29.2.1 垂直于弦的直径 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

29.2.1 垂直于弦的直径 素养目标 1.通过折叠、作图等方法,理解圆的轴对称性. 2.利用圆的轴对称性,探索垂径定理,理解垂径定理的内容. 3.通过观察、操作、推理,发展直观想象与逻辑推理素养,在解决问题的过程中培养数学运算能力和应用意识. 重点 垂径定理、推论及其简单应用. 【自主预习】 预学思考 知识点一 圆的轴对称性 阅读课本本课时开始至“圆是轴对称图形……”的内容,补全下列新知要点: 圆是 图形,对称轴是 ,有 条.  知识点二 垂径定理 阅读课本本课时“从上面的证明”至结束的内容,补全下列新知要点: 1. 于弦的直径 弦,并且 弦所对的两条弧.  2.几何语言表示:如图,∵CD为☉O的直径,CD⊥AB于点E,∴AE=BE,=,=. 自学检测 1.下列说法正确的是 ( ) A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B.平分弦的直径垂直于弦 C.垂直于直径的直线平分这条直径 D.弦的垂直平分线经过圆心 2.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为E,若AB=10,CD=8,则OE的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【合作探究】 题型精讲 题型1 垂径定理及其推论 例1　如图,在☉O中,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1 cm,EB=5 cm,且∠DEB =60°,求CD的长. 变式训练 1.如图,在☉O中,弦AB=8,OC与AB交于点D,=,若OD=3,则OC的长为 ( ) A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.1 2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AD,若OE=3,CD=8,则AD的长为 .  题型2 垂径定理的实际应用 例2　(社会情境·盾构隧道)如图,这是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以点O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离是6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(结果精确到0.1 m) 【方法归纳交流】 1.作辅助线的通法:遇到弦的问题时,优先过圆心作弦的垂线,或连接圆心与弦的端点,构造直角三角形,利用垂径定理(垂直于弦的直径平分弦)将弦长转化为半弦长,结合勾股定理求解半径、弦心距或线段长度. 2.核心解题模型:将问题转化为“半径r、半弦长a、弦心距d”构成的直角三角形,利用勾股定理r2=a2+d2建立方程,解决与弦长、半径、弦心距相关的计算问题,这是垂径定理应用的核心思路. 变式训练　 如图,这是平放在地上的油漆桶横截面,已知油漆桶的直径为26 cm,油漆面宽AB为24 cm,则现在油漆桶中油漆的最大深度为 ( ) A.6.5 cm　　　　B.8 cm C.10 cm　　　　D.10.5 cm 课堂检测 1.如图,☉P经过点O(0,0),交y轴于点B,若P(-5,-3),则点B的纵坐标是 ( ) A.-10 B.-8 C.-6 D.-4 2.如图,圆弧形桥拱的跨度AB为48 m,拱桥所在圆的半径为26 m,则拱高CD为 m.  参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 轴对称　直径所在的直线(或过圆心的直线)　无数 知识点二 1.垂直　平分　平分 自学检测 1.D　2.A 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:如图,过点O作OP⊥CD于点P,连接OD, ∴CP=PD. ∵AE=1,EB=5, ∴AB=6, ∴OE=2. 在Rt△OPE中,∠DEB=60°, ∴∠POE=30°, ∴PE=OE=×2=1, ∴OP===, ∴PD==, ∴CD=2PD=2 cm. 变式训练 1.A　2.4 题型2 例2 解:如图,连接OC,AB交CD于点E. 由题意知,AB=1.6+6.4+4=12, ∴OC=OB=6, OE=OB-BE=6-4=2, 由题意可知,AB⊥CD, ∵AB过点O, ∴CD=2CE, 在Rt△OCE中,由勾股定理得CE===4, ∴CD=2CE=8≈11.3, ∴路面CD的宽度为11.3 m. 变式训练 B 课堂检测 1.C　2.16 学科网（北京）股份有限公司 $