专题06 二次函数·一元二次不等式·恒成立问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题06 二次函数·一元二次不等式·恒成立问题题型突破（六大题型） 考点01 解不含参数的一元二次不等式 考点02 解含有参数的一元二次不等式 考点03 一元二次方程根的分布问题 考点04 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 考点05一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 考点06 一元二次不等式在某区间上有解问题 考点01 解不含参数的一元二次不等式 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 2．若不等式的解集为，则不等式的解集为________． 3．对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若对于一切实数恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：． 5．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 6．求下列不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 7．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 8．已知关于的不等式的解集为. (1)求、的值，并求解不等式的解集； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 9．不等式的解集是______． 10．设：实数满足，其中；：实数满足． (1)写出一个的取值范围，使之为的一个充分不必要条件； (2)是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 考点02 解含有参数的一元二次不等式 11．定义区间，，，的长度均为，其中，已知实数，则满足的构成的区间长度之和为____________． 12．已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集． 13．已知关于x的不等式的解集为A． (1)解上述关于x的不等式； (2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分且不必要条件，求实数a的取值范围． 14．若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集. 16．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数k的取值范围是_________． 19．若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值可以为（  ） A． B． C． D． 20．已知关于的不等式的解集为，若且，则实数的取值范围为______． 考点03 一元二次方程根的分布问题 21．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若不等式的解集为，则的取值范围为 B．集合，若集合有且仅有个子集，则的值为 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为 22．（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 23．（多选）已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 24．（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 25．（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 26．（多选）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 27．（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 28．（多选）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 29．（多选）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 30．（多选）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 考点04 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 31．（多选）下列各结论中正确的是（     ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的充分不必要条件 D．，是假命题，则实数的取值范围是或 32．（多选）已知不等式，则（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则的取值范围为 C．若不等式对恒成立，则的取值范围为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 33．（多选）下列说法正确的是（ ） A．不等式的解集为 B．函数的值域是 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 34．（多选）下列说法正确的是（     ） A．，，则实数的取值范围为 B．，，则实数的取值范围为 C．，，，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 35．（多选）下列叙述中正确的是（     ） A． B．不等式的解集是 C．“”是“关于的一元二次不等式：的解集是”的充要条件 D．已知，，则的取值范围为 36．（多选）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ） A．1 B． C．-1 D． 37．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 38．（多选）在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 39．（多选）下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 40．（多选）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 考点05一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 41．（多选）已知，且，若对于任意的，恒成立，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 42．（多选）已知集合，对于满足集合的所有实数，则使得不等式恒成立的的取值可能为（    ） A． B． C． D． 43．（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 44．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 45．（多选）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 46．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是. 47．（多选）关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 48．（多选）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ）． A．7 B．5 C．3 D． 49．（多选）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 50．（多选）集合，若，则实数的值可以是（   ） A．3 B．1 C． D． 考点06 一元二次不等式在某区间上有解问题 51．（多选）关于一元二次不等式与恒成立问题，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式解集不为空，则或 D．在上恒成立，则或 52．（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 53．（多选）下列说法正确的有（   ） A．，，若是的充分条件，则. B．是命题，成立的一个充分不必要条件. C．“”是“”的必要不充分条件. D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件“”. 54．（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 55．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 56．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 57．（多选）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 58．（多选）下列四个结论中正确的是（    ） A．“”是“的函数值恒小于0”的充要条件 B．“”的否定为“” C．函数的值域是 D．若命题“，有是假命题”，则实数m的取值范围是 59．（多选）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．对任意的， C．若对任意实数x，，则实数a的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 60．（多选）已知命题是真命题，则下列说法正确的是（   ） A．命题“”是假命题 B．命题“”是假命题 C．“”是“命题为真命题”的充分不必要条件 D．“”是“命题为真命题”的必要不充分条件 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数·一元二次不等式·恒成立问题题型突破（六大题型） 考点01 解不含参数的一元二次不等式 考点02 解含有参数的一元二次不等式 考点03 一元二次方程根的分布问题 考点04 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 考点05一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 考点06 一元二次不等式在某区间上有解问题 考点01 解不含参数的一元二次不等式 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】首先对不等式进行移项并通分，再将不等式等价为且，进而根据不等式性质进行求解即可. 【详解】由，移项得：，通分可得：， 因此原不等式可等价为且. 当时，即时，满足，此时解得：； 当时，即时，满足，此时无解. 综上可得不等式的解集为. 2．若不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】先利用不等式的解集为得到，且，再代入，化简后求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且，即. 对比原不等式可得. 所以可化简为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 3．对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合题中定义、充分不必要的性质进行求解即可. 【详解】. 因为表示不大于的最大整数， 所以由. A：显然当成立时，成立，所以本选项符合条件； B：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件； C：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件； D：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件. 4．已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若对于一切实数恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）当时，将分解为，由开口向上得的解集为 ； （2）先排除，二次不等式对一切实数恒成立需开口向下且判别式 ，解得 ； （3）含参二次不等式按、、 分类讨论，比较两根与的大小后写出对应解集，注意时代入求解. 【详解】（1）当时，由，可得，即，解得． 所以当时，不等式的解集为. （2）恒成立， 当时，恒成立，需满足： ，解得：； 当时，不等式为，得，不符合题意． 综上的取值范围为． （3）由，得． 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为，， 当时，即，不等式即为，即，解得； 当或时，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 5．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】不等式变形为，二次函数开口向上，解集为. 6．求下列不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由分式不等式等价关系结合“数轴穿根法”，即可求出不等式解集； （2）根据分式不等式与整式不等式等价关系，求出不等式的解集即可； （3）根据绝对值性质，对分类讨论，去掉绝对值，求解不等式的解集即可. 【详解】（1）由不等式，因式分解可得， 则， 因为方程的根分别为，，， 所以由“数轴穿根法”可得，不等式的解集为． （2）由，可得，即，等价于， 解得，所以原不等式的解集为； （3）由，当时，不等式显然成立； 当时，则，得，即， 解得，又，所以， 综上，不等式解集为． 7．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知且方程的两根分别为和，利用韦达定理可求出、，再利用二次不等式的解法求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 则且方程的两根分别为和， 由韦达定理可得，解得， 故不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为. 8．已知关于的不等式的解集为. (1)求、的值，并求解不等式的解集； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，，解集为或． (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出、的值，进而求解不等式； （2）根据基本不等式求出的最小值，结合不等式恒成立可得出关于的不等式，即可求出的范围． 【详解】（1）由题意知，和是的两个根，且， 所以，解得， 将，代入可得，即， 解得或． 故不等式的解集为或. （2）由（1）知，， 所以， 当且仅当，即当时，等号成立，所以的最小值为． 又恒成立，故恒成立，即，解得． 所以的取值范围为． 9．不等式的解集是______． 【答案】 【详解】由，得， 得到，解得， 所以不等式的解集是． 10．设：实数满足，其中；：实数满足． (1)写出一个的取值范围，使之为的一个充分不必要条件； (2)是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，（注：答案不唯一，只需为的真子集即可） (2)． 【详解】（1）命题：，解得， 所以命题的一个充分不必要条件为：； （注：答案不唯一，只需为的真子集即可）； （2）命题：， 若，；若，； 命题：， 因为是的必要不充分条件， 当时，则，当时，则． 综上：实数的取值范围是． 考点02 解含有参数的一元二次不等式 11．定义区间，，，的长度均为，其中，已知实数，则满足的构成的区间长度之和为____________． 【答案】1 【分析】将不等式转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x构成的区间的长度和. 【详解】不等式，即，等价于， 设，则有， 设的两个根分别为，，由二次函数的性质可知， 由韦达定理得，原不等式的解集为， 故满足条件的x构成的区间的长度和为． 12．已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 【分析】（1）结合题意，分和两种情况讨论求解即可； （2）根据题意，分，，，，五种情况讨论求解即可. 【详解】（1）不等式． 若即，不等式可化为，恒成立； 若，即，由得解集为， 所以，解得． 综上，，即实数的取值范围为． （2）由 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为． 当，即时，不等式的解为或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为或 综上：当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 13．已知关于x的不等式的解集为A． (1)解上述关于x的不等式； (2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分且不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）按照和分类讨论求解含参数的不等式. （2）求出集合，利用充分不必要条件，结合包含关系及（1）的结论列式求解. 【详解】（1）由， 当时，不等式变为，解得； 当时，不等式为， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，原不等式为，无解； 当时，，解得； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2）不等式，可化为，解得，所以； 由是的充分不必要条件，得是的真子集， 由（1）知，则或或， 解得或或，即， 所以实数的取值范围是. 14．若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则不等式可化为，恒成立，所以符合条件; 若，因为恒成立， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为 15．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）把代入，再解一元二次不等式. （2）按分类解含参数的不等式. 【详解】（1）当时，， 方程的解为， 函数图象的开口向上，与轴交点从左到右依次为， 所以不等式的解集为； （2）函数， 当时，，不等式的解集为； 当时，方程的解为， 当时，，函数图象的开口向上， 与轴交点从左到右依次为，不等式的解集为； 当时，，函数图象的开口向下， 与轴交点从左到右依次为，不等式解集为； 当时，，函数图象的开口向下，与轴交点为， 不等式解集为； 当时，，函数图象的开口向下， 与轴交点从左到右依次为， 不等式解集为； 所以当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求得不等式组中每个不等式的解集，结合不等式组的解集中所含整数解只有，分类讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得或， 由于不等式，可得， 当时，即时，不等式的解集为； 当时，即时，不等式的解集为； 当时，即时，不等式的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 当时，不等式组的解集为，此时，不符合题意，舍去； 当时，不等式组的解集为，不符合题意，舍去； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 17．若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，分，和三种情况，结合根的判别式进行求解 【详解】，，即， 若，则，解得，满足题意， 当时，开口向上，满足要求， 若，开口向下，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为 18．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解，数形结合，可求得的取值范围. 【详解】由，得： ， 当时，解为： 如图：要使解集中有且仅有一个整数， 只需：，故； 当时，解为： 如图：要使解集中有且仅有一个整数， 只需：，故； 当时，解为，不符合题意. 综上： 的取值范围为 . 19．若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【详解】由，可得， 由题意当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为或， 当为时，则，且，无解， 当整数解为时，，且，则得； 综上，实数的取值范围是，则的取值可以为. 20．已知关于的不等式的解集为，若且，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由，可知满足不等式， 代入得，解得或， 由，可知不满足不等式， 即，解得， 联立不等式组，解得， 综上，实数的取值范围是. 考点03 一元二次方程根的分布问题 21．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若不等式的解集为，则的取值范围为 B．集合，若集合有且仅有个子集，则的值为 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为 【答案】ACD 【分析】A对二次项系数分类讨论解决恒成立不等式；B利用子集个数推出集合元素个数，对是否为讨论；C由韦达定理判断一元二次方程正负根的充要性；D转化为求集合子集个数． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由不等式的解集为R， 得，解得， 综上的取值范围为，A正确； 对于B，因为集合有且仅有个子集， 所以集合中有且仅有个元素， 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上，的值为，B错误； 对于C，由，得一元二次方程的判别式， 所以一元二次方程有两根，且两根之积，即两根异号， 所以充分性成立； 由一元二次方程有一正一负根，得两根之积为负，即， 所以，即必要性也成立，C正确； 对于D，由，得是集合的子集， 所以集合可以是，共个，D正确． 22．（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】AD 【分析】选项A，代入a值，先算判别式判断有无实根，再看能否使用韦达定理描述实数根之和； 选项B，两正根需同时满足判别式非负、两根和大于 0、两根积大于 0，联立不等式求解参数范围；选项C，先求出无实根对应的a范围，再通过区间包含关系判断充分不必要条件； 选项D，一正一负根只需两根之积小于0，对比选项给出的参数范围判断正误． 【详解】方程，判别式， 若，则， 当时，，无实根，故A错误； 由题意得， 解得或， 又， 故，故B正确； 方程无实根，故，解得， 区间是的真子集， 故满足一定能推出方程无实根，满足充分性； 但方程无实根，不一定满足，必要性不成立，故C正确； 方程一个正根一个负根的充要条件满足且， 但，故当时显然不成立，故D错误． 23．（多选）已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】可化为， 解得，， 由题意可知，解得， 所以实数的可能取值为. 24．（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 25．（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 26．（多选）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【分析】A举反例，根据必要条件的定义判断；B分、讨论；C将问题转化为一元二次方程有一正一负根，根据判断；D判断集合的子集个数. 【详解】若，则，但， 故不是的一个必要条件，故A错误； 当时，，符合题意； 若，则当集合中只有一个元素时，，得， 综上，或，故B错误； 若一元二次方程有一正一负根， 则一元二次方程有一正一负根， 其充要条件是，即，故C正确； 因为，所以， 因为集合的子集个数有个，故集合的个数为4，故D正确. 故选：CD 27．（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 28．（多选）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 29．（多选）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 【答案】ABD 【分析】利用判别式和根与系数关系逐项判断即得. 【详解】对于A，因为，当时，有，方程有两实数根，故A正确； 对于B，当时，有，所以方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C，当时，方程变为，即无实数解，故C错误； 对于D，若方程有两个实数根，且，等价于， ，所以，得，故D正确. 故选：ABD. 30．（多选）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】对于A：令，则即可求得的范围；对于B：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集；对于C：令，则即可求得的范围；对于D，求出集合中只有一个元素时参数的值，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：在上恒成立，令， 则，即，解得，即实数的取值范围是，故A正确； 对于B：关于的不等式的解集是，， 则关于的不等式等价于，即，即，解得或， 所以关于的不等式的解集是，故B正确； 对于C：要使关于的方程的一根比大且另一根比小， 令，则，即， 解得，所以的取值范围为，故C错误； 对于D：若集合中只有一个元素， 当时，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得或， 所以由“集合中只有一个元素”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“集合中只有一个元素”，故必要性成立； 所以“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 考点04 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 31．（多选）下列各结论中正确的是（     ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的充分不必要条件 D．，是假命题，则实数的取值范围是或 【答案】ACD 【详解】对于A，,故“”是“”的充要条件，A正确； 对于B，， 当且仅当取等号， 但无实数根，故等号取不到， 因此2不是的最小值，B错误； 对于C，是的真子集,故“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，由于是假命题， 故，则或，故D正确； 32．（多选）已知不等式，则（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则的取值范围为 C．若不等式对恒成立，则的取值范围为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】选项A：当时，原不等式可化为，解不等式即可；选项B：将代入，排除B；选项C：将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解；选项D：构造函数，将其视为关于的一次函数，利用一次函数的最大值小于0，求解. 【详解】选项A：当时，原不等式可化为，即， 因式分解：，所以原不等式的解集为.选项A正确； 选项B：当时，原不等式可化为，显然成立，选项B错误； 选项C：不等式对恒成立，即对恒成立，令，则，不等式可化为， 当时，不等式变为恒成立； 当时，不等式可化为，且， 故时，不等式对恒成立. 选项C正确； 选项D：不等式对恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立； 当时，将其视为关于的一次函数： ，一次函数在区间上恒小于0， 需满足端点值均小于0，即且， 即 因为方程的两根为， 所以不等式的解集为. 选项D正确. 33．（多选）下列说法正确的是（ ） A．不等式的解集为 B．函数的值域是 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【详解】对A，不等式等价于，解得，故A错误； 对B，，可知B正确； 对C，利用基本不等式知， 由得，故不等式取不到等号，所以2不是函数的最小值，故C错误； 对D，①当时，不等式为，恒成立； ②当时，若要使不等式恒成立，则，解得， 所以当时，不等式恒成立，则的取值范围是，故D正确； 34．（多选）下列说法正确的是（     ） A．，，则实数的取值范围为 B．，，则实数的取值范围为 C．，，，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，， 则，故B错误； 对于C，原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D，不等式可变形为 ， 则 ，解得 ， 由于，则， 此时，即， 所以的取值范围为，故D正确. 35．（多选）下列叙述中正确的是（     ） A． B．不等式的解集是 C．“”是“关于的一元二次不等式：的解集是”的充要条件 D．已知，，则的取值范围为 【答案】ABD 【详解】因为，， 又，所以， 又因为，所以， 所以，故A正确； 由，得，解得， 所以不等式的解集是，故B正确； 若关于的一元二次不等式：的解集是，则且， 所以“”是“关于的一元二次不等式：的解集是”的必要不充分条件，故C错误； 令， 所以，解得，所以， 因为，，所以，， 所以，即， 所以的取值范围为，故D正确. 36．（多选）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】由题意，都有，等价于一元二次方程的判别式，由此求解即可. 【详解】若“，都有”是真命题， 则，都有， 等价于一元二次方程的判别式， 即， 解得， 所以实数可能的值是，1，. 37．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 38．（多选）在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合题设新定义，将原不等式转化为一个含参一元二次不等式在上恒成立的问题，实施参变分离，进而转化为求最值的问题，最后求解关于的一元二次不等式即可． 【详解】由定义知，不等式等价于， 所以对任意实数恒成立，即． 因为，所以，解得． 结合选项可知实数a可以为． 39．（多选）下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 【答案】BC 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 40．（多选）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 考点05一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 41．（多选）已知，且，若对于任意的，恒成立，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以或（舍去）. 由或，都有. 当时，恒成立，可得，所以（当时取等号）. 所以BCD选项满足条件，A选项不满足条件. 42．（多选）已知集合，对于满足集合的所有实数，则使得不等式恒成立的的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解绝对值不等式得，将原不等式因式分解转化为不等式组，再根据的范围即可求解. 【详解】由，解得， 即当时，恒成立，即恒成立， 故或，即或恒成立， 因为，所以， 故或. 43．（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 44．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 45．（多选）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据对称性可求解析式，利用解析式可判断B、C，分离参数，求解最值可判断D. 【详解】由，可得对称轴为，所以，A正确； 因为，所以，即，解得，B错误； 由在上的值域为，可知其最小值必为，故， 其最大值必为3，而，故须满足，解，得， 综上，，C正确； 因为在上不等式恒成立，所以， 因为，当且仅当时取得最小值，故，D正确. 故选：ACD 46．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是. 【答案】BC 【分析】对于A：根据二次不等式的性质即可判断的正负； 对于B：结合和韦达定理，化简不等式，解不等式即可； 对于C：由，，化简，再结合二次函数的性质即可计算的取值范围； 对于D：在的条件下，利用基本不等式计算的最小值，令，解不等式即可得到的取值范围； 【详解】对于A：根据二次不等式的性质：不等式的解集为，所以；故选项错误； 对于B：由题意得：，，根据韦达定理：得：， 所以，，代入不等式得：，因为，所以，因为分解得，解集为；故选项正确； 对于C：由，，得：，，代入，，，因为上的值域为， 所以，由得，或，因为时，，所以当时，，此时；当时，，此时，所以的取值范围是；故选项正确； 对于：由题意得：，令，由对勾函数得：在上单调递增，所以，即，因为恒成立，所以，即，故，解集为：，故选项错误； 故选：. 47．（多选）关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 【答案】AB 【分析】对A，由已知条件可得，结合二次函数的对称性求得；对BC，由A，，，代入求解一元二次不等式；对D，令，由题意可得，运算得解. 【详解】由不等式的解集为，则，且，即， 对于A，由的对称轴，则是的两根， 所以，得，且，故A正确； 对于BC，由A知即，所以不等式变为， 又，所以，解得或，故B正确，C错误； 对于D，令，由对恒成立， 由于表示开口向上的抛物线， 所以，解得， 又，所以，故D错误. 故选：AB. 48．（多选）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ）． A．7 B．5 C．3 D． 【答案】BCD 【分析】先进行参数分离，再用基本不等式求最小值，进而可得. 【详解】由，且，所以， 则问题转化为对于恒成立. 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为， 结合选项可知A错误，BCD正确. 故选：BCD． 49．（多选）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解法，一元一次不等式的性质，求出不等式的解集，根据题目条件判断解集之间的关系，求出参数范围即可. 【详解】由题意可知，使不等式成立的任意一个x都满足不等式， 即不等式的解集是不等式解集的子集， 由，解得， 由，因式分解得， 当，即时，解得， 可知，即时符合条件； 当，即时，解得， 当时，，即，即当时符合条件； 综上，常数a可以是. 故选：ABD. 50．（多选）集合，若，则实数的值可以是（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】由得：，所以对所有的，都有成立，分离参数，利用基本不等式可得答案. 【详解】由得： 所以对所有的，都有成立， 分离参数得： ， ， 定义函数： ， 又，由基本不等式得： ， 当且仅当即时取“”， 所以. ， 只需. 故选：BCD 考点06 一元二次不等式在某区间上有解问题 51．（多选）关于一元二次不等式与恒成立问题，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式解集不为空，则或 D．在上恒成立，则或 【答案】AC 【详解】A.恒成立，则，解得，正确； B.，只需，即或，B错误； C.不等式解集不是空集，则，即或，正确； D.在恒成立，则，即，D错误. 52．（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 53．（多选）下列说法正确的有（   ） A．，，若是的充分条件，则. B．是命题，成立的一个充分不必要条件. C．“”是“”的必要不充分条件. D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件“”. 【答案】ABD 【分析】对于A：分析可知两集合的包含关系，列不等式求解即可；对于B：根据一元二次不等式的能成立问题运算求解即可判断；对于C：举反例结合充分、必要性即可判断；对于D：根据一元二次不等式的恒成立问题运算求解即可判断. 【详解】对于A：因为，， 若是的充分条件，可知集合是集合的子集， 则，解得，故A正确； 对于B：命题，成立等价于，即得或， 因集合是集合或的真子集， 所以是命题，成立的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C：因为，取，，则不成立，即充分性不成立； 反之若，取，，则不成立，即必要性不成立； 所以”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：若关于的不等式对任意恒成立， 当时，对于恒成立，符合题意； 当时，满足，解得； 综上，实数的取值范围为， 即关于的不等式对任意恒成立等价于，故D正确. 故选：ABD. 54．（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，转化为在上有解，即，利用换元法求得的最小值，得到的取值范围为，结合选项，即可求解. 【详解】当时，关于的不等式有解， 即在上有解，即， 令，可得，因为，则， 将代入，可得，其中， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为， 设满足题意的必要不充分条件构成集合，则满足，即为的真子集， 结合选项，可得AB项符合题意. 故选：AB. 55．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 【答案】BC 【分析】对于A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B选项，由解集得到，，从而化为，求出解集；对于选项C，将，代入即可；对于选项D，先求出，从而根据不等式有解得到，求解即可. 【详解】对于选项A，因为不等式的解集为，所以，故A错误； 对于选项B，可以知道，是方程的两个不等实根， 所以，，所以，， 所以，即， 得，故B正确； 对于选项C，，，所以，因为，所以，故C正确； 对于选项D，关于的不等式有解，即求的最小值， 令，因为，所以，所以， 所以，在时单调递增， 所以，所以，解得或，故D错误. 故选： 56．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 57．（多选）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据题设可得，则在上有两个不等的实数解，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围，即可得答案. 【详解】由，则至少有一个元素属于， 由，则至少有一个元素不属于， 又，故， 由有两个不相等的实数解， 对于二次函数，开口向上且对称轴为， 所以，可得. 故选：BC 58．（多选）下列四个结论中正确的是（    ） A．“”是“的函数值恒小于0”的充要条件 B．“”的否定为“” C．函数的值域是 D．若命题“，有是假命题”，则实数m的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式恒成立以及能成立的条件可以判断AD，根据特称命题的否定是全称命题可以判断B，根据二次函数的单调性可判断C. 【详解】“的函数值恒小于0”的充要条件是“且”故A错误； “”的否定为“”，故B正确 ； 函数，当时，最小为， 又的函数值大于的函数值， 时，，所以函数的值域是，故C正确； 若，有，则，解得或， 所以命题“，有是假命题”，则实数m的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 59．（多选）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．对任意的， C．若对任意实数x，，则实数a的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 【答案】BCD 【分析】代入可判选项A，利用基本不等式可判选项B，利用二次函数恒成立可判选项C，利用不等式 能成立的条件可判选项D. 【详解】对于A，，所以选项A错误； 对于B，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以选项B正确； 对于C，， 所以， 所以对任意实数x恒成立， 所以，所以，故选项C正确； 对于D，存在，使，所以， 因为在为单调增函数， 所以，所以，所以，所以选项D正确. 故选：BCD. 60．（多选）已知命题是真命题，则下列说法正确的是（   ） A．命题“”是假命题 B．命题“”是假命题 C．“”是“命题为真命题”的充分不必要条件 D．“”是“命题为真命题”的必要不充分条件 【答案】BCD 【分析】由命题的否定判断AB选项；分离变量法求出为真命题时的取值范围，再根据充分必要条件的概念判断CD. 【详解】不能否定，A选项错误； 命题是真命题，则是假命题，故B选项正确； ，则当时，， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以是命题是真命题的充要条件. 时有，时不一定有， “”是“命题为真命题”的充分不必要条件，C选项正确； 时不一定有，时一定有， “”是“命题为真命题”的必要不充分条件，D选项正确. 故选：BCD 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $