精品解析：山东省济南市莱芜区汶源学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年第1学期阶段性诊断测试九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 9的相反数是（ ） A. B. C. 9 D. 2. 如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　　） A. B. C. D. 4. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ） （1）等边三角形（2）正方形（3）平行四边形 （4）正五边形（5）菱形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案. 11. 因式分解：______． 12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是_________． 13. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 14. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 15. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在菱形中，，垂足为，垂足为． 求证：． 19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 20. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 21. 某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； （4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 22. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点是轴上一动点，连接，，当面积为10时，请求出点的坐标； （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 二次函数的图象经过，两点，顶点为G． （1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标． （2）如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． （3）如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 25. 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考． 思路1：延长至点，使，连接，构造…… 思路2：过点作交延长线于点，构造…… 【迁移应用】 （2）如图2，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图3，已知中，，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接．若，，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第1学期阶段性诊断测试九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 9的相反数是（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案． 【详解】解：9的相反数是， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握相反数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数）的概念． 2. 如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是几何体主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键． 找到从正面看所得到的图形即可，注意从正面看到的所有棱都应表现在主视图中． 【详解】解：这个几何体的主视图是： 故选：B． 3. 2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：B 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 【详解】解：如下图进行标注， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ） （1）等边三角形（2）正方形（3）平行四边形 （4）正五边形（5）菱形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的特征，掌握相关知识是解题的关键，一一判断各个图形是否符合特征即可． 【详解】解：（1）等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； （2）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求； （3）平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合要求； （4）正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； （5）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求； 既是轴对称图形又是中心对称图形的有个． 故选：． 7. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 8. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案. 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比． 13. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 【答案】97 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：97． 14. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 【答案】0.35 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了， ∴小明的速度为：， 小亮0.4小时行驶了， ∴小亮的速度为：， 设两人出发后两人相遇， ∴ 解得， ∴两人出发0.35后两人相遇， 故答案为：0.35 【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 15. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0，1，2 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集， 原不等式组的解集是， ∴整数解为0，1，2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 18. 如图，在菱形中，，垂足为，垂足为． 求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质， 全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出，用证明，由全等三角形的性质可得出， 由线段的和差关系即可得出． 【详解】略 19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 理由如下： 过作，垂足为点     ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 20. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：所对的弧是同弧， ， ， ，即， 为直径， ， ， ， ， ， ， 与相切． （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 21. 某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； （4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】（1）50人 （2）8，144 （3）70 （4）576人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等： （1）用B组人数除以所占百分比即为所求； （2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （3）根据中位数的定义求解； （4）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 即随机抽取的学生人数为50人； 【小问2详解】 解：， 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：8，144； 【小问3详解】 解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70； 【小问4详解】 解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人． 22. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 （2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点是轴上一动点，连接，，当面积为10时，请求出点的坐标； （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】对于（1），先求出反比例函数的解析式，可得点B的坐标，再代入直线关系式得到方程组，求出解即可； 对于（2），先求出点G，再设，则，然后根据可求出答案； 对于（3），设交轴于点，先求出点，再求出，，然后证明，求出，进而求出直线的解析式，最后与反比例函数关系式联立求出解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； 将点代入，解得， ， 把和分别代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线交轴于点，如图1， 令得， 则， 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，如图2，设交轴于点， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， ∴. ∵，， ∴，. ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，用面积差表示出是解题的关键． 24. 二次函数的图象经过，两点，顶点为G． （1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标． （2）如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． （3）如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），顶点G的坐标为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【小问1详解】 解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． 【小问2详解】 解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； 【小问3详解】 解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线． 25. 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考． 思路1：延长至点，使，连接，构造…… 思路2：过点作交延长线于点，构造…… 【迁移应用】 （2）如图2，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图3，已知中，，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接．若，，求线段的长度． 【答案】（1）证明：方法一：延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ． ， ， ， ； 方法二：过点作交延长线于点， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：． 理由：延长至，使，连接，， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由旋转得，， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】对于（1），方法一：延长至，使，连接，根据“边角边”证明，可得，，再结合等腰三角形的性质说明，则答案可证； 方法二：过点作交延长线于点，根据“角角边”证明，可得，再根据已知条件得，进而得出，则答案可证； 对于（2），延长至，使，连接，，可知是的中位线，可得，再由旋转得，，根据等边三角形的性质证明，则答案可得； 对于（3），延长至点，使，连接，根据中位线的性质得，作，垂足为，求出，再说明，可得，进而得出，在上取点，使，则，根据等腰三角形的判定得，然后根据直角三角形的性质得，，最后根据得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长至点，使，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴是的中位线， ∴， 作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴． 由旋转得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ， 在上取点，使，则， ， ， 在中，， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，中位线的定义和性质，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $