第三章代数式全章专题讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学讲义通过知识网络表格系统梳理代数式知识体系，将代数式概念、列代数式、求值等核心内容按“概念辨析-规范书写-数量关系-正反比例-求值方法”递进组织，并用核心结论速查表归纳重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层训练设计和思想方法渗透，如通过“整体代入求代数式值”典例培养运算能力与推理意识，分层检测A组巩固基础、C组拓展规律探索，助力不同层次学生提升。十大易错点分析与核心素养导向的例题设计，支持学生自主复习，便于教师实施精准教学。

人教版七年级数学上册 第三章 代数式 全章专题讲义 （教师版） 适用版本：人教版 涵盖：3.1 列代数式表示数量关系 · 3.2 代数式的值 一、考情分析与知识网络 （一）考情分析 “代数式”是继“有理数”之后由“算术”跨入“代数”的关键一章，是把具体数量关系抽象为符号语言的第一步，也是后续整式、一元一次方程、函数等内容的共同基石。本章在期末与中考中多以选择题、填空题考查代数式的概念辨析与书写规范，以解答题考查列代数式、代数式求值与规律探索，并常与“整体代入”思想结合命题。2024 新版教材在本章新增“正比例关系与反比例关系”，是考查热点。 （二）知识网络 知识主干 具体内容 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子；单独一个数或一个字母也是代数式；代数式中不含 = 、> 、< 、≠ 等关系符号 列代数式 用字母表示数；代数式的书写规范；把数量关系（行程、工程、销售、几何、增长率）译为含字母的式子；正比例 y=kx 与反比例 xy=k（k≠0） 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算；掌握直接代入法与整体代入法；用含 n 的式子表示探索出的规律 二、考点精讲（知识清单 + 典例 + 变式） 考点一 用字母表示数与代数式的概念 【知识清单】 1. 用字母表示数：字母可以表示任意数，也可以表示运算律、公式中的量。同一问题中不同字母可表示不同数量。 2. 代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式，如 0、a、−5、x 都是代数式。 3. 辨析要点：代数式中不能出现等号“=”、不等号“>”“<”“≥”“≤”或“≠”。因此 a+b=b+a 是等式、x>3 是不等式，它们都不是代数式。 4. 用字母表示多位数：若一个两位数十位数字为 a、个位数字为 b，则这个两位数表示为 10a+b（而非 ab）。 典例1 下列式子中，属于代数式的是（ ） A. 1+2=3 B. x>5 C. 0 D. a=b+1 【答案】C 【解析】A、D 含有等号“=”，是等式；B 含有不等号“>”，是不等式。C 是单独一个数，符合代数式定义，故选 C。 变式1 用代数式表示：a 的 3 倍与 b 的差，结果为________；一个两位数十位是 5、个位是 x，这个两位数是________。 【答案】3a−b；50+x 【解析】“a 的 3 倍”为 3a，“与 b 的差”即 3a−b。十位是 5 表示 5 个十即 50，个位是 x，故两位数为 50+x。 考点二 代数式的书写规范 【知识清单】 1. 数与字母、字母与字母相乘时，乘号省略不写或写成“·”，且数字写在字母前面，如 a×3 写成 3a，a×b 写成 ab。 2. 数字因数是 1 或 −1 时，省略 1，只保留字母或其相反数，如 1a 写成 a，−1a 写成 −a。 3. 带分数与字母相乘时，须把带分数化成假分数，如 1a 要写成 a。 4. 除法运算一般写成分数形式，如 x÷y 写成 ；相同字母相乘写成幂的形式，如 a·a 写成 a²。 5. 代数式的结果是和（差）的形式且后面带单位时，须把整个式子用括号括起来，如“（a+b）元”。 典例2 下列代数式中，书写完全符合规范的是（ ） A. a×4 B. 1a C. （a+b）元 D. x÷y 【答案】C 【解析】A 应写成 4a；B 带分数应化假分数 a；D 应写成分数 。只有 C 是和的形式且带单位，正确加了括号，故选 C。 变式2 把下列式子按规范改写：m×3 =______；(−1)×a =______；b÷3 =______。 【答案】3m；−a； 考点三 列代数式表示数量关系 【知识清单】 1. 常见数量关系：路程 = 速度×时间；工作总量 = 工作效率×工作时间；总价 = 单价×数量；售价 = 标价×折扣。 2. 几何公式：长方形周长 C=2(a+b)、面积 S=ab；正方形周长 C=4a、面积 S=a²；长方体体积 V=abc；正方体体积 V=a³。 3. 顺逆流：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 − 水流速度。 4. 增长率：若原量为 a，平均增长率为 r，则一次增长后为 a(1+r)，两次增长后为 a(1+r)²。 5. 关键：抓住“和、差、积、商、倍、分”等关键词，先理清运算顺序，再确定括号的位置。 典例3 甲、乙两地的路程为 s 千米，一辆汽车以每小时 v 千米的速度从甲地开往乙地，用含 s、v 的代数式表示汽车行驶的时间；当 s=240、v=60 时求出时间。 【答案】时间为 小时；代入得 4 小时 【解析】时间 = 路程÷速度 = 。把 s=240、v=60 代入，=4，故需 4 小时。 变式3 某商品成本为 a 元，先按成本加价 30% 定价，再按定价打九折出售，用代数式表示实际售价，并求 a=100 时的利润。 【答案】售价为 1.17a 元；a=100 时利润 17 元 【解析】定价 = a(1+30%)=1.3a；打九折 = 1.3a×0.9=1.17a；每件利润 = 1.17a−a=0.17a，当 a=100 时利润为 17 元。 考点四 正比例关系与反比例关系（新增考点） 【知识清单】 1. 正比例关系：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，并且它们的比值（商）一定，即 y=kx（k 为确定的值且 k≠0），就说这两个量成正比例关系。 2. 反比例关系：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，并且它们的乘积一定，即 xy=k（k 为确定的值且 k≠0），就说这两个量成反比例关系。 3. 判断方法：先看两个量是否相关联，再验证“比值一定（正比例）”还是“乘积一定（反比例）”。 典例4 一个长方形面积为 36，设它的一边长为 x、相邻边长为 y。写出 y 与 x 的关系式，并判断 x 与 y 成何种比例关系。 【答案】xy=36，x 与 y 成反比例关系 【解析】长方形面积 = 相邻两边之积，即 xy=36，乘积一定且 k=36≠0，故 x 与 y 成反比例关系。 变式4 工作效率一定时，工作总量与工作时间成______关系；若工作总量一定，则工作效率与工作时间成______关系。 【答案】正比例；反比例 【解析】效率一定即比值一定，为正比例；总量一定即乘积一定，为反比例。 考点五 代数式的值（直接代入法） 【知识清单】 1. 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照式中的运算关系计算所得的结果，叫做代数式的值。 2. 求值三步：一“代入”（把字母换成数，负数与分数代入要加括号）、二“计算”（先乘方，再乘除，最后加减）、三“检验”（核对运算顺序与符号）。 3. 注意：字母所取的值必须使代数式和它所表示的实际问题有意义（如分母不能为 0）。 典例5 当 x=−2 时，求代数式 3−2x 与 x²+1 的值。 【答案】3−2x=7；x²+1=5 【解析】把 x=−2 代入：3−2×(−2)=3+4=7；(−2)²+1=4+1=5。负数代入须带括号，先算乘方再算加减。 变式5 当 a=2、b=−3 时，求代数式 的值。 【答案】 【解析】a−b=2−(−3)=2+3=5，故 =。 考点六 整体代入与规律探索 【知识清单】 1. 整体代入法：当已知条件无法或不易单独求出某个字母的值时，把含该字母的式子（如 a+b、a²+a）当作一个整体，变形后整体代入求值。 2. 常见变形：提公因数凑整体，如把 4x+2y 变形为 2(2x+y)；把 x²y+xy² 变形为 xy(x+y)。 3. 规律探索：通过列表比较相邻项的变化，找出第 n 项与序号 n 的关系，用含 n 的代数式表示，并验证前几项。 典例6 已知 2x+y=4，求代数式 6x+3y−2 的值。 【答案】10 【解析】把 2x+y 看作整体：6x+3y−2=3(2x+y)−2=3×4−2=12−2=10。 变式6 用火柴棒搭正方形（如图，每多搭一个正方形多用 3 根）：搭 1 个需 4 根，搭 2 个需 7 根，搭 3 个需 10 根……搭 n 个需多少根？搭 20 个需多少根？ 【答案】(3n+1) 根；61 根 【解析】每增加一个正方形多用 3 根，第 n 个为 4+3(n−1)=3n+1。当 n=20 时，3×20+1=61。 三、题型专项训练 （一）选择题 1. 下列各式中不是代数式的是（ ） A. −5 B. a−b C. x=2y D. t 【答案】C 【解析】A 是数，B、D 用运算符号连接，都是代数式；C 含等号“=”，是等式，不是代数式。 2. 代数式 a²+b² 表示的意义是（ ） A. a 与 b 的和的平方 B. a 与 b 的平方的和 C. a、b 两数之积的平方 D. a+b 的 2 倍 【答案】B 【解析】a² 是 a 的平方，b² 是 b 的平方，a²+b² 即“a 与 b 的平方的和”；“和的平方”应写成 (a+b)²。 3. 当 x=3 时，代数式 2x−5 的值是（ ） A. 1 B. −1 C. 11 D. −11 【答案】A 【解析】代入得 2×3−5=6−5=1。 4. 若代数式 x²+1 的值等于 5，则 x 的值是（ ） A. 2 B. −2 C. 2 或 −2 D. 4 【答案】C 【解析】由 x²+1=5 得 x²=4，所以 x=2 或 x=−2。 5. 单价一定时，总价与购买数量成（ ）关系。 A. 正比例 B. 反比例 C. 一次函数 D. 不成比例 【答案】A 【解析】总价 = 单价×数量，单价一定即总价与数量的比值一定，成正比例关系。 6. 已知 a−b=3，则代数式 2a−2b+1 的值是（ ） A. 4 B. 7 C. 5 D. −5 【答案】B 【解析】2a−2b+1=2(a−b)+1=2×3+1=7，整体代入。 7. 下列代数式的书写，符合规范的是（ ） A. 2×a B. a÷2 C. a D. a2 【答案】C 【解析】A 应写 2a，B 应写 ，D 应写 2a；带分数化假分数后 a 正确。 8. 某班有男生 x 人，女生比男生少 4 人，则全班人数是（ ） A. x−4 B. x+4 C. 2x−4 D. 2x+4 【答案】C 【解析】女生为 x−4 人，全班 = x+(x−4)=2x−4。 （二）填空题 1. 棱长为 a 的正方体的体积是________。 【答案】a³ 【解析】正方体体积 = 棱长³ = a³。 2. “x 的 2 倍与 5 的和”用代数式表示为________。 【答案】2x+5 【解析】x 的 2 倍为 2x，再与 5 相加。 3. 笔记本单价 m 元，买 n 本，付出 20 元，应找回________元。 【答案】（20−mn） 【解析】总价 mn 元，找回 20−mn，是和的形式且带单位，加括号。 4. 在反比例关系 xy=k 中，当 x=6 时 y=4，则 k=______；当 y=3 时 x=______。 【答案】24；8 【解析】k=xy=6×4=24；由 xy=24 且 y=3 得 x=8。 5. 按规律填数：2，4，6，8，…的第 n 个数是______，第 20 个数是______。 【答案】2n；40 【解析】每个数是其序号的 2 倍，故第 n 个为 2n，第 20 个为 40。 6. 若 a²+a=3，则 2a²+2a+1=______。 【答案】7 【解析】2a²+2a+1=2(a²+a)+1=2×3+1=7，整体代入。 7. 上底为 2、下底为 4、高为 3 的梯形，面积是________。 【答案】9 【解析】梯形面积 = ==9。 8. 气温由 t ℃下降 5 ℃后是________℃。 【答案】（t−5） 【解析】下降即减法，得 t−5，带单位加括号。 （三）解答题 1. 一个长方形的长为 a，宽为 b。(1) 用代数式表示它的周长 C 和面积 S；(2) 当 a=5、b=3 时，求 C 与 S 的值。 【答案】C=2(a+b)=16，S=ab=15 【解析】周长 C=2(a+b)，面积 S=ab。把 a=5、b=3 代入：C=2×(5+3)=2×8=16；S=5×3=15。 2. 甲、乙两地相距 s 千米，汽车原计划用 t 小时到达，实际每小时比计划多行驶 30 千米。用含 s、t 的代数式表示实际行驶的时间，并求 s=180、t=3 时实际所用的时间。 【答案】实际时间为 s÷(+30)；代入得 2 小时 【解析】计划速度为 千米/时，实际速度为（+30）千米/时，故实际时间为 s÷（+30）。把 s=180、t=3 代入：计划速度 =60，实际速度 60+30=90，实际时间 180÷90=2 小时。 3. 某商品进价为每件 a 元，商店先把价格提高 20%，再在新价格基础上打八折促销。(1) 用代数式表示促销价；(2) 说明促销价与进价相比是涨还是跌，变化了百分之几。 【答案】促销价 0.96a；比进价跌 4% 【解析】提价后为 a(1+20%)=1.2a，再打八折为 1.2a×0.8=0.96a。因 0.96a<a，故比进价低，降低了 (a−0.96a)÷a=0.04=4%。 4. 已知 x+y=3，xy=−1。不解方程，求下列代数式的值：(1) 3x+3y；(2) x²y+xy²。 【答案】(1) 9；(2) −1 【解析】(1) 3x+3y=3(x+y)=3×3=9。(2) x²y+xy²=xy(x+y)=(−1)×3=−1，均用整体代入。 5. 用棋子摆出如图所示的一列图案：第 1 个用 5 枚，第 2 个用 8 枚，第 3 个用 11 枚……按此规律：(1) 写出第 n 个图案所用棋子数；(2) 求第 10 个图案所用棋子数。 【答案】第 n 个为 (3n+2) 枚；第 10 个为 32 枚 【解析】相邻两项相差 3，首项为 5，故第 n 个为 5+3(n−1)=3n+2。当 n=10 时，3×10+2=32。 6. 已知 a+b=5，ab=6，求 (a−b)² 的值。 【答案】1 【解析】(a−b)²=(a+b)²−4ab=5²−4×6=25−24=1，用乘法公式变形后整体代入。 四、全章总结 （一）核心结论速查表 项目 结论 / 公式 代数式判定 只含运算符号连接数与字母，且单独一个数或字母也算；出现 = 、> 、< 、≠ 则不是 书写规范 数在前字母在后；带分数化假分数；除法写分数线；和差形式带单位加括号 常用公式 长方形 C=2(a+b)、S=ab；正方体 V=a³；路程=速度×时间；售价=标价×折扣 正 / 反比例 比值一定 y=kx 为正比例；乘积一定 xy=k（k≠0）为反比例 整体代入 把已知组合式（a+b、xy、a²+a）作整体，先变形凑整体再代入求值 （二）思想方法 1. 符号化思想：把数量关系翻译成含字母的式子，实现由“数”到“式”的抽象。 2. 整体思想：条件不易拆分时，把某个组合式看作整体代入，简化求值。 3. 从特殊到一般：通过具体数值发现规律，再推广为含 n 的代数式。 （三）十大易错点 1. 把等式、不等式误当成代数式（凡含 = 、> 、< 、≠ 者均不是代数式）。 2. 数字与字母相乘把数字写在字母后面，如写成 a3。 3. 带分数与字母相乘未化假分数，如写成 1a。 4. 除号与分数线混用，未把除法写成分数形式。 5. 和（差）形式带单位时忘记加括号，如写成 a+b 元。 6. 多位数表示错误，把十位 a 个位 b 写成 ab 而非 10a+b。 7. 代入负数时不加括号，导致符号算错（如 (−2)² 误算为 −4）。 8. 求值时运算顺序颠倒，先加减后乘方。 9. 把正比例与反比例判断反：比值一定为正，乘积一定为反。 10. 字母取值未考虑实际意义，出现分母为 0 等无意义情况。 五、分层检测 A 组（基础巩固） 1. 下列是代数式的是（ ）：A. m+n=5 B. y>0 C. a−b D. x=0 【答案】C 【解析】只有 a−b 是用运算符号连接、不含关系符号，是代数式。 2. 把 a×3 按规范改写为______；把 1b 按规范改写为______。 【答案】3a；b 【解析】数字因数提到字母前得 3a；带分数 1 化成假分数为 ，故写作 b。 3. “x 的一半与 3 的差”用代数式表示为______。 【答案】−3 【解析】x 的一半是 ，再减 3。 4. 当 x=−1 时，代数式 x²−2x+1 的值为______。 【答案】4 【解析】(−1)²−2×(−1)+1=1+2+1=4。 5. 面积为定值 36 的长方形，长 x 与宽 y 成______关系。 【答案】反比例 【解析】xy=36，乘积一定，成反比例。 B 组（能力提升） 1. 一个三位数，百位数字 a、十位数字 b、个位数字 c，这个三位数表示为______。 【答案】100a+10b+c 【解析】百位表示 100 个 a，十位 10 个 b，个位 c。 2. 已知 2a−b=3，求 6a−3b+2 的值。 【答案】11 【解析】6a−3b+2=3(2a−b)+2=3×3+2=11。 3. 某商品提价 20% 后再降价 20%，现价与原价 a 相比是______。 【答案】0.96a（比原价低 4%） 【解析】a(1+20%)(1−20%)=a×1.2×0.8=0.96a，比原价低 4%。 4. 当 a=4、b=−2 时，求 的值。 【答案】 【解析】a+b=4+(−2)=2，=。 C 组（拓展拔高） 1. 求 1+3+5+…+（前 10 个连续奇数）的和。 【答案】100 【解析】从 1 起的前 n 个连续奇数之和等于 n²，前 10 个和为 10²=100。 2. 已知 a+b=5、ab=6，求 a²+b² 的值。 【答案】13 【解析】a²+b²=(a+b)²−2ab=5²−2×6=25−12=13。 3. 观察：2+4=2×3，2+4+6=3×4，2+4+6+8=4×5……请猜想 2+4+6+…+2n 的结果，并说明理由。 【答案】n(n+1) 【解析】左端是从 2 起的前 n 个偶数之和，等于 n(n+1)：第 k 个式子为 (k+1) 个 2 相加，规律对应右端为 (n)(n+1)，可用配对或数学归纳验证。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级数学上册 第三章 代数式 全章专题讲义 （学生版） 适用版本：人教版 涵盖：3.1 列代数式表示数量关系 · 3.2 代数式的值 一、考情分析与知识网络 （一）考情分析 “代数式”是继“有理数”之后由“算术”跨入“代数”的关键一章，是把具体数量关系抽象为符号语言的第一步，也是后续整式、一元一次方程、函数等内容的共同基石。本章在期末与中考中多以选择题、填空题考查代数式的概念辨析与书写规范，以解答题考查列代数式、代数式求值与规律探索，并常与“整体代入”思想结合命题。2024 新版教材在本章新增“正比例关系与反比例关系”，是考查热点。 （二）知识网络 知识主干 具体内容 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子；单独一个数或一个字母也是代数式；代数式中不含 = 、> 、< 、≠ 等关系符号 列代数式 用字母表示数；代数式的书写规范；把数量关系（行程、工程、销售、几何、增长率）译为含字母的式子；正比例 y=kx 与反比例 xy=k（k≠0） 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算；掌握直接代入法与整体代入法；用含 n 的式子表示探索出的规律 二、考点精讲（知识清单 + 典例 + 变式） 考点一 用字母表示数与代数式的概念 【知识清单】 1. 用字母表示数：字母可以表示任意数，也可以表示运算律、公式中的量。同一问题中不同字母可表示不同数量。 2. 代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式，如 0、a、−5、x 都是代数式。 3. 辨析要点：代数式中不能出现等号“=”、不等号“>”“<”“≥”“≤”或“≠”。因此 a+b=b+a 是等式、x>3 是不等式，它们都不是代数式。 4. 用字母表示多位数：若一个两位数十位数字为 a、个位数字为 b，则这个两位数表示为 10a+b（而非 ab）。 典例1 下列式子中，属于代数式的是（ ） A. 1+2=3 B. x>5 C. 0 D. a=b+1 变式1 用代数式表示：a 的 3 倍与 b 的差，结果为________；一个两位数十位是 5、个位是 x，这个两位数是________。 考点二 代数式的书写规范 【知识清单】 1. 数与字母、字母与字母相乘时，乘号省略不写或写成“·”，且数字写在字母前面，如 a×3 写成 3a，a×b 写成 ab。 2. 数字因数是 1 或 −1 时，省略 1，只保留字母或其相反数，如 1a 写成 a，−1a 写成 −a。 3. 带分数与字母相乘时，须把带分数化成假分数，如 1a 要写成 a。 4. 除法运算一般写成分数形式，如 x÷y 写成 ；相同字母相乘写成幂的形式，如 a·a 写成 a²。 5. 代数式的结果是和（差）的形式且后面带单位时，须把整个式子用括号括起来，如“（a+b）元”。 典例2 下列代数式中，书写完全符合规范的是（ ） A. a×4 B. 1a C. （a+b）元 D. x÷y 变式2 把下列式子按规范改写：m×3 =______；(−1)×a =______；b÷3 =______。 考点三 列代数式表示数量关系 【知识清单】 1. 常见数量关系：路程 = 速度×时间；工作总量 = 工作效率×工作时间；总价 = 单价×数量；售价 = 标价×折扣。 2. 几何公式：长方形周长 C=2(a+b)、面积 S=ab；正方形周长 C=4a、面积 S=a²；长方体体积 V=abc；正方体体积 V=a³。 3. 顺逆流：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 − 水流速度。 4. 增长率：若原量为 a，平均增长率为 r，则一次增长后为 a(1+r)，两次增长后为 a(1+r)²。 5. 关键：抓住“和、差、积、商、倍、分”等关键词，先理清运算顺序，再确定括号的位置。 典例3 甲、乙两地的路程为 s 千米，一辆汽车以每小时 v 千米的速度从甲地开往乙地，用含 s、v 的代数式表示汽车行驶的时间；当 s=240、v=60 时求出时间。 变式3 某商品成本为 a 元，先按成本加价 30% 定价，再按定价打九折出售，用代数式表示实际售价，并求 a=100 时的利润。 考点四 正比例关系与反比例关系（新增考点） 【知识清单】 1. 正比例关系：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，并且它们的比值（商）一定，即 y=kx（k 为确定的值且 k≠0），就说这两个量成正比例关系。 2. 反比例关系：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，并且它们的乘积一定，即 xy=k（k 为确定的值且 k≠0），就说这两个量成反比例关系。 3. 判断方法：先看两个量是否相关联，再验证“比值一定（正比例）”还是“乘积一定（反比例）”。 典例4 一个长方形面积为 36，设它的一边长为 x、相邻边长为 y。写出 y 与 x 的关系式，并判断 x 与 y 成何种比例关系。 变式4 工作效率一定时，工作总量与工作时间成______关系；若工作总量一定，则工作效率与工作时间成______关系。 考点五 代数式的值（直接代入法） 【知识清单】 1. 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照式中的运算关系计算所得的结果，叫做代数式的值。 2. 求值三步：一“代入”（把字母换成数，负数与分数代入要加括号）、二“计算”（先乘方，再乘除，最后加减）、三“检验”（核对运算顺序与符号）。 3. 注意：字母所取的值必须使代数式和它所表示的实际问题有意义（如分母不能为 0）。 典例5 当 x=−2 时，求代数式 3−2x 与 x²+1 的值。 变式5 当 a=2、b=−3 时，求代数式 的值。 考点六 整体代入与规律探索 【知识清单】 1. 整体代入法：当已知条件无法或不易单独求出某个字母的值时，把含该字母的式子（如 a+b、a²+a）当作一个整体，变形后整体代入求值。 2. 常见变形：提公因数凑整体，如把 4x+2y 变形为 2(2x+y)；把 x²y+xy² 变形为 xy(x+y)。 3. 规律探索：通过列表比较相邻项的变化，找出第 n 项与序号 n 的关系，用含 n 的代数式表示，并验证前几项。 典例6 已知 2x+y=4，求代数式 6x+3y−2 的值。 变式6 用火柴棒搭正方形（如图，每多搭一个正方形多用 3 根）：搭 1 个需 4 根，搭 2 个需 7 根，搭 3 个需 10 根……搭 n 个需多少根？搭 20 个需多少根？ 三、题型专项训练 （一）选择题 1. 下列各式中不是代数式的是（ ） A. −5 B. a−b C. x=2y D. t 2. 代数式 a²+b² 表示的意义是（ ） A. a 与 b 的和的平方 B. a 与 b 的平方的和 C. a、b 两数之积的平方 D. a+b 的 2 倍 3. 当 x=3 时，代数式 2x−5 的值是（ ） A. 1 B. −1 C. 11 D. −11 4. 若代数式 x²+1 的值等于 5，则 x 的值是（ ） A. 2 B. −2 C. 2 或 −2 D. 4 5. 单价一定时，总价与购买数量成（ ）关系。 A. 正比例 B. 反比例 C. 一次函数 D. 不成比例 6. 已知 a−b=3，则代数式 2a−2b+1 的值是（ ） A. 4 B. 7 C. 5 D. −5 7. 下列代数式的书写，符合规范的是（ ） A. 2×a B. a÷2 C. a D. a2 8. 某班有男生 x 人，女生比男生少 4 人，则全班人数是（ ） A. x−4 B. x+4 C. 2x−4 D. 2x+4 （二）填空题 1. 棱长为 a 的正方体的体积是________。 2. “x 的 2 倍与 5 的和”用代数式表示为________。 3. 笔记本单价 m 元，买 n 本，付出 20 元，应找回________元。 4. 在反比例关系 xy=k 中，当 x=6 时 y=4，则 k=______；当 y=3 时 x=______。 5. 按规律填数：2，4，6，8，…的第 n 个数是______，第 20 个数是______。 6. 若 a²+a=3，则 2a²+2a+1=______。 7. 上底为 2、下底为 4、高为 3 的梯形，面积是________。 8. 气温由 t ℃下降 5 ℃后是________℃。 （三）解答题 1. 一个长方形的长为 a，宽为 b。(1) 用代数式表示它的周长 C 和面积 S；(2) 当 a=5、b=3 时，求 C 与 S 的值。 2. 甲、乙两地相距 s 千米，汽车原计划用 t 小时到达，实际每小时比计划多行驶 30 千米。用含 s、t 的代数式表示实际行驶的时间，并求 s=180、t=3 时实际所用的时间。 3. 某商品进价为每件 a 元，商店先把价格提高 20%，再在新价格基础上打八折促销。(1) 用代数式表示促销价；(2) 说明促销价与进价相比是涨还是跌，变化了百分之几。 4. 已知 x+y=3，xy=−1。不解方程，求下列代数式的值：(1) 3x+3y；(2) x²y+xy²。 5. 用棋子摆出如图所示的一列图案：第 1 个用 5 枚，第 2 个用 8 枚，第 3 个用 11 枚……按此规律：(1) 写出第 n 个图案所用棋子数；(2) 求第 10 个图案所用棋子数。 6. 已知 a+b=5，ab=6，求 (a−b)² 的值。 四、全章总结 （一）核心结论速查表 项目 结论 / 公式 代数式判定 只含运算符号连接数与字母，且单独一个数或字母也算；出现 = 、> 、< 、≠ 则不是 书写规范 数在前字母在后；带分数化假分数；除法写分数线；和差形式带单位加括号 常用公式 长方形 C=2(a+b)、S=ab；正方体 V=a³；路程=速度×时间；售价=标价×折扣 正 / 反比例 比值一定 y=kx 为正比例；乘积一定 xy=k（k≠0）为反比例 整体代入 把已知组合式（a+b、xy、a²+a）作整体，先变形凑整体再代入求值 （二）思想方法 1. 符号化思想：把数量关系翻译成含字母的式子，实现由“数”到“式”的抽象。 2. 整体思想：条件不易拆分时，把某个组合式看作整体代入，简化求值。 3. 从特殊到一般：通过具体数值发现规律，再推广为含 n 的代数式。 （三）十大易错点 1. 把等式、不等式误当成代数式（凡含 = 、> 、< 、≠ 者均不是代数式）。 2. 数字与字母相乘把数字写在字母后面，如写成 a3。 3. 带分数与字母相乘未化假分数，如写成 1a。 4. 除号与分数线混用，未把除法写成分数形式。 5. 和（差）形式带单位时忘记加括号，如写成 a+b 元。 6. 多位数表示错误，把十位 a 个位 b 写成 ab 而非 10a+b。 7. 代入负数时不加括号，导致符号算错（如 (−2)² 误算为 −4）。 8. 求值时运算顺序颠倒，先加减后乘方。 9. 把正比例与反比例判断反：比值一定为正，乘积一定为反。 10. 字母取值未考虑实际意义，出现分母为 0 等无意义情况。 五、分层检测 A 组（基础巩固） 1. 下列是代数式的是（ ）：A. m+n=5 B. y>0 C. a−b D. x=0 2. 把 a×3 按规范改写为______；把 1b 按规范改写为______。 3. “x 的一半与 3 的差”用代数式表示为______。 4. 当 x=−1 时，代数式 x²−2x+1 的值为______。 5. 面积为定值 36 的长方形，长 x 与宽 y 成______关系。 B 组（能力提升） 1. 一个三位数，百位数字 a、十位数字 b、个位数字 c，这个三位数表示为______。 2. 已知 2a−b=3，求 6a−3b+2 的值。 3. 某商品提价 20% 后再降价 20%，现价与原价 a 相比是______。 4. 当 a=4、b=−2 时，求 的值。 C 组（拓展拔高） 1. 求 1+3+5+…+（前 10 个连续奇数）的和。 2. 已知 a+b=5、ab=6，求 a²+b² 的值。 3. 观察：2+4=2×3，2+4+6=3×4，2+4+6+8=4×5……请猜想 2+4+6+…+2n 的结果，并说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $