精品解析：福建厦门市松柏中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第二章． 第一部分（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点间斜率公式求出直线斜率即可求倾斜角. 【详解】设的倾斜角为， 则由题可得直线斜率为. 故选：C 2. 若，则（    ） A. 4 B. 5 C. 21 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】先求的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：A. 3. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知  ，故直线的方程可化为  ， 由  ，  可得  ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 4. 如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，， ， . 5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 6. 已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量夹角余弦公式计算，再结合同角三角函数关系得出正弦，进而应用面积公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 故选：A. 7. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线恒过点，由此可知到直线的最远距离为，最短距离为0，即可得答案. 【详解】解：将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于 到直线的最短距离为0，此时直线经过点． 又， 所以到直线的距离的取值范围是． 故选：B． 8. 在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线与直线的距离为 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；根据两平行直线间的距离公式即可判断C；举特例判断D． 【详解】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线，化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线化为， 则这两平行直线间的距离为，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在轴，轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 故选：BC． 10. 在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 11. 设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，满足，，，四点共面 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点运动至中点时，平面截正方体的截面图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】AC选项，建立空间直角坐标系，利用相关公式判断AC；B选项，当与重合时，四点共面；D选项，得到平面截正方体的截面图形，并计算出面积. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 则，则， 则，，A正确； B选项，因为，所以四点共面， 故当与重合时，四点共面，故存在点，使得四点共面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 由于，故不是定值，C错误； D选项，当点运动至中点时，取的中点，连接， 则且，所以四边形为平行四边形， 平面截正方体的截面图形为平行四边形，且， 面积为，D正确. 第二部分（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【解析】 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 13. 已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围． 【详解】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【小问1详解】 设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； 【小问2详解】 设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 16. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【小问1详解】 记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 【小问2详解】 ，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在梯形中，，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 易知． 因为是的中点，点是的中点， 所以，． ，． 设平面的法向量为， 则得 取，则，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【小问1详解】 如图所示：设的边上的高为，边上的高为， 设：，：，联立得， 解得，所以垂心； 【小问2详解】 ， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. 【小问3详解】 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为是等腰三角形，，是的中点， 所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. （2） （3） 不存在，理由如下： 假设线段上存在点，使得平面， 则设，. 因为，，， 所以. 因为平面，所以， 故，即， 解得，与矛盾，所以假设不成立. 因此线段上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理进行证明； （2）过点作直线，交于点，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行向量运算求解； （3）设，，利用空间向量的运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作直线，交于点. 因为，，所以，. 又因为平面，所以，， 故如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设平面的法向量，则，即. 令，则，，于是. 平面的法向量. 所以， 因此，锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第二章． 第一部分（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（    ） A. 4 B. 5 C. 21 D. 26 3. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 7. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线与直线的距离为 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10. 在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，满足，，，四点共面 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点运动至中点时，平面截正方体的截面图形的面积为 第二部分（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 13. 已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线． 16. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $