精品解析：山西省部分校2025-2026学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

山西省2025—2026学年度九年级阶段评估（A） 数学 上册第21、22章 共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 5. 解方程最适当的方法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 求根公式法 D. 因式分解法 6. 陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. -或 7. 如图，园艺师王师傅手里有一根铁丝，他先用这根铁丝首尾相接围成了一个矩形的花圃围栏，这个矩形围栏的长是，宽是．后来因为花圃规划调整，王师傅需要把这根铁丝展开，重新首尾相接围成一个圆形的花圃围栏，那么这个圆形花圃围栏的半径是（ ） A. B. C. D. 8. 若是关于的一元二次方程，用下面选项中的数替换，可使方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 有一种“点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在社交平台上发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，并邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人．如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起．转发两轮后共有73人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定每人“@”人，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 如果方程可以配方成，那么________． 13. 物体从静止状态自由下落的高度h（单位：m）与所需时间t（单位：s）满足公式：（g为重力加速度，取g的值为）．现有两个物体分别从离地面和处，同时由静止自由落到地面，则它们落到地面时间相差____s． 14. 如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 15. 已知，是两个连续的正整数，且．令，则的值为___． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算及解方程 （1）计算:； （2）解方程:． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求的取值范围． （2）若是该方程的一个根，求的值． 18. 新定义：若关于的一元二次方程，其中，，满足，我们就称这个一元二次方程为“美妙方程”． （1）判断方程是否为“美妙方程”，并说明理由； （2）已知关于的“美妙方程”的一个根是，求这个“美妙方程”． 19. 某社区为丰富居民的业余生活，计划在社区中心广场设置6个相同的长方形健身区（如“力量训练区”“有氧运动区”“瑜伽练习区”等），每个健身区通过配备专业器材、安排教练指导、组织居民互动等形式，提升居民的健身体验．已知中心广场长，宽，各健身区按2行3列排列，广场四周设宽的休息通道，相邻健身区之间的过道宽度相同．若每个健身区的面积是，请你帮助社区负责人计算过道的宽度． 20. 观察下列等式： ① ② 解答下列问题． （1）　　　； （2）　　　；（为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算：． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以2，，为边构造三角形，利用三角形中▲　　　　进行比较． 问题思考：以2，，为边构造的三角形为■　　　　三角形． 任务： （1）研究报告中“▲”处空缺的内容：　　　　．“■”处空缺的内容：　　　　． （2）请补全材料中“……”处的解答过程． （3）直接写出与之间的大小关系． 22. 综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． （1）若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． （2）若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． （3）若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 23. 综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2025—2026学年度九年级阶段评估（A） 数学 上册第21、22章 共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，，故该选项不符合题意； B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； C选项，，故该选项不符合题意； D选项，，故该选项不符合题意． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程就是‌只含有一个未知数、未知数最高次数是的整式方程‌． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故不是一元二次方程； B、不是整式方程，故不是一元二次方程； C、符合一元二次方程的定义； D、中未知数的最高次数不是，故不是一元二次方程． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 4. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为； ∴方程必有一根为． 故选：B 5. 解方程最适当的方法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 求根公式法 D. 因式分解法 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据解方程的过程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 6. 陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. -或 【答案】A 【解析】 【分析】将“”、“”、“”、“”代入计算，即可求解． 【详解】解：，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， ，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， 故“□”中的运算符号可能是：或， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 7. 如图，园艺师王师傅手里有一根铁丝，他先用这根铁丝首尾相接围成了一个矩形的花圃围栏，这个矩形围栏的长是，宽是．后来因为花圃规划调整，王师傅需要把这根铁丝展开，重新首尾相接围成一个圆形的花圃围栏，那么这个圆形花圃围栏的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出矩形的周长，设圆形花圃围栏的半径为，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，矩形的周长为， 设圆形花圃围栏的半径为，则， ∴， ∴这个圆形花圃围栏的半径是． 8. 若是关于的一元二次方程，用下面选项中的数替换，可使方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式求出原方程没有实数根时需要满足的条件，再逐一验证即可． 【详解】解：当原方程没有实数根时，则， ∴， ∵，，，， ∴时，可使方程没有实数根． 9. 在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，求出两个正方形的边长，进而求出空白矩形的长和宽，利用矩形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， ∴空白矩形的长为，宽为， ∴空白部分的面积为； 故选：A． 10. 有一种“点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在社交平台上发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，并邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人．如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起．转发两轮后共有73人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定每人“@”人，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设参与该活动后规定“@”人，则第一轮小明1个人“@”个人，第二轮中x人又“@”个人，结合两轮后共有73人被邀请参与该活动列出方程即可． 【详解】解：根据题意可列方程， 选项D符合题意． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出关于的不等式是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件求出的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 则的取值范围是：． 故答案为：． 12. 如果方程可以配方成，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法． 将配方可得，结合已知条件可得出，即可求出的值． 【详解】解：将配方可得， 又方程可以配方成， ， ． 故答案为：． 13. 物体从静止状态自由下落的高度h（单位：m）与所需时间t（单位：s）满足公式：（g为重力加速度，取g的值为）．现有两个物体分别从离地面和处，同时由静止自由落到地面，则它们落到地面时间相差____s． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用算术平方根的性质解方程，通过代入已知量到自由下落公式，关键步骤是正确代入数值并解方程，舍去不符合实际的负解．根据题目给出的自由下落公式，将已知高度和重力加速度代入，利用算术平方根的性质解方程求出下落时间即可解答． 【详解】解：由题意将和， 代入公式，可得：或， 化简得：或， ∵表示物体下落的时间， ∴或， 则它们落到地面时间相差． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 【答案】10 【解析】 【分析】由题中的运动规则，分两种情况讨论：当点未到达点时；当点到达点时（点与点重合）；第一种情况，先表示出，的长，再由勾股定理列方程求解；第二种情况，由直角三角形斜边比直角边长判定即可． 【详解】解：动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 同时动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 由于动点到达终点的运动时间比动点到达终点的运动时间短，分两种情况讨论： 当点未到达点时，设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，由勾股定理可得，即， 则， ， 解得或（没有运动，舍去）； 当点到达点时（点与点重合），设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，是斜边、是直角边，则，与矛盾， 此情况不存在使两点相距的值； 综上所述，运动秒后两点相距． 15. 已知，是两个连续的正整数，且．令，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据连续整数的定义得到，则，所以，，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：，是两个连续的正整数，， ， ∵， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算及解方程 （1）计算:； （2）解方程:． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后合并同类二次根式． （2）使用因式分解法，将二次三项式分解成两个一次因式乘积，再转化为一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：因式分解，得 ， 或， 解得：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求的取值范围． （2）若是该方程的一个根，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有实数根，需要同时满足两个条件：①二次项系数不为；②根的判别式，据此列不等式求解． （2）把根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出． 【小问1详解】 解：∵方程是一元二次方程且有实数根， ∴， 解得且． 【小问2详解】 解：是方程的一个根， 把代入方程，得：， ， ， 的值为． 18. 新定义：若关于的一元二次方程，其中，，满足，我们就称这个一元二次方程为“美妙方程”． （1）判断方程是否为“美妙方程”，并说明理由； （2）已知关于的“美妙方程”的一个根是，求这个“美妙方程”． 【答案】（1）是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2） 【解析】 【分析】（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 19. 某社区为丰富居民的业余生活，计划在社区中心广场设置6个相同的长方形健身区（如“力量训练区”“有氧运动区”“瑜伽练习区”等），每个健身区通过配备专业器材、安排教练指导、组织居民互动等形式，提升居民的健身体验．已知中心广场长，宽，各健身区按2行3列排列，广场四周设宽的休息通道，相邻健身区之间的过道宽度相同．若每个健身区的面积是，请你帮助社区负责人计算过道的宽度． 【答案】2米 【解析】 【分析】设过道的宽度为x米，根据图形列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设过道的宽度为x米，根据题意得： 整理得， ， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴过道的宽度为2米． 20. 观察下列等式： ① ② 解答下列问题． （1）　　　； （2）　　　；（为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1） （2） （3）44 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （2）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （3）根据（2）的规律对每一项进行裂项，再进行加减计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：原式 ． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以2，，为边构造三角形，利用三角形中▲　　　　进行比较． 问题思考：以2，，为边构造的三角形为■　　　　三角形． 任务： （1）研究报告中“▲”处空缺的内容：　　　　．“■”处空缺的内容：　　　　． （2）请补全材料中“……”处的解答过程． （3）直接写出与之间的大小关系． 【答案】（1）两边之和大于第三边（三边之间的关系）；直角 （2）解：，， 又， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形三边关系确定三角形形状即可； （2）根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可； （3）计算和的平方，进行判断即可． 【小问1详解】 解：研究报告中“▲”处空缺的内容：两边之和大于第三边（三边之间的关系）； “■”处空缺的内容：直角； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 22. 综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． （1）若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． （2）若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． （3）若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 【答案】（1）裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为 （2）无盖长方体铁箱的体积为 （3）按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键． （1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据图2，得出无盖长方体铁箱的长，宽，高，进而求得体积； （3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：， ∴裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为． 【小问2详解】 解：依题意得：四个直角处的小正方形的边长为，无盖长方体铁箱的长为， ∴无盖长方体铁箱的宽为，高为 ∴无盖长方体铁箱的体积为． 【小问3详解】 解：按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是， 按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积为； 按亮亮的方案制作的无盖长方体铁箱的宽为， 底面积为， 体积为， ∵， ∴按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 23. 综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程求解即可； （3）将所求方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得， 化简，得； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得； 【小问3详解】 解：将所求方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大2， ∴的两个实数根分别是，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $