第三章 代数式《易错点培优讲义》单元复习 2026-2027年人教版七年级数学上册

第三章 代数式 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 代数式的定义 题型2 判断是否为代数式 题型3 代数式书写规范 题型4 代数式求的值 题型5 已知字母的值 ，求代数式的值 题型6 已知式子的值，求代数式的值 题型7 列代数式 题型8 用字母表示数 题型9 代数式数字规律 题型10 代数式图形规律 单元培优卷 必备知识 知识点1代数式 1. 代数式的概念： 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的书写要求： ①数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用“·”代替或直接省略。 ②在数与字母以及石子相乘中，排列的先后顺序依次是数，字母，然后单项式，最后多项式。 ③带分数写成假分数。 ④写含有字母的除法时，要把除法写成分数的形式。 ⑤代数式后面有单位时一定要用括号把代数式括起来。 3．代数式的意义： 代数式的意义指的是一个代数式所表示的数量关系。 4．用代数式表示实际问题中的数量关系： 用代数式表示实际问题中的数量关系，首先要认真审题，弄清楚问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式规范表达表达出来。 【针对训练】 例题：用代数式表示“a 的平方的3 倍与 b 的平方的差”为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式，先分别表示出a 的平方的3 倍和b的平方，再作差即可得到答案． 【详解】解：用代数式表示“a 的平方的3 倍与 b 的平方的差”为， 故答案为；． 【变式训练】 1．某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的3倍少10件，用代数式表示去年的产量为 件． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据“某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的3倍少10件”列出代数式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：用代数式表示去年的产量为件， 故答案为：． 2．一支钢笔元，一支圆珠笔元，购买支钢笔和支圆珠笔需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，购买支钢笔和支圆珠笔需要元， 故答案为：． 3．伊伊今年a岁，妈妈的年龄比伊伊年龄的3倍多4岁，用含有字母的式子表示妈妈的年龄是 岁． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式，伊伊的年龄乘以3，再加上4即可得到答案． 【详解】解；由题意得，妈妈的年龄是岁， 故答案为：． 知识点2 代数式的值 1. 代数式的值的定义： 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 一般情况下有直接带入和整体带入这两种方法。 2. 用公式进行计算： 在某些同类事物中的某种关系可以用公式来表示，在解决这类问题时常常用公式进行计算。常用的公式有： ①常见图形的面积公式，体积公式。 ②整式乘法中的乘法公式。 【针对训练】 例题：当时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，关键步骤是先平方后乘法，最后注意负号的处理．由题意将代入进行运算即可． 【详解】解：将代入， 可得． 【变式训练】 1．已知、互为倒数，、互为相反数（、不为0），，根据已知条件请回答： (1)_____，_____，_____，_____； (2)求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值，有理数除法，代数式求值，掌握相关定义和运算法则是解题关键． （1）根据倒数、相反数、绝对值以及有理数除法法则求解即可； （2）将（1）所得式子值代入计算即可． 【详解】（1）解：、互为倒数，、互为相反数（、不为0），， ，，， ， ， 故答案为：，，，； （2）解： ， ． 2．历史上，数学家欧拉最先把关于的代数式用记号来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．如：当时，代数式的值记作， 则． 已知代数，且，回答下列问题： (1)__________； (2)若，求的值； (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值，新定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入中进行求解即可； （2）根据，得到，据此可得答案； （3）根据，，得到，则，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：代数，且， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ， ， ； （3），， ， ， ． 3．开始输入的值为1，则第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为2，…．请你探索第2024次输出结果为 ． 【答案】2 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，按照程序流程图依次运算得出循环规律是解题的关键．利用程序流程图计算出前4次的输出结果，即可得出运算规律，进而得出答案． 【详解】解：当开始输入的值为1时，第1次输出的结果为3， 第2次输出的结果为2， 第3次输出的结果为1， 第4次输出的结果为3，… 故数据每3次循环一轮， ， 第2024次输出的结果和第2次相同为2． 故答案为：2． 知识点3 反比例及其简单应用 1．反比例关系： 两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且这两个量的积是一个定值，则这两个量叫做成反比例的量或成反比例关系。 字母表示为：或，k是一个定值，叫做比例系数。 【针对训练】 例题：下面各题中的两种量成反比例关系的是（   ） A．平行四边形的面积一定，它的底与相对应的高 B．《指导丛书》的单价一定，订购的总价与订购的数量 C．书的总页数一定，已读的页数与未读的页数 D．汽车行驶的速度一定，它的路程和时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系，解题的关键是掌握：如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系．据此判断即可． 【详解】解：A．∵平行四边形的面积底高， ∴平行四边形的面积一定，它的底与相对应的高的乘积是一定，即它的底与相对应的高成反比例，故此选项符合题意； B．∵单价总价数量， ∴《指导丛书》的单价一定，订购的总价与订购的数量是定值，故此选项不符合题意； C．∵书的总页数一定， ∴已读的页数与未读的页数的和是定值，故此选项不符合题意； D．∵速度路程时间， ∴汽车行驶的速度一定，它的路程和时间的比是定值，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练】 1．下面各数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度 B．购买钢笔和铅笔的总费用一定，钢笔的费用与铅笔的费用 C．圆的周长和它的半径 D．运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数 【答案】D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【详解】解：A、汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度成正比例． B、购买钢笔和铅笔的总费用一定，钢笔的费用与铅笔的费用的和一定，故不成比例； C、圆的周长和它的半径成正比例； D、运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数成反比例； 故选：D． 2．下列几组量中，不成反比例的是(  ) A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数 【答案】B 【分析】本题考查了反比例的辨析，根据工作效率工作时间工作总量，可对选项A进行判断；根据被减数差减数，可对选项B进行判断；根据平行四边形的底高面积，可对选项C进行判断；根据一批煤的总吨数每月烧的吨数烧的月数，可对选项D进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于选项A，∵工作效率工作时间工作总量， ∴当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例，故选项A不符合题意； 对于选项B，∵被减数差减数， ∴当减数一定时，被减数和差不成比例，故选项B符合题意； 对于选项C，∵平行四边形的底高面积， ∴当面积一定时，平行四边形的底和高成反比例；故选项C不符合题意； 对于选项D，∵一批煤的总吨数每月烧的吨数烧的月数， ∴食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数成反比例，故选项D不符合题意． 故选：B． 3．下列选项中的两个量成反比例关系的是（　　） A．三角形的高一定，三角形的面积和底 B．总路程一定，已走的路程和剩下的路程 C．圆柱的底面积一定，它的体积和高 D．工作总量一定，工作时间和工作效率 【答案】D 【分析】本题考查了辨识反比例，解题的关键是看这两种相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定； 判断两个相关联的量之间成反比例，就看这两个量如果是乘积一定，则成反比例，逐项判断即可． 【详解】A．这三角形的面积底高2(一定)，商一定，所以这三角形的面积和底成正比例关系； B．已走路程剩下的路程总路程(一定)，和一定所以已走路程和剩下的路程不成比例关系； C．圆柱体积高圆柱的底面积(一定)，商一定，所以圆柱的体积和高成正比例关系； D．工作时间工作效率工作总量(一定)，乘积一定，所以工作时间和工作效率成反比例关系． 故选∶D． 典例精析 题型1 代数式的定义 1．在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的识别，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫做代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、a、1、、中，、a、1、是代数式，共4个；是等式，不是代数式， 故选C． 2．用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如下表： 每本用纸张数/张 8 10 15 20 24 装订本数/本 75 60 40 30 25 (1)这些纸一共有______张； (2)每本用纸张数和装订本数是否成反比例关系?为什么? 【答案】(1)600 (2)反比例关系，见解析 【分析】本题考查了代数式，以及反比例关系，解题的关键在于熟练掌握相关概念． （1）根据总数每本用纸张数装订本数求解，即可解题； （2）根据反比例关系的概念求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为， 这些纸一共有张； 故答案为：； （2）解：每本用纸张数和装订本数成反比例关系． 因为定值， 所以每本用纸张数和装订本数成反比例关系． 题型2 判断是否为代数式 3．判断下列式子哪个是代数式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式，解题的关键是熟练掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“”“”“”“ ”等符号的不是代数式． 根据代数式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是代数式，故本选项不符合题意； B、不是代数式，故本选项不符合题意； C、不是代数式，故本选项不符合题意； D、是代数式，故本选项符合题意； 故选：D 4．判断下列各式中哪些是代数式，哪些不是代数式？ 0，，F＝ma，m+2＞m，2x2﹣3x+11，，13≠12，，﹣y，6π． 【答案】代数式的有：0，，2x2﹣3x+11，，，﹣y，6π． 不是代数式的有：F＝ma，m+2＞m，13≠12． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【详解】代数式的有：0，，2x2﹣3x+11，，，﹣y，6π； 不是代数式的有：F＝ma，m+2＞m，13≠12． 【点睛】此题考查代数式问题，关键是掌握代数式的定义解答．注：“运算符号”是指加、减、乘、除、乘方等运算的符号，而像“=”“＞”“＜”等表示数量关系的符号，并不是运算符号；②单独一个数或者一个字母也是代数式． 题型3 代数式书写规范 5．下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A．代数式书写规范，故此选项符合题意； B．应该写成，故此选项不符合题意； C．应该写成，故此选项不符合题意； D．应该写成，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)米 【分析】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号．根据代数式的书写格式解答即可． 【详解】（1）解：应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）解：应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）解：应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）解：应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； （5）解：应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； （6）解：米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 题型4 代数式求的值 7．已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， 故选：B． 8．若，求的值． 【答案】22 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，求代数式的值，根据绝对值和平方的非负性得出x和y的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】解： ． 题型5 已知字母的值 ，求代数式的值 9．若，则代数式的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式求值的知识，将代入代数式求解即可． 【详解】解：若， 则代数式， 故选：C． 10．已知，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据绝对值和平方的非负性求出m，n的值，然后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 题型6 已知式子的值，求代数式的值 11．若的值为7，则的值为（  ） A．19 B．24 C．39 D．44 【答案】A 【分析】此题考查求代数式的值，整理得，再把代入进行求解，即可作答． 【详解】解：∵的值为7， ∴， ∴， 故选：A 12．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)11 (3)28 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入思想求解是解答的关键． （1）根据已知等式可得，代入代数式，即可求解． （2）将代入代数式，即可求解． （3）两式相加后整体思想代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2026； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴， 即， ∴． 题型7 列代数式 13．“与的差的倒数”用式子表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的表示，熟悉掌握倒数是解题的关键． 根据题意，先表示与的差，再求其倒数即可． 【详解】解：x与y的差为：， ∴它们的倒数为：， 故选：C． 14．学校为丰富学生课余生活，特地去文体店购买了一批排球，单价为每个a元，买10个或10个以上按8折优惠． (1)购买8个排球应付款多少元？ (2)购买m（）个排球应付款多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】本题是代数式的表示在实际生活中的应用． （1）根据总价等于单价乘以数量表示出来即可． （2）由根据总价等于单价乘以数量表示出来即可． 【详解】（1）解：∵排球单价为每个a元，买10个或10个以上按8折优惠， ∴购买8个排球需付款元． （2）解：∵， ∴购买m个排球应付元． 题型8 用字母表示数 15．小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，先表示出小明岁，再表示出小华岁，问题得解． 【详解】解：小强y岁，小明比小强大2岁，则小明岁；小明比小华小4岁，则小华岁． 故选：D 16．用字母表示图中阴影部分的面积． 【答案】（1）ab﹣bx；（2）R2πR2 【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积； （2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积． 【详解】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx； （2）阴影部分的面积＝R2πR2． 【点睛】本题考查代数式的应用，解决问题的关键是看懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系． 题型9 代数式数字规律 17．下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列发现第n个数可表示为（n为正整数）是解题的关键．根据所给数列，发现后一个数总是前一个数的2倍，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为1，，，，，…， 所以第n个数可表示为：（n为正整数）， 当时， ， 即第2024个数是． 故选：A． 18．观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，探索规律，能够通过所给的式子找到规律是解题的关键． （1）利用题干中等式的特征解答即可； （2）根据题目中给出的已知等式得出规律，写出等式最左边的数为a时的等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：； ； ； ； ； …… ． 题型10 代数式图形规律 19．如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，当图形中含有2025个三角形时，需要的火柴棍根数为（  ） A．4039 B．4049 C．4051 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知，图形中有n个三角形需要根火柴，据此规律求解即可． 【详解】解：图形中有1个三角形需要3根火柴， 图形中有2个三角形需要根火柴， 图形中有3个三角形需要根火柴， 图形中有4个三角形需要根火柴， ……， 以此类推，可知，图形中有n个三角形需要根火柴， ∴若图形中含有2025个三角形，则需要根火柴， 故选：C． 20．文化情境·传统文化  小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去． (1)摆第5个图案需用________颗棋子； (2)按照此规律摆下去，摆第个图案需要________颗棋子（用含的代数式表示）； (3)当需要摆第2025个图案时，现在共有8100个棋子，是否够用？请说明理由． 【答案】(1)21 (2) (3)不够，见解析 【分析】本题考查整式——图形类规律探索，找出变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形中棋子的个数找出规律，即可求解； （2）根据（1）中得出的规律，用含的代数式表示出第个图案中棋子的个数即可； （3）根据（2）中结论，令求出棋子数量，再与比较即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，第个图案中有颗棋子，， 第个图案中有颗棋子，， 第个图案中有颗棋子，， ……以此类推， 第个图案中棋子个数为：， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，摆第个图案需要颗棋子， 故答案为：； （3）不够，理由如下： 当时，， 故摆第2025个图案时个棋子不够用． 第三章 代数式《易错点讲义》单元复习 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：七年级数学第三章易错点 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下面对代数式的叙述正确的是（   ） A．的3倍与的一半的差 B．的3倍与的差的一半 C．与的一半的差的3倍 D．与的差的3倍的一半 【答案】A 【知识点】列代数式、代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式的意义，根据代数式的运算顺序与各部分含义，匹配对应的文字叙述即可． 【详解】解：∵表示a的3倍，表示b的一半， ∴表示a的3倍与b的一半的差，与选项A的叙述一致； ∵选项B对应的代数式为，选项C对应的代数式为，选项D对应的代数式为，均与原代数式不符． 故选：A． 2．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式 【详解】解：，因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是． 3．已知，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题采用整体代入法计算代数式的值，先根据已知等式得到的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 4．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 5．无论为何值，代数式的值总是（     ）． A．比小 B．比大 C．比小 D．比大 【答案】C 【知识点】用字母表示数、有理数大小比较、整式的加减运算 【分析】本题利用作差法比较代数式大小，通过计算差的正负判断大小关系，也可通过举反例排除错误选项得到答案． 【详解】解：∵ ∴，即代数式的值总比小，故选项正确； 当时， ，故选项错误； 当时，，故选项错误； ∵，故选项错误． 6．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”，该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现有如图所示的“幻方”，则的值是（   ） A．256 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、负整数指数幂 【分析】根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，列代数式，，整理后代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， 整理得：，， ∴． 7．有一块长为，宽为的长方形铝片，四个角上各剪去一个边长为的相同的正方形后，折成一个无盖的盒子，则此盒子的容积的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】本题考查根据实际问题列代数式，解题关键是确定折成无盖长方体盒子后，盒子的长、宽、高，再利用长方体容积公式推导表达式． 【详解】解：∵原长方形铝片长为，四个角各剪去一个边长为的正方形， ∴折成盒子后，盒子的长为，同理可得盒子的宽为，盒子的高为， ∵长方体容积公式为， ∴，故选D． 8．下列对这个式子的解释，（     ）是正确的． A．求线段的长 B．求组合图形的面积 C．求长方形的周长 D．圆柱底面积是，求圆柱的体积 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义、 圆柱的体积、三角形与四边形 【详解】解：A、线段，不符合题意； B、组合图形的面积，不符合题意； C、长方形的周长，符合题意； D、圆柱体积，不符合题意． 9．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 10．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．代数式用文字语言表示为________________________． 【答案】的平方与的倒数的差 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的文字语言，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据表示的平方和表示的倒数即可解答． 【详解】解：表示的平方，表示的倒数， 代数式用文字语言表示为的平方与的倒数的差， 故答案为：的平方与的倒数的差． 12．某公司准备购进张办公桌（为大于等于2的整数），购进办公椅的数量比办公桌数量的2倍少3把，已知办公桌的单价为200元/张，办公椅的单价为80元/把，用含的代数式表示该公司购进这些办公桌椅的总费用为___________元．（结果化为最简形式） 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意，总费用由办公桌和办公椅的总价之和构成，分别用代数式表示后求和并化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得： （元）， 故答案为：． 13．将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成_______ ；     （2）S÷t应写成_________； （3），应写成______； （4）, 应写成______. 【答案】 5a 【知识点】代数式书写方法 【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果． （2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果． （3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果． （4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果． 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． 【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键． 14．如图，每一幅图中有若干张大小相同的小卡片，第1幅图中有1张卡片，第2幅图中有3张卡片，第3幅图中有6张卡片，第4幅图中有10张卡片，那第99幅图中有________张卡片． 【答案】4950 【知识点】图形类规律探索 【分析】根据题意得出图形的一般规律为第n幅图中有张卡片，然后问题可求解． 【详解】解：∵第1幅图中有1张卡片， 第2幅图中有张卡片， 第3幅图中有张卡片， 第4幅图中有张卡片， ……； ∴第n幅图中有张卡片， ∴第99幅图中有张卡片． 三、解答题(15～18题每小题6分，19～22题每小题10分，23题14分，共78分) 15．当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）直接代值计算即可； （2）直接代值计算即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：解：当，时，． 16．下面是一组数值转换机的示意图．    (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 【答案】(1)，， (2) (3)3或 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【分析】（1）根据图形和算式得出答案即可； （2）把代入，再求出答案即可； （3）把代入，再求出答案即可． 本题考查了求代数式的值，能根据图形得出算式是解此题的关键． 【详解】（1）解：由图形和算式为得到图（b）中的转化步骤是： ①，②，③． 故答案为：，，； （2）当时， ； （3）由题意可得，图（a）中的算式为， 当时， ， 解得：或， 答：x的值为3或． 17．某商场销售一款西服和领带，西服每套定价700元，领带每条定价60元．在开展促销活动期间，商场向顾客提供两种优惠方案．方案一：西装和领带都按定价的九折出售；方案二：买一套西服送一条领带．某客户要购买西装30套，领带x条． (1)若该客户按方案一购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示） (2)若该客户按方案二购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示） (3)若，通过计算说明此时客户选择哪种方案比较合算？ 【答案】(1) (2) (3) 方案一比较合算， 证明：把分别代入（元），（元）， ∵， ∴方案一比较合算． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解题关键． （1）根据西装和领带都按定价的付款列代数式即可； （2）根据买一套西装送一条领带列代数式即可； （3）把代入（1）（2）中的代数式中计算对应的值，然后比较它们的大小可判断按哪种方案购买较为合算． 【详解】（1）解：若该客户按方案一购买， 根据题意得，； （2）解：若该客户按方案二购买， 根据题意得，； （3）略 18．如图，四边形是一个长方形． (1)根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S； (2)当，，时，求S的值． 【答案】(1) (2)28 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的运用，求代数式的值，理解图示，掌握代数式表示数或数量关系的方法，代数式的代入求值方法是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）把，，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，，时， ． 19．定义一种新运算“※”：．例如： (1)计算：的值； (2)若与的值相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 不相等，理由如下： ； ， ∴与的值不相等． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了求代数式的值，熟练掌握定义的新运算顺序是解题的关键． （1）根据定义的新运算计算即可； （2）分别根据定义的新运算计算与的值，比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）略 20．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【答案】(1) 补充表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 (2) 解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. (3) 页 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； （2）略 （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 21．某书店想买一种贺年卡，在互联网上搜索了甲、乙两家网店，已知两家网店的这种贺年卡的质量相同，请阅读相关信息回答问题： 甲网店：贺年卡1元/张，运费8元(运费只需付一次)，超过30张，全部贺年卡打六折．乙网店：贺年卡0.8元/张，运费8元，超过30张免运费． (1)若该书店想购买x张贺年卡，则在甲、乙两家网店分别需要花多少钱?(用含有x的式子表示) (2)该书店打算购买300张贺年卡，选择哪家网店更省钱? 【答案】(1)当x不超过30时，在甲网店需要花元，在乙网店需要花元；当x超过30时，在甲网店需要花元，在乙网店需要花元； (2)选择甲网店更省钱 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式问题，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）分情况讨论：x是否超过30，然后结合题意即可求解； （2）根据，求出甲乙两家网店购买贺卡所需费用，再进行比较即可. 【详解】（1）解：①当x不超过30时，在甲网店需要花元，在乙网店需要花元； ②当x超过30时，在甲网店需要元，在乙网店需要花元； （2）解：∵该书店打算购买300张贺年卡， ∴甲网店花费：（元）， 乙网店花费：（元）， ∵， ∴选择甲网店更省钱． 22．已知． (1)求的最小值； (2)当取得最小值时，若互为相反数，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】有理数的减法运算、求一个数的绝对值、相反数的定义、绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）求出的所有值，再求出的最小值即可； （2）把的最小值，的值代入所求代数式即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， 的值最小， 取最小值，取最大值， ， 的最小值为． （2）解：互为相反数， ， ， ． 23．完成以下小题 (1)【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示． 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为：．这样，图1中所有空白部分的面积之和为_____，粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的_____倍；像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为_____． (2)【解决问题】如图2，粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为_____．（结果用含的代数式表示）．根据图2中粗线上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：．（结果用含的代数式表示） (3)【拓展应用】根据以上发现，计算：． 【答案】(1)；； (2)； . (3) 【知识点】列代数式、用代数式表示数、图形的规律、含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】（1）结合图形面积公式直接计算即可； （2）先求解，利用面积差与规律进行计算即可； （3）先推导，进一步计算即可. 【详解】（1）解：图1中所有空白部分的面积之和为： ， 粗线上方阴影部分面积是： ； ∴粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的倍； 如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为： ； （2）解：∵， ∴粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为： ； （3）解：由（2）得：粗线上方的阴影图形面积为： ， ∴， ∴ . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 代数式的定义 题型2 判断是否为代数式 题型3 代数式书写规范 题型4 代数式求的值 题型5 已知字母的值 ，求代数式的值 题型6 已知式子的值，求代数式的值 题型7 列代数式 题型8 用字母表示数 题型9 代数式数字规律 题型10 代数式图形规律 单元培优卷 必备知识 知识点1代数式 1. 代数式的概念： 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的书写要求： ①数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用“·”代替或直接省略。 ②在数与字母以及石子相乘中，排列的先后顺序依次是数，字母，然后单项式，最后多项式。 ③带分数写成假分数。 ④写含有字母的除法时，要把除法写成分数的形式。 ⑤代数式后面有单位时一定要用括号把代数式括起来。 3．代数式的意义： 代数式的意义指的是一个代数式所表示的数量关系。 4．用代数式表示实际问题中的数量关系： 用代数式表示实际问题中的数量关系，首先要认真审题，弄清楚问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式规范表达表达出来。 【针对训练】 例题：用代数式表示“a 的平方的3 倍与 b 的平方的差”为 ． 【变式训练】 1．某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的3倍少10件，用代数式表示去年的产量为 件． 2．一支钢笔元，一支圆珠笔元，购买支钢笔和支圆珠笔需要 元． 3．伊伊今年a岁，妈妈的年龄比伊伊年龄的3倍多4岁，用含有字母的式子表示妈妈的年龄是 岁． 知识点2 代数式的值 1. 代数式的值的定义： 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 一般情况下有直接带入和整体带入这两种方法。 2. 用公式进行计算： 在某些同类事物中的某种关系可以用公式来表示，在解决这类问题时常常用公式进行计算。常用的公式有： ①常见图形的面积公式，体积公式。 ②整式乘法中的乘法公式。 【针对训练】 例题：当时，求的值 【变式训练】 1．已知、互为倒数，、互为相反数（、不为0），，根据已知条件请回答： (1)_____，_____，_____，_____； (2)求的值． 2．历史上，数学家欧拉最先把关于的代数式用记号来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．如：当时，代数式的值记作， 则． 已知代数，且，回答下列问题： (1)__________； (2)若，求的值； (3)若，求的值 3．开始输入的值为1，则第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为2，…．请你探索第2024次输出结果为 ． 知识点3 反比例及其简单应用 1．反比例关系： 两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且这两个量的积是一个定值，则这两个量叫做成反比例的量或成反比例关系。 字母表示为：或，k是一个定值，叫做比例系数。 【针对训练】 例题：下面各题中的两种量成反比例关系的是（   ） A．平行四边形的面积一定，它的底与相对应的高 B．《指导丛书》的单价一定，订购的总价与订购的数量 C．书的总页数一定，已读的页数与未读的页数 D．汽车行驶的速度一定，它的路程和时间 【变式训练】 1．下面各数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度 B．购买钢笔和铅笔的总费用一定，钢笔的费用与铅笔的费用 C．圆的周长和它的半径 D．运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数 2．下列几组量中，不成反比例的是(  ) A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数 3．下列选项中的两个量成反比例关系的是（　　） A．三角形的高一定，三角形的面积和底 B．总路程一定，已走的路程和剩下的路程 C．圆柱的底面积一定，它的体积和高 D．工作总量一定，工作时间和工作效率 典例精析 题型1 代数式的定义 1．在式子、a、1、、中，代数式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如下表： 每本用纸张数/张 8 10 15 20 24 装订本数/本 75 60 40 30 25 (1)这些纸一共有______张； (2)每本用纸张数和装订本数是否成反比例关系?为什么? 题型2 判断是否为代数式 3．判断下列式子哪个是代数式（   ） A． B． C． D． 4．判断下列各式中哪些是代数式，哪些不是代数式？ 0，，F＝ma，m+2＞m，2x2﹣3x+11，，13≠12，，﹣y，6π． 题型3 代数式书写规范 5．下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 题型4 代数式求的值 7．已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 8．若，求的值． 题型5 已知字母的值 ，求代数式的值 9．若，则代数式的值是（   ） A． B．5 C．3 D． 10．已知，求的值． 题型6 已知式子的值，求代数式的值 11．若的值为7，则的值为（  ） A．19 B．24 C．39 D．44 12．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 题型7 列代数式 13．“与的差的倒数”用式子表示是（   ） A． B． C． D． 14．学校为丰富学生课余生活，特地去文体店购买了一批排球，单价为每个a元，买10个或10个以上按8折优惠． (1)购买8个排球应付款多少元？ (2)购买m（）个排球应付款多少元？ 题型8 用字母表示数 17．小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 18．用字母表示图中阴影部分的面积． 题型9 代数式数字规律 17．下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（ ） A． B． C． D． 18．观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 题型10 代数式图形规律 19．如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，当图形中含有2025个三角形时，需要的火柴棍根数为（  ） A．4039 B．4049 C．4051 D．2025 20．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 第三章 代数式《易错点讲义》单元复习 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：七年级数学第三章易错点 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下面对代数式的叙述正确的是（   ） A．的3倍与的一半的差 B．的3倍与的差的一半 C．与的一半的差的3倍 D．与的差的3倍的一半 2．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 3．已知，那么的值为（     ） A． B． C． D． 4．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 5．无论为何值，代数式的值总是（     ）． A．比小 B．比大 C．比小 D．比大 6．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”，该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现有如图所示的“幻方”，则的值是（   ） A．256 B． C． D． 7．有一块长为，宽为的长方形铝片，四个角上各剪去一个边长为的相同的正方形后，折成一个无盖的盒子，则此盒子的容积的表达式是（   ） A． B． C． D． 8．下列对这个式子的解释，（     ）是正确的． A．求线段的长 B．求组合图形的面积 C．求长方形的周长 D．圆柱底面积是，求圆柱的体积 9．已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 10．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．代数式用文字语言表示为________________________． 12．某公司准备购进张办公桌（为大于等于2的整数），购进办公椅的数量比办公桌数量的2倍少3把，已知办公桌的单价为200元/张，办公椅的单价为80元/把，用含的代数式表示该公司购进这些办公桌椅的总费用为___________元．（结果化为最简形式） 13．将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成_______ ；     （2）S÷t应写成_________； （3），应写成______； （4）, 应写成______. 14．如图，每一幅图中有若干张大小相同的小卡片，第1幅图中有1张卡片，第2幅图中有3张卡片，第3幅图中有6张卡片，第4幅图中有10张卡片，那第99幅图中有________张卡片． 三、解答题(15～18题每小题6分，19～22题每小题10分，23题14分，共78分) 15．当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 16．下面是一组数值转换机的示意图．    (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 17．某商场销售一款西服和领带，西服每套定价700元，领带每条定价60元．在开展促销活动期间，商场向顾客提供两种优惠方案．方案一：西装和领带都按定价的九折出售；方案二：买一套西服送一条领带．某客户要购买西装30套，领带x条． (1)若该客户按方案一购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示） (2)若该客户按方案二购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示） (3)若，通过计算说明此时客户选择哪种方案比较合算？ 18．如图，四边形是一个长方形． (1)根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S； (2)当，，时，求S的值． 19．定义一种新运算“※”：．例如： (1)计算：的值； (2)若与的值相等吗？请说明理由． 20．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 21．某书店想买一种贺年卡，在互联网上搜索了甲、乙两家网店，已知两家网店的这种贺年卡的质量相同，请阅读相关信息回答问题： 甲网店：贺年卡1元/张，运费8元(运费只需付一次)，超过30张，全部贺年卡打六折．乙网店：贺年卡0.8元/张，运费8元，超过30张免运费． (1)若该书店想购买x张贺年卡，则在甲、乙两家网店分别需要花多少钱?(用含有x的式子表示) (2)该书店打算购买300张贺年卡，选择哪家网店更省钱? 22．已知． (1)求的最小值； (2)当取得最小值时，若互为相反数，求的值． 23．完成以下小题 (1)【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示． 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为：．这样，图1中所有空白部分的面积之和为_____，粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的_____倍；像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为_____． (2)【解决问题】如图2，粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为_____．（结果用含的代数式表示）．根据图2中粗线上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：．（结果用含的代数式表示） (3)【拓展应用】根据以上发现，计算：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $