精品解析：江苏省沛县树人学校2025-2026学年上学期九年级数学试题12月月考试卷

沛县树人学校2025-2026学年九年级数学试题 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 在中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角的各个三角函数值（ ） A. 都缩小 B. 都不变 C. 都扩大倍 D. 无法确定 2. 一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是( ) A. 200：1 B. 2000：1 C. 1：2000 D. 1：200 3. 下列说法中正确的有（ ） ①位似图形都相似；②所有的菱形都相似；③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；④边数相同的正多边形一定相似；⑤矩形都相似；⑥所有的圆都相似． A. 3个 B. 4个 C. 1个 D. 2个 4. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 5. 如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且，图中相似三角形共有（ ） A. 3对 B. 1对 C. 2对 D. 4对 6. 点B把线段AC分成两部分，如果＝k，那么k的值为（ ） A. B. C. ＋1 D. －1 7. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 8. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若，则______． 10. 在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为10m，则旗杆的高度为______m． 11. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若，，则线段______． 12. 在△ABC中，AB＝10， AC＝5，点M在边AB上，且AM＝2，点N在AC边上．当AN＝____时，△AMN与原三角形相似． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是_____． 14. 已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为______． 15. 如图，四边形四边形．则（即）的长为________． 16. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝2，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为__． 三、解答题 17. （1）计算 （2）解方程：． 18. 如图，正方形网格中，的顶点都在格点上． （1）请用无刻度直尺，在图1线段上找一点P，使； （2）在图2中，以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． 19. 已知：如图，是的高，，，．求． 20. 如图，四边形ABCD中，，，，延长两腰交于点O，，交于E，，求的长． 21. 李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，若同一时刻李明同学测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为．请帮助李明求出旗杆的高度． 22. 如图，是的内接三角形，D是的中点，交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点P是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点Q，连接，设点Q的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）在点P运动过程中，连接，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沛县树人学校2025-2026学年九年级数学试题 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 在中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角的各个三角函数值（ ） A. 都缩小 B. 都不变 C. 都扩大倍 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，根据勾股定理可知，另一条直角边也缩小至原来的，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知这两个直角三角形相似，由相似三角形的对应角相等，可知锐角A的大小不变，所以锐角A的各个三角函数值也都不变． 【详解】解：在Rt△ABC中，设∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则b=． 如果在△A′B′C′中，B′C′=a，A′B′=c，即一条直角边a和斜边c的长度都缩小至原来的． 那么由勾股定理，可知A′C′==b． ∵a：a=b：b=c：c，∴△A′B′C′∽△ABC，∴∠A′=∠A，∴锐角A的各个三角函数值都不变． 故选B． 【点睛】根据已知条件得出∠A的大小不变，是解题的关键． 2. 一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是( ) A. 200：1 B. 2000：1 C. 1：2000 D. 1：200 【答案】A 【解析】 【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺”即可求得这幅设计图的比例尺． 【详解】因为2毫米=0.2厘米，则40厘米：0.2厘米=200：1； 所以这幅设计图的比例尺为200：1． 故选A． 【点睛】本题考查了比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算． 3. 下列说法中正确的有（ ） ①位似图形都相似；②所有的菱形都相似；③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；④边数相同的正多边形一定相似；⑤矩形都相似；⑥所有的圆都相似． A. 3个 B. 4个 C. 1个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的定义，相似多边形的性质与判定，对应边成比例，对应角相等的两个图形相似，位似图形一定是相似图形，据此对各小题分析判断后即可得出答案． 【详解】解：①位似图形都相似，原说法正确，符合题意； ②所有的菱形不一定相似，例如正方形是菱形，但是跟其他内角不是90度的菱形不相似，原说法错误，不符合题意； ③两个相似多边形的面积比为，则两个相似多边形的相似比为，则周长的比为，原说法错误，不符合题意； ④边数相同的正多边形一定相似，原说法正确，符合题意； ⑤所有的矩形不一定相似，例如正方形是矩形，但是跟其他邻边不相等的矩形不相似，原说法错误，不符合题意； ⑥所有的圆都相似，原说法正确，符合题意； ∴正确的有3个， 故选A． 4. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 5. 如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且，图中相似三角形共有（ ） A. 3对 B. 1对 C. 2对 D. 4对 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．解题的关键是证明，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，，． 故选A． 6. 点B把线段AC分成两部分，如果＝k，那么k的值为（ ） A. B. C. ＋1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】设AC=1，由题意得AB=k，BC=，由AC=AB+ BC=1得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设AC=1， ∵=k，且， ∴AB=k，BC=， ∵AC=AB+ BC=1， ∴，即， ∵，，， ， ∴(负值舍去)， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键． 7. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE ∴△DEF∽△BAF ∴ ∵， ∴DE：AB=2：5 ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 8. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键． 先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解． 【详解】解：设 （）， 则 ，，， ． 故答案为 ． 10. 在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为10m，则旗杆的高度为______m． 【答案】8 【解析】 【分析】根据在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可求解． 【详解】解：设旗杆的高度为xm． 根据在同一时刻物高与影长成比例可得： ， 解得：x＝8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．根据同一时刻物高与影长成比例得出比例式是解决问题的关键． 11. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若，，则线段______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查线段的比例中项定义，根据比例中项的定义，列出方程，代值计算即可． 【详解】解；∵c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：6． 12. 在△ABC中，AB＝10， AC＝5，点M在边AB上，且AM＝2，点N在AC边上．当AN＝____时，△AMN与原三角形相似． 【答案】1或4 【解析】 【分析】分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】由题意可知，AB＝10，AC＝5，AM＝2， ①若△AMN∽△ABC， 则，即， 解得：AN＝1； ②若△AMN∽△ACB， 则，即， 解得：AN＝4； 故AN＝1或4． 故答案为：1或4． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A=．故答案为． 考点：解直角三角形． 14. 已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法．根据圆柱侧面积公式底面周长高计算即可． 【详解】解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形， 它的长是底面圆的周长，即，宽为母线长为， 它的面积为． 故答案为：． 15. 如图，四边形四边形．则（即）的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题的关键．根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，即， 解得， 故答案为：． 16. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝2，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为__． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】由题意根据正方形的性质得到AD＝CD＝BC＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°，求得CE＝DF，根据全等三角形的性质得到∠DAF＝∠CDE，推出∠APD＝90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，进而根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵CE+CF＝2，CF+DF＝2， ∴CE＝DF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠DAP+∠ADP＝90°， ∴∠APD＝90°， ∴点P在以AD为直径的圆上， 设AD的中点为G， 由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示： ∵CD＝2，DG＝1， ∴CG＝＝， ∴CP＝CG﹣PG＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系和全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，圆周角定理，确定出CG最小时点G的位置是解题的关键． 三、解答题 17. （1）计算 （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值和解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值计算即可求解； （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解： 或， ，． 18. 如图，正方形网格中，的顶点都在格点上． （1）请用无刻度直尺，在图1线段上找一点P，使； （2）在图2中，以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． 【答案】（1）如图所示，点P即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点D、E，连接交于P，点P即为所求； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解；取格点D、E，连接交于P，点P即为所求； 易证，则． 【小问2详解】 略 19. 已知：如图，是的高，，，．求． 【答案】 【解析】 【分析】解：本题考查解直角三角形，先在中，利用求出的长，然后再中，运用计算是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． 20. 如图，四边形ABCD中，，，，延长两腰交于点O，，交于E，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定和性质，关键是根据相似三角形对应高的比等于相似比，可列比例式，，求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 21. 李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，若同一时刻李明同学测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为．请帮助李明求出旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握利用了同时同地物高与影长成正比是解题的关键．过点G作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点G作交于H， 则四边形是矩形， ∴，， 由题意得，即， 解得， ∴． 答：旗杆的高是． 22. 如图，是的内接三角形，D是的中点，交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵D是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，根据圆周角定理得到角相等，进而证明三角形相似是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得，进而证明三角形相似； （2）根据相似三角形的性质可得，进而求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点P是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点Q，连接，设点Q的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）在点P运动过程中，连接，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点和点的坐标代入抛物线表达式，求解即可； （2）连接, 得到点的坐标, 利用得出的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得根据三角形的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 解：∵抛物线，可得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 令，则 ， ∴点的坐标为； 连接, ∵点的横坐标为， ， ， 如图, 过点作于， ，， 满足， ， 又， ， ， ， ， ， ∴当 时, 存在最大值 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $