精品解析：青海海东市第二中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

高二年级阶段性知识演练（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 已知，，若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件，求的值. 【详解】，， 即，解得：. 故选：B 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由，则， 所以. 4. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点关于轴对称的点的坐标是即可得出. 【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以点关于轴对称的点为. 故选：A． 5. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 6. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 7. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 8. 在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用三点共线定理和三角形的中线求出和的关系，再结合基本不等式求最值. 【详解】因为为线段的中点，，所以， 又因为，，所以，即 ， 由三点共线可知，即， 又因为，，所以 当且仅当时取到最小值3. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中是假命题的是（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共线向量可判断A；根据向量与向量不平行可判断B；根据法向量数量积不为0可判断C；求出平面的法向量可判断D. 【详解】对于A，因为，所以直线与直线不平行，故A错误； 对于B，因为，所以向量与向量不平行，则直线与平面不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以与不垂直，故C错误； 对于D，，因为向量是平面的法向量， 所以，解得，则，故D正确. 故选：ABC. 10. 如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，及线性运算即可判断A；根据空间向量数量积的运算性质，及模长公式求解即可判断B，C；根据投影向量的定义求解即可判断D． 【详解】对于A，由点，分别是边和的中点，则，， 又，且点在线段上，则，则， 所以，故A正确； 对于B，由正四面体的棱长为，即，且，，两两的夹角都为， 则， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，向量在方向上的投影向量为，故D正确． 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 直线的一个方向向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算作答. 【详解】空间中三点，，， 对于A，，显然，即与不是共线向量，A不正确； 对于B，因，则直线的一个方向向量是，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，由选项A知，向量不共线，令， 则，即， 因此是平面的一个法向量，D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，所以. 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为， 其中为方向上的单位向量， 令，.则； ； 所以投影向量的坐标为. 13. 已知向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标计算向量的模的平方与数量积的值，再根据两向量垂直的充要条件为数量积为0，展开数量积表达式后代入数值求解即可. 【详解】因为，， 所以，，. 因为，所以，即. 所以，解得. 14. 在棱长为3的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围. 【详解】 如图，设点在平面内的投影为点,则平面, 因平面,则 因三棱柱为棱长为3的正四面体， 故,, 又，则, 即点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆. 分别以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系. 设点易得, 则, 故， 设直线与直线所成角为，则， 因，则故. 故答案为： 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2）7 （3）-121 【解析】 【分析】（1）根据向量数乘以及加法的坐标运算，可得答案； （2）根据数量积的坐标运算，可求得答案； （3）根据向量的加减法以及数量积的坐标运算，求得答案. 【小问1详解】 由已知， 可得； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 如图，以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 . 因为正方体棱长为 2， 所以 ， 因为为 的中点，所以， 因为 为 的中点，所以， 因为 在棱 上，且 ，所以 ，故 ， 因为 为 的中点， ，所以 ， ， 所以 ， 即 的长为 ； 【小问2详解】 ， 所以 ， ， 设 与 所成角为 ， 则 ， 故 与 所成角的余弦值为 . 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． （1）求平面的法向量； （2）证明：平面． 【答案】（1） （2）由（1）得. 则. 所以. 所以，即. 又因为，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系即可求平面的法向量. （2）利用空间向量可证明，再利用线面垂直的判定定理即可. 【小问1详解】 如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则， 则. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 平面的法向量. 【小问2详解】 略 18. 某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 【答案】（1），平均数为69.5 （2） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，；根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. （2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以， 解得， 所以前两组的频率之和为， 即，所以； 平均数为， 【小问2详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有，，，，，．，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． 19. 已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值; （2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值； （2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解． 【详解】（1）因为，， 所以函数 ∴当时， （2）∵为锐角三角形，. 又 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级阶段性知识演练（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中是假命题的是（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 10. 如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 直线的一个方向向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 13. 已知向量，，若，则________． 14. 在棱长为3的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为__________. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，求： （1）； （2）； （3）. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． （1）求平面的法向量； （2）证明：平面． 18. 某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 19. 已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值; （2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $