4.1整式（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版七年级上册

4.1整式（第2课时） 年级 七年级 学科 数学 课型 新授课 教材 人教版七年级上册 教学目标 （1）理解多项式的概念，能准确识别一个代数式是否为多项式；掌握多项式的项、常数项、次数的概念，能准确指出多项式的项和次数。 （2）理解“几次几项式”的含义，能正确说出一个多项式是几次几项式；理解整式的概念，能区分单项式、多项式和整式。 （3）经历从具体代数式中抽象出多项式概念的过程，发展观察、比较和归纳能力。 教学重点 多项式的概念、项、常数项、次数以及整式的概念与分类。 教学难点 准确确定多项式的次数和项（特别是带有负号或字母指数的项）；正确区分单项式、多项式与整式，尤其是分母中含有字母的式子不属于整式。 教材分析 本课时为七年级上册第四章《整式的加减》4.1《整式》（第2课时），核心内容是“多项式及整式”。主要包括：多项式的概念、多项式的项与常数项、多项式的次数、几次几项式的识别，以及整式的概念与分类。这是在学生已经掌握单项式的系数、次数的基础上，对代数式认识的进一步扩展，也是后续学习整式加减运算的基础。 本课时的核心概念是多项式。教材从学生熟悉的代数式（如、、、）出发，引导学生发现它们都可以看成几个单项式的和，从而自然抽象出“几个单项式的和叫多项式”的概念。随后通过“项”“常数项”的界定，以及“次数最高项的次数叫多项式的次数”，逐步规范多项式的结构；再以“几次几项式”的形式对多项式进行分类，最后将单项式与多项式统一为整式。概念形成逻辑清晰，体现了由具体到抽象、由部分到整体的认知过程，同时为后续合并同类项、整式的加减运算提供了分类和运算对象基础。教学重点应放在多项式相关概念的准确建立和运用上，尤其要注意项的符号、次数判断等易错点。 学情分析 学生已学过用字母表示数，掌握单项式的概念、系数和次数，在列一元一次方程时也接触过、等代数式，但尚未系统学习多项式。七年级学生具备一定的观察、比较和归纳能力，但对“多项式各项均带符号”“次数最高项决定多项式次数”等规则容易出错。本课概念较多，名称相近，学生易混淆“单项式的次数”与“多项式的次数”，也易把分母含字母的式子误判为整式。因此，教学中应通过对比分类、变式练习及时纠正；尤其要结合实例突出“多项式由单项式相加组成”“每一项都包括它前面的符号”等关键点，帮助学生建立清晰的概念结构。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾，引入新知】 【旧知复习】 教师提问： （1）什么是单项式？ （2）单项式的系数和次数分别指什么？ 学生回顾后归纳： 单项式是数或字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式的系数：单项式中的数字因数。 单项式的次数：单项式里所有字母指数的和。 【情境引入】 教师出示上一章学过的代数式：，，， 提问：这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 学生观察发现：这些式子都可以看作几个单项式的和。 例如： 可以看作单项式 ， 与 的和； 可以看作单项式 与 的和； 可以看作单项式 与 的和； 可以看作单项式 与 的和。 像这样，几个单项式的和组成的代数式，就是今天要学习的多项式。 通过复习单项式的概念、系数、次数，激活学生已有认知；再借助具体代数式观察比较，引导学生从“几个单项式的和”的角度抽象出多项式概念，激发学习兴趣，明确学习方向。 探究点1：多项式的概念与项 【问题引入】 教师板书定义： 几个单项式的和叫作多项式。其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。 【师生活动】 教师示范： 可写成 ，所以它的项是 和 ，其中 是常数项。 学生活动：仿照例子，将 写成省略加号的和的形式，并找出它的项和常数项。 多项式 的项是 ， 与 ，其中 是常数项。 【概念归纳】 确定多项式的项的方法总结： 多项式的每一项都是单项式，不是单项式的式子不能作为多项式的项； 多项式的每一项都包括它前面的符号。例如 的第二项是 ，不是 ； 的第二项是 ，正号可以省略； 确定多项式的项时，要把多项式还原成省略加号的和的形式，再逐项确定。 【例题巩固】 指出下列多项式的项和常数项。 （1）；（2）；（3）。 【分析】依据多项式项与常数项定义，拆分多项式，每一项连同前面符号一起取出，不含字母的项即为常数项。 解：（1）项是 ，，没有常数项； （2）项是 ，，没有常数项； （3）项是 ，，，常数项是 。 通过“把减法还原成加上负数”的方式，突破“多项式的项必须带符号”这一易错点；结合例题判断，帮助学生准确识别多项式的项和常数项，培养分类与辨析能力。 探究点2：多项式的次数与几次几项式 【问题引入】 教师给出概念： 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 几次几项式：一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式。 例如， 是一次二项式， 是二次三项式。 注意：“几次几项式”中的“几”要用汉字数字，不能用阿拉伯数字。 例如要说“三次四项式”，不能说“3次4项式”。 【师生活动】 教师提问：怎样确定一个多项式的次数？ 学生讨论后明确：先分别求出多项式中每一项的次数，再找出次数最高的项，这个项的次数就是多项式的次数。 教师强调：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是“次数最高的项的次数”。 【详细过程】 以多项式 为例： 的次数是 ； 的次数是 ； 的次数是 ； 是常数项，次数为 。 所以最高次项是 ，多项式的次数是 。 【例题巩固】 多项式 中： （1）次数最高的项是什么？ （2）一次项系数是什么？ （3）常数项是什么？ （4）它是几次几项式？ 解：（1）次数最高的项是 ； （2）一次项是 ，系数是 ； （3）常数项是 ； （4）它是六次四项式。 通过逐项分析次数，引导学生掌握“次数最高的项的次数”这一关键点，并借助选择题强化对单项式系数、次数和多项式常数项的辨析，突破本节难点。 探究点3：整式的概念与分类 【问题引入】 教师给出整式的定义：单项式与多项式统称整式。 前面学习的单项式：，，， 等； 前面学习的多项式：，，， 等。 它们都是整式。 三者关系：整式包含单项式和多项式，多项式由几个单项式相加组成。 【师生活动】 教师引导学生用集合图理解： 整式包括单项式和多项式；多项式由几个单项式相加组成。 学生指出下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式。是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数。 ，，，，，，。 【详细过程】 解：（1）a−3 是多项式，项为 a , −3，次数是 1，是整式； （2） b 是单项式，系数是 ，次数是 1，是整式； （3）8− 分母含有字母，不是单项式也不是多项式，不是整式； （4） ，是多项式，项为，次数是，是整式； （5）是多项式，项为，次数是，是整式； （6）分母含有字母，不是整式； （7） 是单项式（是常数），系数是，次数是，是整式。 【归纳】 单项式与多项式的区别： 运算符号：单项式不含加减运算符号，多项式必含加减运算符号； 次数：单项式的次数是所有字母的指数和，多项式的次数是次数最高的项的次数。 判断时先看分母中是否含有字母：分母含有字母的式子不是整式；再根据是否含有加减运算区分单项式和多项式。 通过分类活动，让学生体会“分母含字母”的式子不是整式，深化对单项式、多项式、整式三者关系的理解，提升分类与归纳能力。 课堂小结 板书设计 4.1整式（第2课时） 一、多项式 1.概念：几个单项式的和 2.项：每个单项式（含符号）；常数项：不含字母的项 例： 的项是 、，常数项 二、多项式的次数与几次几项式 1.次数：次数最高的项的次数 2.几次几项式：用汉字数字表述，如“三次四项式” 例： 是六次四项式 三、整式 1.定义：单项式与多项式统称整式 2.分类： 注意：分母含字母的式子不是整式； 是常数，不是字母 随堂练习 【巩固训练1 多项式的判断】 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是 C. 是多项式 D. 的常数项是 【分析】根据单项式的系数、次数，多项式的定义与常数项的概念逐一判断选项即可。 解：A. ，单项式的数字因数即系数为 ，A错误； B. 中所有字母的指数和为 ，单项式的次数为 ，B错误； C. ，是两个单项式的和，符合多项式的定义，C正确； D. 多项式 中不含字母的项为 ，即常数项是 ，D错误。 【变式1-1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有______．（填序号） 解：①，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 故属于多项式的有①③。 【巩固训练2 多项式的项、项数或次数】 下列说法错误的是（ B ） A．是三次三项式 B．的次数是5 C．的系数是，次数是4 D．不是多项式 解：因为多项式中，是常数项，次数为0，最高次项是，次数为2，所以该多项式的次数是2，不是5，故B错误； A．有三项，最高次项次数为3，正确； C．是单项式，系数为，次数为4，正确； D．是单项式，不是多项式，正确。 【变式2-1】对于多项式，下列结论中正确的是（ C ） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 解：对于多项式，它共有3项，分别为，，。 计算各项次数：的次数为2，的次数为。 因此该多项式是四次三项式，故A选项错误。 B选项“三次三项式”错误；最高次项为，系数是1。 该多项式的常数项是，不是3。 【变式2-2】把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨。 单项式：________________； 多项式：________________； 二次三项式：________________； 整式：________________； 答案：单项式：①②⑦⑨； 多项式：③④⑤⑧； 二次三项式：⑧； 整式：①②③④⑤⑦⑧⑨。 【巩固训练3 多项式系数、指数中字母求值】 已知是关于的二次多项式，则的值是（ ） A． B． C． D． 解：因为多项式是关于的二次多项式， 所以且。 由，得，即或。 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件。 所以。 【变式3-1】若多项式是关于的三次三项式，则________。 解：多项式是关于的三次三项式， 因此，且。 整理得，即或。 又因为，所以，故。 【变式3-2】已知多项式是关于的四次三项式。 （1）求的值； （2）若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值。 解：（1）因为多项式是关于的四次三项式，所以，解得。 （2）因为多项式与单项式的次数相同， 所以， 又因为，所以， 所以。 教学反思 本节课教学目标基本达成：学生能识别多项式，并正确指出项、常数项和次数，对“几次几项式”的表述也掌握较好。通过例题辨析，学生对“项要带符号”“分母含字母不是整式”等易错点有了更清晰的认识。但在判断多项式次数时，部分学生仍会误将单项式次数与多项式次数混淆，如把 的次数算成 而未取最高次项次数。今后应增加对比练习，强调“多项式的次数是次数最高的项的次数”。另外，课堂时间分配上，整式分类环节稍显仓促，可安排小组合作对多个代数式进行分类并说明理由，进一步深化概念理解。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $