广东深圳市南山外国语学校（集团）大冲学校2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测

2026一2027学年度第一学期九年级10月份学情调查 数学学科 一.选择题（共8小题，共24分） 1.如图所示几何体的左视图为() B. C D 2.下列方程是关于x的一元二次方程的是() A.2+x=1 B.ax2+bx+c=0 C.(x+1)2=2x2 D.x3+3x2=2 3.生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割，在大自然中呈现出优美的样子.如图，P是 AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB长为8C,那么AP的长约为() 4. 5-1 B.(12-4v5)cm C.(4W5-4)cmD.(8V5-8)cm 眦 6 B E\/B C F 4.如图，已知a∥b∥c,AB:BC=2:3,若EF=15,则DE的长为（ A.5 B.10 C.15 D.20 5.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时， 圆形阴影的大小的变化情况是() A.越来越小 B.越来越大 C.大小不变 D.不能确定 6.《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个 小孔成像的实验.如图所示的实验中，若物距为l0c,像距为18c,蜡烛火焰倒立的像的高度是6c,则蜡烛 火焰的高度是（)c. 10cm 18cm 号 B.4 c号 D.5 7.下列说法正确的是() A.己知线段AB=2,点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC=V5-1 B.已知a=1c,b=2c,c=3c,d=4cm,则a,b,c,d是成比例线段 C.方程x2+2x+3=0有两个实数解 D,对角线相等且垂直的四边形是正方形 第1页（共21页) 8.如图，四边形4BCD为正方形，延长CB至点B,使得BE-BC,连接4，过点C作CHLAE于点H,则 的值 CH 为( D A. B. V5 3 C. 4 D. 5 H 二.填空题（共5小题，共15分） B a 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若AC=4CL,BD=6Cm,则菱形ABCD的面积为 cn. D A B 第10题 第12题 第13题 11.若关于x的方程x2+3x-1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 I2.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AD=DE,BF=2V5,AB=8,则EC的长为 13.如图，点O在△ABC内，∠BOA=90°，∠ABO=∠OCB=30°，CO=3,CB=5v3,则AC= 三.解答题（共7小题，共61分） 14.解方程： (1)(x+2)2-144=0: (2)2x2-7x+3=0. 15.已知：在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)（正方形网格中 每个小正方形的边长均是1个单位长度). B (1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是： (2)以点B为位似中心，在指定网格的范围中画出△ABC2,使△ABC2与 C △ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 0 x (3)根据图形，△AB1C1与△ABC是关于某一点Q为位似中心的位似图形， 点Q的坐标为 ,位似比的值为 第2页（共21页) 16.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. (1)尺规作图：过点D作DB∥AC,且DE=AC,并使得点E在点D的左侧，连接AB,CB,(不用说明作图 过程，保留作图痕迹) (2)在(1)的作图要求下，完成以下问题： 0 ①求证：四边形OCED为矩形： ②若菱形ABCD的边长为4，∠BCD=60°，求AE的长. B 17.如图，ABICD,AC与BD交于点E,且AB=6,AE=3,CD=18. B (1)求AC的长. (2)求证：△ABE△ACB. E D 18.为了更好推广东本地美食一一绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：绿豆饼销售方案制定问题 广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴 莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品。 素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元 素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份 销售量为720份：而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份. 素材3 为尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销， 已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元.经试验，发现该款 抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份. 问题解决 任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增 长率是多少？ 任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求 该抹茶绿豆饼应该降价多少元？ 第3页（共21页) 19.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)， 则称这样的方程为“n倍根方程”.例如：方程x2-6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方 程”；方程x2-4x+3=0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”. (1)根据上述定义，2x2-5x+2=0是“倍根方程”： （2)若关于x的方程x+6x+m=0是“三倍根方程”，求m的值： (3)直线11：y=-x+5与x轴交于点A,直线1过点B（-1,0),且与11相交于点C(1,4).若一个五倍根 方程的两个根为x1和x2(0<x1<x2),且点P(x1,x2)在△ABC的内部（不包含边界），求x1的取值范围. 20.我们规定：有一组邻边相等的四边形，称为“等邻边四边形”.据此，请解决以下问题： (1)下列一定是等邻边四边形的是 ①平行四边形：②菱形；③矩形；④正方形 (2)如图I,点E是菱形ABCD对角线BD上一动点，将△AED沿AE翻折至△AEF,点F是点D的对应点， AF与BE交于点O,连接BF.求证：△AOE∽△BOF. (3)如图2，在(2)的条件下，点E运动过程中，若线段EF恰好经过点C,求证：四边形ABFE是等邻边四 边形 (4)如图3，点E是正方形ABCD对角线BD上一动点(DE<BE),将△AED沿AE翻折至△AEF,点F是点 D的对应点，AB=4,AF与BE交于点O,连接BF.若四边形ABFE是等邻边四边形，请直接写出DE的值. A D A D 0 E E B C 图1 图2 A D E C 图3 备用图 第4页（共21页) 2026一2027学年度第一学期九年级10月份学情调查 数学学科 参考答案与试题解析 一.选择题（共8小题） 1.如图所示几何体的左视图为（) B C D 【分析】从左边看得到的图形是左视图.根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：几何体的左视图为： 故选：C 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的三视图的空间结构特点是关键. 2.下列方程是关于x的一元二次方程的是() 1 A.2+x=1 B.ax2+bx+c=0 C.(x+1)2=2x2 D.x3+3x2=2 【分析】根据一元二次方程的概念，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，由此概念判断选 项即可 【解答】解：之+x=1不是整式方程，故A不是一元二次方程，不符合题意： ax+bx+c=0中，若a=0,方程就不是一元二次方程了，故B选项不符合题意； (x+1)2=2x2可变形为x2-2x-1=0,满足一元二次方程的概念，故C选项符合题意： x3+3x=2中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故D选项不符合题意. 故选：C. 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解决本题的关键 3.生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割，在大自然中呈现出优美的样子，如图，P是 AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB长为&cL,那么AP的长约为() 第5页（共21页) 5-1 A. 2 -cm B.(12-4v5cm C.(4V5-4)cm D.(8V5-8)cm 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可 【解答】解：点P是AB的黄金分割点(AP>PB), AP 5-1 AB 2 4P=5-14B=51x8=(4W5-4)(cm), 2 2 故选：C 【点评】本题考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键。 4.如图，已知a∥b∥c,AB:BC=2:3,若EF=15,则DE的长为() D a h E\/B C F A.5 B.10 C.15 D.20 【分析】根据平行线分线段成比例得D5-4 ,由此即可求解 EF BC 【解答】解：，1h∥2∥13，AB:BC=2:3,EF=15, .DE AB DE 2 EF BC 即 15=3 .DE=10 故选：B. 【点评】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线分线段成比例是解题的关键 5.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时， 圆形阴影的大小的变化情况是() 2 第6页（共21页） A.越来越小 B.越来越大 C.大小不变 D.不能确定 【分析】解答本题关键是要区分开平行投影和中心投影.根据题意，灯光下影子越长的物体就越高，可联系到中 心投影的特点，从而得出答案。 【解答】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，此距离越大，影 子才越小. 故选：A. 【点评】此题主要考查了中心投影的特点和规律.中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下， 离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长： ②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物 体本身的长度还短 6.《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个 小孔成像的实验.如图所示的实验中，若物距为10c,像距为18c,蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm,则蜡烛 火焰的高度是( 10cm1 18cm 10 A. B.4 3 D.5 【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解， 【解答】解：已知物距为l0cm,像距为18cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6c,设蜡烛火焰的高度是xc, 0x 由相似三角形的性质得 8=6 解得x=” 即蜡烛火焰的高度是cm, 故选：A. 【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，解答本题的关键要明确：相似三角形对应高线的比等于相似比. 7.下列说法正确的是() A.己知线段AB=2,点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC=V5-1 B.己知a=1c,b=2cm,c=3cm,d=4c,则a,b,c,d是成比例线段 C.方程x2+2x+3=0有两个实数解 D.对角线相等且垂直的四边形是正方形 第7页（共21页） 【分析】根据黄金分割的含义，成比例线段，一元二次方程根的判别式的应用，正方形的判定，再逐一分析判断 即可 【解答】解：由题意可得： AC_5-1 AB 2 ∴.AC=V5-1,故A符合题意； a=1cm,b=2cm,c=3cm,d=4cm, ∴.ad≠bc, ∴a,b,c,d不是成比例线段，故B不符合题意： x2+2x+3=0, .△=b2-4ac=22-4×1×3=4-12=-8<0, ∴.方程没有实数根；故C不符合题意 ,对角线相等且垂直的平行四边形是正方形， D不符合题意： 故选：A. 【点评】本题考查的是黄金分割的含义，成比例线段，一元二次方程根的判别式的应用，正方形的判定，掌握以 上基础知识是解本题的关键. AB 8.如图，四边形ABCD为正方形，延长CB至点E,使得BE=BC,连接AE,过点C作CHLAE于点H,则二的值 CH 为( ) A D H及 B C V6 A. 4 B.6 3 e骨 D.vs 3 【分析】设BE=a,则BC=2a,利用勾股定理求得AE=√5a,再证明△ABE∽△CHE,据此求解即可. 【解答】解：如图，BE=CB,记CH与AB交于点F, 1 A D H ∴.设BE=a,则BC=2a, 第8页（共21页） ,四边形ABCD为正方形， .∴.AB=BC=2a,∠ABC=∠ABE=90°， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：AE=VBE2+ABz=,√Q2+(2a)2=√5a, .CH LAF, ∴.∠BAE=90°-∠AFH=90°-∠BFC=∠HCE, ,∠ABE=∠CHE=90°， .∴.△ABE∽△CHE, CH CE CH AE' 即 _a+2a AB 2a V5a CH=6 5a, :4-2a5 CH 65 3 5 故选：D, 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角 形的性质 二.填空题（共5小题） 9春3 a21 则- 1 a 2· 【分析】根据后-可设a=2k,b=3弧，再将a,b代入b_0计算可求解. b3 【解答】解：设a=2k,b=3k, b-a 3k-2k k 1 a 2k =2k=2 故答案为 1 【点评】本题主要考查比例的性质，灵活运用比例的性质计算是解题的关键。 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若AC=4C,BD=6Cm,则菱形ABCD的面积为12 cn-. ◇ 【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半解答即可. 【解答】解：，菱形ABCD中，AC=4Cm,BD=6c, “菱形ABCD的面积=2×4×6=12(cm), 故答案为：12 第9页（共21页) 【点评】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键. 1.若关于x的方程mx+3x-1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范国是m>-m≠0， 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到△>0且≠0，代入计算解答即可. 【解答】解：，'关于x的方程x+3x-1=0有两个不相等的实数根， 4=32-4m×(-1)>0 (m≠0 解得m>- 粗m≠0， 故答案为：m>-且m≠0， 【点评】本题考查了一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0，方程有两个不相 等的实数根；当△<0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义. 12.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AD=DE,BF=2√5，AB=8,则EC的长为6· C 【分析】由矩形性质得CD=AB=8,AD=BC,∠ABF=∠C=90°，由△ABE是直角三角形，点F是AE中点 得AE=2BF=4W5,进而由勾股定理得BE=4,设EC=a,则BC=AD=DE=4+a,然后在Rt△ECD中，由勾 股定理求出a=6即可得出答案. 【解答】解：，四边形ABCD是矩形，AB=8, ∴.CD=AB=8,AD=BC,∠ABF=∠C=90°， ∴.△ABE是直角三角形， 点F是AE的中点， ..BF是Rt△ABE的斜边AE上的中线， ∴BF=3AE, .BF=25, ..AE=2BF=4V5, 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=VAE2-ABz=J(4V5)2-82=4, 设EC=a, .BC=BE+EC=4+a, ∴.AD=BC=4+a, 第10页（共21页) 又，AD=DE, .∴.DE=4+a, 在Rt△ECD中，由勾股定理得：DE2=CE2+CD, .(4+a)2=a2+8, 解得：a=6, ∴.EC=a=6, 即C的长为6. 故答案为：6. 【点评】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，理解矩形的性质，直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键. 13.如图，点O在△ABC内，∠BOA=90°，∠AB0=∠OCB=30°，CO=3,CB=5V3,则AC=_V37· C B 【分析】作BD⊥CO交CO的延长线于D,作AE⊥CO交CO的延长线于E,则∠CDB=∠AEC=90°，根据含 30角的直角三角形的性质和勾服定理可得5D-专BC-5,cD-BC5D-艺从而得到0D=CD- 0c= ,0B=VOD2+BD2=V39,再由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得0A=√13，证明△AOE OA OE AE ∽△OBD,可得 OB BD OD 从而得到0E=多，A6-3, 2 计算出CB=0c+0B=号， 最后再由勾股定 理进行计算即可. 【解答】解：如图，作BD⊥CO交CO的延长线于D,作AE⊥CO交CO的延长线于E, B D 则∠CDB=∠AEC=90°， ∠OCB=30°，CB=5V3, 第11页（共21页) ∴0-8c-55cD=vBc-D-62-码：-号 ∴0D=cD-0c-艺-3-2 08=0D+6D-=侵2+=丽， .∠BOA=90°，∠ABO=30°， ..AB=20A, .OA2+OB2=AB2, .0A2+(39)2=(20A)2, ∴.0A=V13, ,∠AOE+∠DOB=∠AOB=90°，∠AOE+∠OAE=90°， ∴.∠OAE=∠BOD, ,∠CDB=∠AEC=90°， .∴.△AOE∽△OBD, AE OB BD =0D : OE AE V39=5 9 2 :0服- AE=33 2 .CB=0C+0E=3+2= 511 2 ∴，AC=VAE2+CE2= 故答案为：V37 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点， 添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键. 三.解答题（共8小题） 14.解方程： (1)(x+2)2-144=0: （2)2x2-7x+3=0. 【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可： (2)利用因式分解法解方程即可. 【解答】解：(1)(x+2)2-144=0, 整理得：(x+2)2=144, 第12页（共21页） 直接开平方得：x+2=士12， 解得：x1=10,x2=-14: （2)2x2-7x+3=0, 因式分解得：(x-3)（2x-1)=0, 解得：x1=3,x2=0.5, 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键。 15.已知：在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3)B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中 每个小正方形的边长均是1个单位长度). （1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是(2，-2)： （2)以点B为位似中心，在指定网格的范围中画出△ABC2,使△ABC与△ABC位似，且位似比为2：1，点 C2的坐标是(1,0)一； (3)根据图形，△A1B1C1与△ABC2是关于某一点Q为位似中心的位似图形，点Q的坐标为(3，-4)， 位似比的值为三 yA B 0 【分析】(1)根据平移的性质作图，即可得出答案. (2)根据位似的性质作图，即可得出答案. （3)连接AA1,C2C1交于Q,于是得到结论. 【解答】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. 点C1的坐标是(2，-2). 故答案为：（2，-2)： (2)如图，△ABC2即为所求， 点C的坐标是(1,0). 故答案为：(1,0)： (3)如图，点Q的坐标为(3，-4)，位似比的值为2 第13页（共21页） 故答案为：(3，-4)， 2 y个 B(B2) A C B 11 心 A Q 【点评】本题考查作图-平移变换、位似变换、解题的关键是掌握相关知识的灵活运用. 16.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. (1)尺规作图：过点D作DE∥AC,且DE=AC,并使得点E在点D的左侧，连接AB,CE;(不用说明作图 过程，保留作图痕迹) (2)在(1)的作图要求下，完成下边两问 ①求证：四边形OCED为矩形； ②若菱形ABCD的边长为4，∠BCD=60°，求AE的长. C 【分析】(1)根据要求作出图形即可； (2)①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可： ②求出CE,AC,利用勾股定理求解， 【解答】(1)解：图形如图所示： D O E B 第14页（共21页） (2)①证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.OA=OC,BD⊥AC, ∴.∠C0D=90°， DE-TAC, ∴.DE=OC, .DE∥OC, ∴.四边形OCED是平行四边形， ∠C0D=90°， ∴.四边形OCED是矩形； ②解：，四边形ABCD是菱形， .∠DCO=∠BCO=30°，AC⊥BD, ∴.0D=2CD=2,0C=V30D=23, ,四边形OCED是矩形， .∠EC0=90°，EC=OD=2, ,AC=20C=4v3, ∴AE=VEC2+AC2= 22+(4w3)2=213, 【点评】本题考查作图-复杂作图，菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含 30度角的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题， 17.如图，ABIICD,AC与BD交于点E,且AB=6,AE=3,CD=18 (1)求AC的长. (2)求证：△ABE∽△ACB, ⊙ E 【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可； (2)证出始= ,利用相似三角形的判定解答即可， 【解答】(1)解：ABICD, ∴△CDE∽△ABE: 品是 CB=CD-AE =18x3=9, AB 6 AC=AE+CE=12; 第15页（共21页) (2)证明：能-铝- 6 LA=∠A, ∴△ABE△ACB. 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB. 18.为了更好推广东本地美食一一绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：绿豆饼销售方案制定问题 广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴 莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品 素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元 素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9 月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为 660份. 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价 促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元.经试验， 发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110 份. 问题解决 任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平 均增长率是多少？ 任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元， 求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？ 【分析】（任务1）设该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是x,利用该甜品店“榴莲 绿豆饼”9月份的销售量=该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份的销售量×(1+该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9 月份销售量的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论： 第16页（共21页） (任务2)设该抹茶绿豆饼应该降价y元，则每份“抹茶绿豆饼”的销售利润为(19-y-10)元，月销售量为 （660+110y)份，利用总利润=每份“抹茶绿豆饼”的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解 之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论， 【解答】解：（任务1）设该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是x, 根据题意得：500(1+x)2=720, 解得：x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去). 答：该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是20%： (任务2)设该抹茶绿豆饼应该降价y元，则每份“抹茶绿豆饼”的销售利润为(19-y-10)元，月销售量为 (660+110v)份， 根据题意得：(19-y-10)(660+110y)=6160, 整理得：y2-3y+2=0, 解得：y1=2,y2=1, 又，要尽快减少库存， y=2. 答：该抹茶绿豆饼应该降价2元， 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 19.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)， 则称这样的方程为“n倍根方程”.例如：方程x2-6r+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方 程”；方程x2-4x+3=0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”. （1)根据上述定义，2x2-5x+2=0是“四倍根方程”： （2)若关于x的方程x+6x+m=0是“三倍根方程”，求m的值； (3)直线1：y=-x+5与x轴交于点A,直线1过点B（-1,0),且与11相交于点C(1,4).若一个五倍根 方程的两个根为x1和x2(0<x1<x2),且点P(x1,x2)在△ABC的内部（不包含边界)，求x1的取值范围. 【分析】(1)利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可： (2)由题意可设这个方程的两个根分别为n,31,则由根与系数的关系可得+3n=-6,n3n=,据此求解即 可； (3)利用待定系数法求出直线BC解析式为y=2x+2；再根据题意可得x2=5x1,则可得点P在直线y=5x上， 求出直线y=5x与直线y=2x+2的交点坐标，直线y=5x与直线y=-x+5的交点坐标，根据点P(x1,x2)在△ ABC的内部（不包含边界），结合函数图象即可得到答案. 【解答】解：(1)由条件可知(2x-1)(x-2)=0, .2x-1=0或x-2=0, 第17页（共21页) 解得x=名=2. x2=4x1, .2x2-5x+2=0是“四倍根方程”； (2)可设这个方程的两个根分别为n,3n, .∴.什3n=-6,n"3=l, n=-多 m=3r-: (3)设直线BC解析式为y=x+b, 把B(-0,C1.代入到)b中附年40 62 .直线BC解析式为y=2x+2: 一个五倍根方程的两个根为x1和x2(0<x1<x2), .x2=5x1, ∴.点P的坐标为(x1,5x1), ∴.点P在直线y=5x上， 联立P=5x 立U=2x+2解得，i0, y=3 联立y=5x X= y=-x+5'解得 6 2 (y= 6 2 由条件可知0<x1< y B 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“ 倍根方程”的定义是解题的关键， 第18页（共21页） 20.我们规定：有一组邻边相等的四边形，称为“等邻边四边形”.据此，请解决以下问题： (1)下列一定是等邻边四边形的是②④· ①平行四边形：②菱形：③矩形；④正方形. (2)如图1，点E是菱形ABCD对角线BD上一动点，将△AED沿AE翻折至△AEF,点F是点D的对应点， AF与BE交于点O,连接BF.求证：△AOE∽△BOF (3)如图2，在(2)的条件下，点E运动过程中，若线段EF恰好经过点C,求证：四边形ABFE是等邻边四 边形 (4)如图3，点E是正方形ABCD对角线BD上一动点(DE<BE),将△AED沿AE翻折至△AEF,点F是点 D的对应点，AB=4,AF与BE交于点O,连接BF.若四边形ABFE是等邻边四边形，请直接写出DE的值. y D 0 E B B 图1 图2 D D E E B C B C 图3 备用图 【分析】（1)根据定义，判断邻边是否相等即可， (2)根据菱形的性质得出AB=AD,即∠ABO=∠ADB,进而利用翻折的性质好相似三角形的判定与性质解答 即可： (3)根据菱形的性质得和对称得出∠AEB=∠BEC,进而利用翻折的性质和等邻边四边形的定义解答即可： (4)分当AB=BF时和当EF=BF时，两种情况利用勾股定理解答即可. 【解答】(1)解：①平行四边形的邻边不相等： ②菱形的邻边相等： ③矩形的邻边不相等： ④正方形的邻边相等， 故答案为：②④： (2)证明：，四边形ABCD是菱形， 第19页（共21页) .'.AB=AD,即∠ABO=∠ADB, 由翻折可得∠OFE=∠ADB, .∠EFO=∠ABO, 又，∠EOF=∠AOB, ∴.△EFO∽△ABO, 品器 即A0、E0 BO FO ∴.△AOE∽△BOF: （3)证明：，四边形ABCD是菱形， 点A、点C关于BD对称， ∴.∠AEB=∠BEC, 由翻折可得∠AED=∠AEF=2∠AEB, ∴.∠AEB=∠BEC=60°， 由(2)可知∠BAF=∠BEF=60°， .AB=AD=AF, .△ABF为等边三角形，AB=BF, 即四边形ABFE是等邻边四边形： (4解：22-2或26-22 解：①当AB=BF时，可知△ABF为等边三角形， 由翻折可得∠DAE=∠AE=15°， D F B Q 过A作AG⊥BD于G, .∠GAE=30°， AB=4, .AG=2V2, 46-5 第20页（共21页) 0E-22-25 ②当EF=BF时，可知∠EBF=∠BEF, 由（2)得∠EBF=∠EAF,∠BEF=∠BAF, H D E B C .∠BAF=∠EAF ∴.∠BAF=∠EAF=∠DAE=30°， 过E作EH⊥AD于H, 73+1-23-2, .HD=AD ∴.ED=V2HD=2V6-2V2, 综上所述，DE的值为2反-2或2V6-22 【点评】本题考查了新定义，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握 分类讨论思想的运用. 第21页（共21页)