． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：，9； （2）如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ； （3），证明如下： 如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $