29.2.2圆心角（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案围绕“圆心角”展开，涵盖定义识别、定理及推论证明、弧弦圆心角关系应用。通过圆形时钟旋转情境导入，结合温故知新复习圆心角定义，以圆的旋转对称性为支架，引导学生经历操作感知到定理探究的学习过程。 突出“操作—猜想—验证—证明”探究路径，发展逻辑推理与几何直观能力，渗透旋转、转化思想。“知一推二”简记帮助理解三者关系，习题含典型例题、合作探究及中考真题，培养应用意识，助力学生用数学思维解决问题。

29.2.2　圆心角 （导学案） （1）理解圆心角的定义：能准确识别并指出图形中的圆心角，区分圆心角与圆周角（预留伏笔）. （2）掌握圆心角定理：能准确叙述并证明圆心角定理及其推论，理解“在同圆或等圆中”这一前提条件的必要性. （3）灵活运用“弧、弦、圆心角”关系：能运用三者之间的对应关系解决简单的证明和计算问题. （4）发展核心素养：经历“操作—猜想—验证—证明”的探究过程，体会旋转对称性、转化思想和从特殊到一般的数学思想，发展逻辑推理和几何直观能力. 重点：圆心角定理及其推论的理解与掌握，以及“弧、弦、圆心角”三者之间的对应关系. 难点：圆心角定理的严格证明（特别是“弧相等”的证明需要用到叠合法或旋转思想）.在复杂图形中，灵活选择“弧、弦、圆心角”三者中的一组作为桥梁进行等量代换. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境创设：多媒体展示一个圆形时钟的钟面。分针从“12”旋转到“3”，时针从“12”旋转到“3”. 问题1：分针和时针在旋转过程中，什么在发生变化？（旋转的角度） 问题2：如果圆是一个巨大的钟面，圆心角的大小与它对着的弧、弦之间是否存在某种对应关系？ 复习回顾：在⊙O中，连接半径OA、OB，形成∠AOB. 引导学生回顾：顶点在圆心的角叫做圆心角.∠AOB所对的弧是，，所对的弦是AB. 追问１：如果一个圆绕圆心O旋转任意角度，它是否与自身重合？（圆具有旋转对称性） 追问2：若将⊙O绕圆心旋转，使半径OA与OB重合（即∠AOB旋转到新的位置），那么点A运动到哪里？弧AB和对应的弦发生了什么变化？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ125－126内容 【学法指导】自研课本Ｐ125－126内容 （一）操作感知 探究：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形.利用这个性质，可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系. 由此你猜想：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦和弧有怎样的关系？ 学生猜想：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. （二） 探究圆心角定理 思考：如图.在⊙0中，当圆心角∠AOB=∠A'OB'时，它们所对的弧和有什么关系？弦AB和A'B'呢？为什么？ 这样，就得到下面的定理： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 定理的几何语言：在⊙O中，∠AOB = ∠A'ＯB'，则AB =A'B' ，=. 强调：证明“弧相等”时，“完全重合”是唯一标准，这与等弧的定义是一致的. （三）定理的推论 问题1（逆命题1） ：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？ 学生讨论得出结论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 问题2（逆命题2） ：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？ 学生讨论得出结论：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等（注意：弦所对的弧有优弧和劣弧之分，通常指劣弧）. 师生共同总结“弧、弦、圆心角”对应关系： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.简记为：“知一推二”. 应用：如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°.　　求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 【自研自探】 自研课本Ｐ125－126内容 典型例题 例1.如图，点在上，且，判断与的数量关系． 第二环节 合作探究 1.讨论圆心角与圆心角定理. 2.讨论同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系. 1．①如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于点E．若，，求的度数为________．    ②如图，是的弦，C、D为直线上两点，，求证：．    课本课堂练习P126（①②）. 1．（2026·潍坊统考期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（2026.舒城二中单元测试）已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上 求证：．    3．（2025·揭阳校考期中）已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 知识技能：一个定义：　　　　　　　角叫做圆心角.一个定理：在　　　　　中，相等的圆心角　　　相等，　　　　　相等.一个推论：在　　　　中，两条弧、两条　　、两个　　　中有　　　　　相等，其余　　　相等（“　　　”）. 思想方法：旋转思想：利用圆的　　　探究定理.转化思想：将圆中的　　、　问题转化为　　　　问题，将　　　问题转化为　　　问题.类比思想：类比　　　的学习路径（　　→　　　→　　　），形成研究圆的性质的一般思路. 易错提醒：“在　　　　中”不可少：离开这一前提，相等的　　　　　　不一定相等（举例：两个半径不同的圆中，　　　　　所对的弦长度不同）.弦对应的弧有两个：一条弦所对的弧有　　　　　两个，在说“　　　→　　　　”时，通常指它们　　　　相等（　　　相等）.“弧相等”与“弧的长度相等”的区别：弧相等是指能　　　　，包含　　　　相等且　　　两层含义. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.2　圆心角 （导学案） （1）理解圆心角的定义：能准确识别并指出图形中的圆心角，区分圆心角与圆周角（预留伏笔）. （2）掌握圆心角定理：能准确叙述并证明圆心角定理及其推论，理解“在同圆或等圆中”这一前提条件的必要性. （3）灵活运用“弧、弦、圆心角”关系：能运用三者之间的对应关系解决简单的证明和计算问题. （4）发展核心素养：经历“操作—猜想—验证—证明”的探究过程，体会旋转对称性、转化思想和从特殊到一般的数学思想，发展逻辑推理和几何直观能力. 重点：圆心角定理及其推论的理解与掌握，以及“弧、弦、圆心角”三者之间的对应关系. 难点：圆心角定理的严格证明（特别是“弧相等”的证明需要用到叠合法或旋转思想）.在复杂图形中，灵活选择“弧、弦、圆心角”三者中的一组作为桥梁进行等量代换. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境创设：多媒体展示一个圆形时钟的钟面。分针从“12”旋转到“3”，时针从“12”旋转到“3”. 问题1：分针和时针在旋转过程中，什么在发生变化？（旋转的角度） 问题2：如果圆是一个巨大的钟面，圆心角的大小与它对着的弧、弦之间是否存在某种对应关系？ 复习回顾：在⊙O中，连接半径OA、OB，形成∠AOB. 引导学生回顾：顶点在圆心的角叫做圆心角.∠AOB所对的弧是，，所对的弦是AB. 追问１：如果一个圆绕圆心O旋转任意角度，它是否与自身重合？（圆具有旋转对称性） 追问2：若将⊙O绕圆心旋转，使半径OA与OB重合（即∠AOB旋转到新的位置），那么点A运动到哪里？弧AB和对应的弦发生了什么变化？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ125－126内容 【学法指导】自研课本Ｐ125－126内容 （一）操作感知 探究：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形.利用这个性质，可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系. 由此你猜想：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦和弧有怎样的关系？ 学生猜想：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. （二） 探究圆心角定理 思考：如图.在⊙0中，当圆心角∠AOB=∠A'OB'时，它们所对的弧和有什么关系？弦AB和A'B'呢？为什么？ 我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合. ∵∠AOB=∠A'OB'， ∴射线OB与OB'重合. 又OA=OA'，OB=OB'， ∴点A与A'重合，点B与B'重合. 因此，AB与A'B’重合，与重合，即AB=A'B'，=. 这样，就得到下面的定理： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 定理的几何语言：在⊙O中，∠AOB = ∠A'ＯB'.则AB =A'B' ，=. 强调：证明“弧相等”时，“完全重合”是唯一标准，这与等弧的定义是一致的. （三）定理的推论 问题1（逆命题1） ：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？ 学生讨论得出结论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 问题2（逆命题2） ：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？ 学生讨论得出结论：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等（注意：弦所对的弧有优弧和劣弧之分，通常指劣弧）. 师生共同总结“弧、弦、圆心角”对应关系： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.简记为：“知一推二”. 应用：如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°.　　求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 分析：要证明∠AOB=∠BOC=∠AOC，只要证明所对的弦相等，由已知条件可证. 证明：在⊙O中，=， ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，可得AB=BC=AC. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 【自研自探】 自研课本Ｐ125－126内容 典型例题 例1.如图，点在上，且，判断与的数量关系． 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．由，可得，即，因此与相等． 【详解】解：．理由如下： ∵， ∴， 即， ∴． 第二环节 合作探究 1.讨论圆心角与圆心角定理. 2.讨论同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系. 1．①如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于点E．若，，求的度数为________．    ②如图，是的弦，C、D为直线上两点，，求证：．    【详解】①如图，连接，    ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； ②证明：作于H，如图，    则， ∵，， ∴， ∴， 即． 课本课堂练习P126（①②）. 1．（2026·潍坊统考期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：连接，如图所示：    则 ∵， ∴ ∴ 故劣弧的度数是. 故选：D 2．（2026.舒城二中单元测试）已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上 求证：．    【详解】证明：连接，，．    ， ． 3．（2025·揭阳校考期中）已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 【详解】证：∵ ∴ ∴ 知识技能：一个定义：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.一个推论：在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，其余各组量也分别相等（“知一推二”）. 思想方法：旋转思想：利用圆的旋转对称性探究定理.转化思想：将圆中的弧、弦问题转化为圆心角问题，将角的问题转化为三角形问题.类比思想：类比垂径定理的学习路径（定义→性质→应用），形成研究圆的性质的一般思路. 易错提醒：“在同圆或等圆中”不可少：离开这一前提，相等的圆心角所对的弦不一定相等（举例：两个半径不同的圆中，相同度数的圆心角所对的弦长度不同）.弦对应的弧有两个：一条弦所对的弧有优弧和劣弧两个，在说“弦相等→弧相等”时，通常指它们所对的劣弧相等（或优弧相等）.“弧相等”与“弧的长度相等”的区别：弧相等是指能够完全重合，包含弧的度数相等且长度相等两层含义. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $