精品解析：山西临汾市襄汾县部分学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026—2027学年度第一学期素养形成第一次能力训练 初三数学（华东版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 8. AI模型的推理成本与词卡消费密切相关．假设在某业务阶段，AI服务初始词卡消费量为100万张．业务规模经过两轮增长后，使最终词卡消费量达到144万张，求这两轮词卡消费的平均增长率（ ） A. B. C. D. 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. 1 C. D. 10. 在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3，若，则阴影面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算的结果是_______． 12. 已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则方程的另一个根为_______． 13. 若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，设十位数字为x，列出求该十位数字的方程为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 15. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 按要求解答 （1）请仔细阅读小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，完成相应的任务． 小刚同学： 解： 第一步 第二步 第三步 解得 第四步 小颖同学： 解： 第一步 第二步 第三步 或 第四步 解得 第五步 任务： ①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误．错误的原因是__________________________； ②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误．错误的原因是__________________________； ③请直接写出该一元二次方程的正确的解____________． （2）解方程：． 18. 已知一个矩形的长和宽分别为，一个正方形的周长与该矩形的周长相等． （1）求这个正方形的面积（保留根号） （2）比较上述正方形面积与矩形面积的大小． 19. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值． 20. 已知，，，，为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 21. 为推广临汾景区文旅周边，某直播间销售一款成本为每件7元的文创徽章．按每件10元销售时，每天可售出180件；经市场调查发现，每件售价每上涨1元，每天的销量就减少20件．设每件徽章的售价为x（元），每天的销售量为y（件）． （1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式为________； （2）若商家规定销售单价不低于成本价，且不高于13元，要使每天销售这款徽章的利润为700元，求每件徽章的售价应为多少元？ 22. 阅读材料：小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 类比归纳 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：． 变式探究 （3）若，且a，m，n均为正整数，则a的值为______． 23. 综合与实践 问题情境：某校数学实践小组开展长方体收纳盒制作探究． 如图1，长方形纸板的长为，宽为，将其的四角剪去四个相同的小长方形，折叠成一个如图2所示的有盖的长方体收纳盒，和恰好重合且无重叠部分． 解决问题：设收纳盒的高为 （1）收纳盒底面的边______，______．（用含x的代数式表示） （2）若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高． （3）收纳盒底面的面积可以是吗？若可以，求出收纳盒的高；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期素养形成第一次能力训练 初三数学（华东版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义：一般地，形如的式子叫做二次根式，即可判断． 【详解】解：A、，不符合二次根式的定义，故选项不符合题意； B、根指数为3，不符合二次根式的定义，故选项不符合题意； C、当时，，不符合二次根式的定义，故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴符合二次根式的定义，故选项符合题意． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断一元二次方程需同时满足三个条件：仅含一个未知数、未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：A选项，仅含未知数，最高次数为2，是整式方程，符合要求． B选项，含有两个未知数，不符合． C选项，含有分式，不是整式方程，不符合． D选项，未明确，当时无二次项，不符合．故答案为A． 3. 下列各式中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与算术平方根的性质，根据算术平方根的非负性和二次根式的化简规则，计算每个选项即可得到正确结果. 【详解】根据二次根式性质，逐个判断： 对于A选项，， A错误； 对于B选项，表示9的算术平方根，结果为非负数，，B错误； 对于C选项，， C错误； 对于D选项，， D正确. 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确 ，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 5. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 6. 若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵75=25×3， ∴是整数的正整数n的最小值是3． 故选：B． 7. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先移项，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 8. AI模型的推理成本与词卡消费密切相关．假设在某业务阶段，AI服务初始词卡消费量为100万张．业务规模经过两轮增长后，使最终词卡消费量达到144万张，求这两轮词卡消费的平均增长率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两次词卡消费的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次词卡消费后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次词卡消费的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次词卡消费的平均增长率为． 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正数的绝对值是它本身，，据此结合数轴求解即可． 【详解】解：， ，， ． 10. 在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3，若，则阴影面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先重叠部分的横向的边和纵向的边的长均为两个小正方形的边长的和减去最大正方形的边长，可得重叠部分为正方形，再根据较小正方形的面积为10，可得较小正方形的边长为，重叠部分正方形的面积为3，可得重叠部分的边长为，设最大正方形的边长为，可得两个小长方形空白部分的长均为，宽均为，则两块小长方形空白部分的面积相等，均为，可得小长方形空白部分的长为，可得较大正方形的边长为，即可求解． 【详解】解：由图可得，重叠部分的横向的边和纵向的边的长均为两个小正方形的边长的和减去最大正方形的边长， ∴重叠部分是正方形， ∵较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3， ∴较小的正方形的边长为，重叠部分的边长为， 设最大正方形的边长为， ∴两个小长方形的长均为，宽均为， ∴， ∴， ∴，即小长方形的长为， ∴较大正方形的边长为， ∴阴影面积为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算的结果是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则的逆运用，即可求解． 【详解】解：原式 ． 12. 已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则方程的另一个根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，进而根据“有一个根为1”即可求解． 【详解】解：设方程的两根为和，其中， 根据根与系数的关系，两根之积， ∴， ∴，即方程的另一个根为． 13. 若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，设十位数字为x，列出求该十位数字的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两位数的表示方法，再由这个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，即可列出方程． 【详解】解：由题意得，个位数字为， 则列方程为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则，由旋转的性质得出，，则为等腰直角三角形，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则， ， ∵点的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 15. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，利用根与系数的关系得到两根之和，并由方程得，将所求代数式变形为后代入求值． 【详解】方程的两根分别为和， ，且， ， ． 故答案为：17． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 按要求解答 （1）请仔细阅读小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，完成相应的任务． 小刚同学： 解： 第一步 第二步 第三步 解得 第四步 小颖同学： 解： 第一步 第二步 第三步 或 第四步 解得 第五步 任务： ①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误．错误的原因是__________________________； ②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误．错误的原因是__________________________； ③请直接写出该一元二次方程的正确的解____________． （2）解方程：． 【答案】（1）①二；错误原因：等式两边直接除以，未考虑的情况，丢失根； ②三；错误原因：去括号符号错误，展开应为，错误写成； ③， （2）， 【解析】 【分析】（1）①根据等式的性质即可判断求解；②根据去括号法则即可判断求解；③利用因式分解法解方程即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【小问1详解】 解：①∵在第二步，小刚的解法等式两边直接除以，未考虑的情况，丢失根， ∴第二步开始出现错误，错误的原因是：等式两边直接除以，未考虑的情况，丢失根； ②∵， ∴， ∴， ∴第三步开始出现错误，错误原因：去括号符号错误，展开应为，错误写成； ③， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：方程两边除以2得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 已知一个矩形的长和宽分别为，一个正方形的周长与该矩形的周长相等． （1）求这个正方形的面积（保留根号） （2）比较上述正方形面积与矩形面积的大小． 【答案】（1） （2）正方形的面积大于矩形的面积 【解析】 【分析】（1）求出矩形的周长，进而求出正方形的边长，再求出正方形的面积即可； （2）求出矩形的面积，再利用作差法比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵一个矩形的长和宽分别为， ∴该矩形的周长为， ∵一个正方形的周长与该矩形的周长相等， ∴该正方形的边长为， ∴该正方形的面积为； 【小问2详解】 解：该矩形的面积为， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴正方形的面积大于矩形的面积． 19. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，即可求解； （2）利用根与系数的关系得出，，代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 即， 解得或． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数关系：，， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意． 20. 已知，，，，为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】根据，为同类最简二次根式得，求得的值，得出，，根据得出，进而求得代数式的值，即可求解． 【详解】解：∵，是同类最简二次根式 ∴ 解得： 把代入，，得， ∴ ∵ ∴ 两边平方： 解得： ∴ 21. 为推广临汾景区文旅周边，某直播间销售一款成本为每件7元的文创徽章．按每件10元销售时，每天可售出180件；经市场调查发现，每件售价每上涨1元，每天的销量就减少20件．设每件徽章的售价为x（元），每天的销售量为y（件）． （1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式为________； （2）若商家规定销售单价不低于成本价，且不高于13元，要使每天销售这款徽章的利润为700元，求每件徽章的售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）每件徽章的售价应为12元 【解析】 【分析】（1）由每件文创徽章的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件，即可求解； （2）由利润每件商品利润数量，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴y与x之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：根据题意得，， 整理得， 解得，， ∵， ∴． 答：每件徽章的售价应为12元． 22. 阅读材料：小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 类比归纳 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：． 变式探究 （3）若，且a，m，n均为正整数，则a的值为______． 【答案】（1） （2） （3）或46 【解析】 【分析】（1）将10看成是，则，由此求解即可； （2）将14看成是，则，由此求解即可； （3）根据，可以得到，再根据均为正整数，则或，由此求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ，即，且， ∵均为正整数， ， 或． 23. 综合与实践 问题情境：某校数学实践小组开展长方体收纳盒制作探究． 如图1，长方形纸板的长为，宽为，将其的四角剪去四个相同的小长方形，折叠成一个如图2所示的有盖的长方体收纳盒，和恰好重合且无重叠部分． 解决问题：设收纳盒的高为 （1）收纳盒底面的边______，______．（用含x的代数式表示） （2）若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高． （3）收纳盒底面的面积可以是吗？若可以，求出收纳盒的高；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）收纳盒的高为 （3）不能，理由如下： 根据题意得：， 解得，， 由题意得，， ∴， ∴方程的解不符合题意，舍去， ∴收纳盒底面的面积不能为． 【解析】 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴，． 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得，， 由题意得，， ∴， ∴， 答：收纳盒的高为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $