精品解析：山东省青岛第五十八中学2026-2027学年高三上学期调研检测（三）数学试题

2024级高三调研检测（三）数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以的虚部为． 2. 若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 3. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得，故必要性成立； 由，得，得， 不一定成立，故充分性不成立. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 4. 已知命题：“，”，命题：“，”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以； 因为，，所以，得或， 若为真命题，为假命题，则，得； 所以实数的取值范围是 5. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正弦定理边角互化，通过两角和差、三角形内角和关系及二倍角公式化简求值 【详解】由正弦定理得，， 代入，得，即， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以，所以当，即时， 6. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用对称性可得定义域关于直线对称，再利用特殊值求出． 【详解】令， 由，得或. 故函数的定义域为. 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称， 所以. 所以. 令，得，即，解得. 当时，. 所以， . 所以关于直线对称，则，满足题意. 所以. 7. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 8. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，构造出新的数列．对数列、进行构造，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；依次构造，第次得到的数列的所有项的和记为，令，则（ ） A. 第四次得到的数列共项 B. C. 数列是等差数列 D. 对，以、、为边长不能构成一个三角形 【答案】D 【解析】 【分析】第次得到的数列的所有项的项数为，求出数列的递推公式，逐项计算可判断A选项；设第次得到的数列的所有项的项为、、、、，结合题意推导出数列的递推公式，可判断B选项；利用构造法求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，结合等差数列的定义可判断C选项；利用三角形三边关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，第次得到的数列的所有项的项数为，则， 设第次得到的数列的所有项的项为、、、、， 然后将相邻两项的和插入这两项所形成的空位中，共个空， 故，即， 因为，则，， ， 故第四次得到的数列共项，A错； 对于B选项，设第次得到的数列的所有项的项为、、、、， 则第次得到的数列的所有项的项为、、、、、、、，且，， 根据题意可得， ， 即，B错； 对于C选项，由题意可知， 由可得，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 因为，故不是常数， 故数列不是等差数列，C错； 对于D选项，由C选项可知，则数列为单调递增数列，且， 因为， 所以，故对，以、、为边长不能构成一个三角形，D对. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上有3条对称轴 D. 在区间上有3个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】先应用二倍角公式及辅助角公式化简判断A，再应用单调性判断B，最后应用对称性判断C，D. 【详解】函数， A，周期，A错误； B，时，在该区间单调递增，故单调递增，B正确； C，对称轴满足，即，在内的对称轴为，共2条，C错误； D，零点满足，即，在内的零点为，共3个，D正确， 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由奇函数性质得，化简后不等于选项值；B.分段求零点，正半轴一个，原点一个，负半轴对称一个，共三个；C.求导得正半轴一个极值点，由奇函数对称性得负半轴对应一个，共两个；D.结合图象，方程有三个根需的取值范围为，题给区间遗漏部分范围. 【详解】由题，为奇函数，且时. A选项：，故A错误； B选项：当，令得； 由奇函数的性质，时零点为，且，共3个零点，B正确； C选项：时，，在上，单调递减， 在上，单调递增，故为极小值点；由奇函数对称性，为极大值点， 且处导数不为，不是极值点，因此极值点共2个，C正确； D选项：在坐标平面内作出函数的图象，如图. 观察图象得当且仅当的取值范围为时，函数的图象与直线有3个交点，因此D错误. 11. 已知函数的定义域为，且满足：，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用赋值法，可求与数列的通项公式，可判断A的真假；结合裂项求和法可判断B的真假；利用根式的变形可判断C的真假；先证，再结合累加法可判断D的真假. 【详解】因为，， 令得：. 令，，则，两边取倒数得：， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. 所以. 对A：因为，所以，故A正确； 对B：因为， 所以，故B错误； 对C：因为，故C正确； 对D：设，，则在上恒成立， 所以在上单调递减. 又，所以当时，都有. 令，所以. 所以， 所以，故D正确. 三、填空题 12. 已知向量，且，则在上的投影向量是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积公式求出， 由利用向量垂直的坐标公式得到关于的方程，计算出值，利用在上的投影向量的公式求解. 【详解】由向量，可得，且， 因为，所以， 解得，所以，可得，且， 所以在上的投影向量为. 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当 时，关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当 时，，当且仅当 时等号成立； 若最小值为，可得， 即，解得： 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 设函数，令，则a，b，c的大小关系为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数并证明其为偶函数且在单调递增，再利用奇偶性统一自变量为正数，比较自变量大小，最后依据单调性得到的大小关系． 【详解】，因为的定义域为， 且，所以是偶函数， 令，因在上单调递增， 又，当时，，即在上单调递增， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， ， 因， 由， 可得，即， 故可得，即． 四、解答题 15. 已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中. （1）求证：数列是等比数列，并求； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前n项的和. 【答案】（1）因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得， 因此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，故. （2） 【解析】 【分析】（1）由点在直线上得到，由点在直线上得到，将代入结合，通过计算得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式得解； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为，由等差数列通项公式知，将代入解出，求出，利用错位相减法求出数列的前n项和 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在与之间插入n个数，使这个数组成等差数列， 则这个等差数列的公差为，由等差数列通项公式知， 将代入得， 解得，从而得到， 则数列的前n项和为：①， 将①两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得③， 将代入③得 ④， ④两边同乘2得， 故数列前n项的和. 16. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理进行求解； （2）由三角形的面积公式及余弦定理得，再由基本不等式求解． 【小问1详解】 因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 由余弦定理得，即， 设 ，则 ， 由基本不等式：，故， 解得，故， 又 ，所以， 因此. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 【答案】（1） （2） （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证． 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义直接求解即可； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可求解； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可求解． 【小问1详解】 若，则， ，， 又，故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； 【小问3详解】 略 18. 在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. （1）试用表示； （2）若，求的余弦值； （3）若H在BC上，且，设，若，求的范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案. （2）由（1）及已知条件，利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解. （3）设，结合及数量积的运算律得，再列出不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，则， 由共线，设， 由，得，而，， 则， 整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是. 19. 定义域为的可导函数在其图像上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，判断是否为“整数等差函数”，并说明理由； （2）当时，若为“整数等差函数”，求的最大值； （3）若对任意的，，当时，总有，则称为上的不减函数．若的导函数是上的不减函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立．证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）； （3）证明：对两边求导：. 因为不减，对任意有. 任取，则，故，即，也为不减函数. 充分性：设（常数），则. 任取满足，的三点横坐标： ，满足等差函数定义，充分性成立. 必要性：是等差函数，则存在，，使得①. 设，记，，则式 ①改写为：②， 变形：，移项拆分： ，即 ③. 构造函数，则 ③等价于. 求导：，因为不减： 时，，，，在单调不减； 时，，，，在单调不增. ，结合单调性可知：在两侧只能恒等于常数. 又，故对任意，，即， 上式对任意成立，说明为一次函数，设. 将代入条件： 左边，右边. 等式对全体成立，的系数必须相等：. 代入得，即，因此，为常函数，必要性成立. 综上，为等差函数的充要条件是为常函数. 【解析】 【分析】（1）二次函数差商天然等于中点导数值，只需找出一组整数等差横坐标即可判定； （2）利用等差换元，化简等式，解出关于整数，的表达式；要求分母为正，分母取最小正整数时最大； （3）由推出，均不减；等差函数条件结合导数单调性推出只能是一次函数，再代入周期导数条件证得一次项系数为 0，即为常函数；反向常函数显然满足定义. 【小问1详解】 已知，定义域为，求导：. 设三点横坐标，，满足，且为等差数列，则. . 切线斜率：，因为，所以，等式恒成立. 即对任意满足 的 ，直线 与 处切线一定平行. 取一组互不相等整数：，满足，， 三个横坐标均为整数，对应图像上三点 ，，互不相同，满足 “整数等差函数” 全部定义条件. 所以 是整数等差函数. 【小问2详解】 已知 ，为整数等差函数，对其求导. 由定义：，且， ，代入，左边化为； 右边切线斜率，由题 ，，两边约去，得：. 因 ，， 为整数且 ，设整数公差 ，令， 代入上式：，整理得：， ，，两边除以 ：. ，故分母；，，，. 要 最大，只需分母取最小正整数.取 ，则 ，满足 的整数仅 ，此时分母：， 对应 .若 ，，分母最小为 ，. 故的最大值为2. 【小问3详解】 略. 【点睛】（1）所有二次函数都是等差函数，易取整数三点，故本题函数符合定义； （2）对称换元是处理等差三点的常用手段，将函数条件转化为整数最值问题求解； （3）先由递推式推导出 ，，单调性，再用单调性约束函数形态，分充分、必要两端完成充要证明. 20. 求证：存在非零复数c与实数d，使得对于一切模长为1的复数均有 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】对于满足的复数z．设． 则不难计算得． 设， 则． 由，得，即 ① ①即在复平面中对应的点的轨迹方程． 可以看到，此轨迹是双曲线，其焦点为. 由双曲线的定义，知取满足题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高三调研检测（三）数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（ ） A. B. C. D. 3. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题：“，”，命题：“，”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，构造出新的数列．对数列、进行构造，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；依次构造，第次得到的数列的所有项的和记为，令，则（ ） A. 第四次得到的数列共项 B. C. 数列是等差数列 D. 对，以、、为边长不能构成一个三角形 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上有3条对称轴 D. 在区间上有3个零点 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 11. 已知函数的定义域为，且满足：，，记，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知向量，且，则在上的投影向量是_______. 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 14. 设函数，令，则a，b，c的大小关系为_______． 四、解答题 15. 已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中. （1）求证：数列是等比数列，并求； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前n项的和. 16. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 18. 在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. （1）试用表示； （2）若，求的余弦值； （3）若H在BC上，且，设，若，求的范围 19. 定义域为的可导函数在其图像上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，判断是否为“整数等差函数”，并说明理由； （2）当时，若为“整数等差函数”，求的最大值； （3）若对任意的，，当时，总有，则称为上的不减函数．若的导函数是上的不减函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立．证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 20. 求证：存在非零复数c与实数d，使得对于一切模长为1的复数均有 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $