29.2.1 垂直于弦的直径（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案围绕“垂直于弦的直径”展开，核心知识点为垂径定理及其推论。课堂导入通过赵州桥实际问题创设情境，引导学生动手折叠圆形纸片探究圆的对称性，以“操作—观察—猜想—验证”为学习支架，连接圆的对称性与垂径定理的学习。 该导学案突出“知二推三”规律总结，通过合作探究深化定理理解，习题结合实际问题与中考真题，培养学生几何直观和逻辑推理能力，渗透转化与方程思想，助力学生构建圆与直角三角形的知识联系，提升应用意识。

29.2.1 垂直于弦的直径 （导学案） (1)理解圆的对称性：能通过折叠操作确认圆是轴对称图形，并能说出对称轴. (2)掌握垂径定理：能准确叙述垂径定理及其推论，会用符号语言进行表达. (3)灵活应用定理：能运用垂径定理及勾股定理解决与弦、半径、弦心距有关的计算和证明问题. (4)发展核心素养：经历“操作—观察—猜想—验证”的探究过程，体会转化思想（将圆的问题转化为直角三角形问题）和方程思想，增强几何直观和逻辑推理能力. 重点：垂径定理及其推论的理解与掌握. 难点：垂径定理的严密证明（需运用轴对称或全等三角形）.在具体问题中，如何构造辅助线（过圆心作弦的垂线或连接半径），将问题转化为直角三角形计算. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境创设：展示我国古代著名石拱桥——赵州桥的图片，简介其历史与建筑成就. 问题：赵州桥主桥拱是圆弧形，跨度（弦长）约37m，拱高（弧的中点到弦的距离）约7.23m。你能求出桥拱的半径吗？ 揭示课题：要解决这个问题，需要研究垂直于弦的直径所具有的性质. 动手操作：请学生取一张圆形纸片，沿任意一条直径对折，观察两部分是否完全重合. 追问1.圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？ 追问2. 在⊙O中，如果作一条弦CD，再作垂直于CD的直径AB，垂足为E。此时将圆沿AB折叠，点C与哪个点重合？你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ123－125 【学法指导】自研课本Ｐ123－125 （一）圆的轴对称性 探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么?重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性?能证明你的结论吗? 下面来证明这个结论. 这样，我们就证明了:圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. （二）垂径定理 观察思考：从上的对折和证明你发现了有哪些相等的弦和相等有弧？并说明理由. 学生归纳猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 证明上面的结论： 已知：在⊙O中，AB是直径，AB⊥弦MM’于N. 求证：MN=NM’，,. 学生自主写出证明，主要可能有以下方法： 归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何符号语言：∵ 在⊙O中，AB⊥弦MM’于N. ∴MN=NM’，,. （三）垂径定理的推论 问题：如果将垂径定理的条件和结论互换，即“平分弦的直径是否垂直于弦？”引导学生思考. 分类讨论： 如果被平分的弦是直径（即两条直径互相平分），它们不一定垂直. 如果被平分的弦不是直径（普通弦），则垂直. 得出推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 强调：定理和推论常合并使用，即可概括为“知二推三”：对于一条直线（或直径），若它具备以下五个条件中的任意两个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，则可推出其余三个.（但需注意平分弦时弦不为直径） 呼应解决课前提出的赵州桥问题： 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 【自研自探】自研课本Ｐ123－125 典型例题 例1.如图，两条弧和围成新月形． (1)请用无刻度直尺和圆规画出的圆心O和的圆心（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接，若，，，求弦的长， 第二环节 合作探究 1.讨论垂直于弦的直径的性质？ 2.讨论由“①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧”怎样得到“知二推三”. 1．①如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于点E．若，，求的度数为________．    ②如图，是的弦，C、D为直线上两点，，求证：．    课本练习Ｐ125（①②） 1.（2026南京期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米． (1)求主桥拱所在圆的半径； (2)若水面下降1米，求此时水面的宽度． 2．（2026·绍兴校联考期中）如图，在中，，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接． (1)求证：点B在上． (2)当点D移动到使时，求的值． (3)求证：． 知识技能：一个定理：垂直于弦的直径　　　　，且平分　　　　　.一个推论：　　　　　　　　的直径垂直于　，且平分弦所对的　　　　.一个模型：由半径、弦心距、半弦构成的　　　　　（核心计算工具）. 思想方法： 转化思想：将圆中的弦、弧问题转化为　　　　问题.方程思想：在直角三角形中利用　　　定理　　　求解.数形结合：结合图形理解定理的　　　　　. 易错提醒：弧的平分：垂径定理中“平分弦所对的　　　”，两条弧都平分，不要漏掉　　　　　.推论的条件：当说“平分弦的直径垂直于弦”时，一定要强调被平分的弦　　　　. 辅助线作法：遇到弦的问题，常过圆心作弦的垂线（　　　）或　　　　，这是构造　　　　　的关键. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.1 垂直于弦的直径 （导学案） (1)理解圆的对称性：能通过折叠操作确认圆是轴对称图形，并能说出对称轴. (2)掌握垂径定理：能准确叙述垂径定理及其推论，会用符号语言进行表达. (3)灵活应用定理：能运用垂径定理及勾股定理解决与弦、半径、弦心距有关的计算和证明问题. (4)发展核心素养：经历“操作—观察—猜想—验证”的探究过程，体会转化思想（将圆的问题转化为直角三角形问题）和方程思想，增强几何直观和逻辑推理能力. 重点：垂径定理及其推论的理解与掌握. 难点：垂径定理的严密证明（需运用轴对称或全等三角形）.在具体问题中，如何构造辅助线（过圆心作弦的垂线或连接半径），将问题转化为直角三角形计算. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境创设：展示我国古代著名石拱桥——赵州桥的图片，简介其历史与建筑成就. 问题：赵州桥主桥拱是圆弧形，跨度（弦长）约37m，拱高（弧的中点到弦的距离）约7.23m。你能求出桥拱的半径吗？ 揭示课题：要解决这个问题，需要研究垂直于弦的直径所具有的性质. 动手操作：请学生取一张圆形纸片，沿任意一条直径对折，观察两部分是否完全重合. 追问1.圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？ 追问2. 在⊙O中，如果作一条弦CD，再作垂直于CD的直径AB，垂足为E。此时将圆沿AB折叠，点C与哪个点重合？你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ123－125 【学法指导】自研课本Ｐ123－125 （一）圆的轴对称性 探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么?重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性?能证明你的结论吗? 通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.下面来证明这个结论. 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 如图，设AB是⊙O的任意一条直径，如果M为OO上点A，B以外的任意一点，M'是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM'的垂直平分线.因为圆心0在AB上，所以OM'=OM，因此点M’在⊙O上.如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. 这样，我们就证明了:圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. （二）垂径定理 观察思考：从上的对折和证明你发现了有哪些相等的弦和相等有弧？并说明理由. 从上面的证明可以知道，如果⊙O的直径AB垂直于弦MM'，垂足为N，那么M和M'是关于直径AB的对称点.把圆沿着直径AB对折时，点M与点M'重合，MN与M'N 重合，，分别与，重合. 因此，MN=M'N，,. 因此，直径AB平分弦MM’，并且平分 ,. 学生归纳猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 证明上面的结论： 已知：在⊙O中，AB是直径，AB⊥弦MM’于N. 求证：MN=NM’，,. 学生自主写出证明，主要可能有以下方法： 证法一（利用轴对称）：沿AB折叠，根据圆的对称性，点M与点M'重合，MN与M'N 重合，故MN=NM’，,. 证法二（全等三角形）：连接OM、OM'， ∵ OM=OM'（半径），OＮ⊥MM’， ∴ △OＭＮ≌△OM’Ｎ（HL）， ∴ MN=NM’，∠ＭＯＢ=∠Ｍ’ＯＢ. ∵ ∠ＡＯＭ=180°-∠ＭＯＢ，∠AOＭ’=180°-∠Ｍ’ＯＢ， ∴ ∠AOＭ=∠AOＭ’. ∴,. 归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何符号语言：∵ 在⊙O中，AB⊥弦MM’于N. ∴MN=NM’，,. （三）垂径定理的推论 问题：如果将垂径定理的条件和结论互换，即“平分弦的直径是否垂直于弦？”引导学生思考. 分类讨论： 如果被平分的弦是直径（即两条直径互相平分），它们不一定垂直. 如果被平分的弦不是直径（普通弦），则垂直. 得出推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 强调：定理和推论常合并使用，即可概括为“知二推三”：对于一条直线（或直径），若它具备以下五个条件中的任意两个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，则可推出其余三个.（但需注意平分弦时弦不为直径） 呼应解决课前提出的赵州桥问题： 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 分析：解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题. 解：如图，AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径长为R m. 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. 由题设可知 ＡB=37，CD=7.23， 所以AD=ＡB=×37=18. 5， 则OD=OC-CD=R-7.23. 在RtOAD中，由勾股定理，得OA²=AD²+OD²， 即R²=18.5²+(R-7.23)². 解得　R≈27.3. 因此，赵州桥主桥拱的半径长约为27.3m. 【自研自探】自研课本Ｐ123－125 典型例题 例1.如图，两条弧和围成新月形． (1)请用无刻度直尺和圆规画出的圆心O和的圆心（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接，若，，，求弦的长， 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，交于点C，连接，作线段的垂直平分线分别交直线于点O，，点O，即为所求； （2）设，利用勾股定理构建方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，点O，点即为所求； ； （2）∵于点E，经过圆心O， ∴， 设，则有， 解得（不符合题意的解已经舍去）， ∴． 第二环节 合作探究 1.讨论垂直于弦的直径的性质？ 2.讨论由“①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧”怎样得到“知二推三”. 1．①如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于点E．若，，求的度数为________．    ②如图，是的弦，C、D为直线上两点，，求证：．    【详解】①如图，连接，    ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； ②证明：作于H，如图，    则， ∵，， ∴， ∴， 即． 课本练习Ｐ125（①②） 1.（2026南京期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米． (1)求主桥拱所在圆的半径； (2)若水面下降1米，求此时水面的宽度． 【详解】（1）如图，以O为圆心，连接， 由题意可得，D为弧的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得：， ∴主桥拱所在圆的半径； （2）由题意得，水面下降为，连接， ∵水面下降1米， ∴， 则， ∴，即水面的宽度为． 2．（2026·绍兴校联考期中）如图，在中，，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接． (1)求证：点B在上． (2)当点D移动到使时，求的值． (3)求证：． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴点B在上． （2）连接，如图， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 在中，， ∵， ∴， （3）分别作，交于点，连结，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即． 知识技能：一个定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧.一个推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.一个模型：由半径、弦心距、半弦构成的直角三角形（核心计算工具）. 思想方法： 转化思想：将圆中的弦、弧问题转化为三角形问题.方程思想：在直角三角形中利用勾股定理列方程求解.数形结合：结合图形理解定理的条件与结论. 易错提醒：弧的平分：垂径定理中“平分弦所对的两条弧”，两条弧都平分，不要漏掉优弧或劣弧.推论的条件：当说“平分弦的直径垂直于弦”时，一定要强调被平分的弦不是直径. 辅助线作法：遇到弦的问题，常过圆心作弦的垂线（作弦心距）或连接半径，这是构造直角三角形的关键. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $