精品解析：福建省厦门市厦门大学附属科技中学2025-2026学年高二上学期第三次阶段性测试数学试题

厦门大学附属科技中学2025-2026学年上学期第三次阶段性测试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 高二数学备课组命制 高二数学备课组审核 2025.12.24 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 已知正项等比数列，若=9，则（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 3. 已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 18 B. 13 C. D. 5. 已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 设，分别是椭圆E的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，.记是数列的前项和，则（ ） A. 1325 B. 1300 C. 1350 D. 1375 8. 设球是棱长为2的正方体的外接球，为的中点，点在球面上运动，且总有则点的轨迹的周长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题中，正确是（ ） A. 向量与向量不平行 B. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 C. A，B，C三点不共线，任取空间一点，若，则P，A，B，C四点共面 D. 已知向量在向量方向上的投影向量为，，，则 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 11. 已知曲线下有一系列正三角形，第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，数列的前n项和为，则（ ） A. 第1个正三角形的周长为2 B. 为 C. D. 数列的通项公式为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为______. 13. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，使得点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是_____. 14. 某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2024年年底该公司速生林木保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2025年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米，则与之间的递推关系为______；若要实现规划速生林木保有量实现由2024年底的200万立方米翻两番的目标，则的最小值为_______. （参考数据：，，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点作圆切线，求的方程； （2）已知直线，判断直线与圆位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 16. 已知数列的前项和为，其中． （1）求实数的值以及数列的通项公式； （2）设是数列的前项和，求． 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，且平面⟂平面为的中点. （1）求证：平面. （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离. 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 19. 已知双曲线：的离心率为2，点在上，为的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点. （1）求的方程； （2）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； （3）设，分别为和的外接圆面积，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属科技中学2025-2026学年上学期第三次阶段性测试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 高二数学备课组命制 高二数学备课组审核 2025.12.24 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2. 已知正项等比数列，若=9，则（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得，由于，所以， 故选：B. 3. 已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以， 故选：D． 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 18 B. 13 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知依旧成为等差数列，据此求解. 【详解】由，可设， 为等差数列，为等差数列， 即成等差数列， ， 即. 故选：D. 5. 已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆相交，求出两圆公共弦方程，由点在两圆的公共弦上，得，根据均值不等式求出的最小值. 【详解】由题知：圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径， 易证得，故两圆相交， 则其公共弦的方程为， 即，则在，即有， 则， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为． 故选：C． 6. 设，分别是椭圆E的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由求出，由求出， 由求出，由得到，在中，由勾股定理得，代入数值计算得到，在中，由勾股定理得，代入数值计算得到，利用公式求出离心率. 【详解】设，，，， ，，， ，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 7. 在数列中，，.记是数列的前项和，则（ ） A. 1325 B. 1300 C. 1350 D. 1375 【答案】B 【解析】 【分析】按n为奇数，偶数分类，然后结合等差数列求和公式可得答案. 【详解】当为奇数，由题可得，即数列所有奇数项为首项为1，公差为1的等差数列， 则； 当为偶数，由题可得，即数列所有相邻偶数项和为1， 则， 从而. 故选：B 8. 设球是棱长为2的正方体的外接球，为的中点，点在球面上运动，且总有则点的轨迹的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，结合线面垂直的判定定理证明平面，从而确定点的轨迹为平面与外接球的交线，由向量法得出点到平面距离，结合外接球的半径以及圆的弦长公式得出截面圆的半径，最后由圆的周长公式得出点的轨迹的周长. 【详解】如图，根据题意，该正方体的外接球半径为 由题意，取的中点，连接 以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 则， 又平面， 平面 点的轨迹为平面与外接球的交线 设点到平面距离为，则 到过平面距离 截面圆的半径 点的轨迹周长为 故选：A 【点睛】本题主要考查了立体几何中的轨迹问题，涉及了线面垂直的证明以及利用向量法求点到平面的距离，属于较难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 向量与向量不平行 B. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 C. A，B，C三点不共线，任取空间一点，若，则P，A，B，C四点共面 D. 已知向量在向量方向上的投影向量为，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量平行的条件可判断A；根据空间向量基本定理可判断BC，根据投影向量和模长公式可判断D. 【详解】对于A，因为，因此和不平行，故A正确； 对于B，假设向量，，共面，则存在实数，满足， 所以，因为为空间的一个基底， 则，解得，故向量，，共面， 所以，，不能构成空间的另一基底，故B错误； 对于C，因为A，B，C三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D，由题可得；，所以， 又因为，，所以， 所以故D正确. 故选：ACD. 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A.根据抛物线方程，直接求准线方程；B.根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题求解；C.利用点差法求直线方程；D.根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断. 【详解】A.抛物线，其准线方程为，故A错误； B. 如图所示，过点作准线于点，则，所以，当且仅当共线时，（即图中）最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即，故C错误； D.设，，则，且的中点坐标为，中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：BD 11. 已知曲线下有一系列正三角形，第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，数列的前n项和为，则（ ） A. 第1个正三角形的周长为2 B. 为 C. D. 数列的通项公式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题意由正三角形求得点，代入曲线，即可求解；对于B，由图可得，即可判断，对于C，将点坐标代入曲线，整理即可判断；对于D，由项与和的关系化简得到，利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】对于A，设第1个正三角形的边长为，则， 因为在曲线上，所以，两边平方得：，因为， 所以，则第1个正三角形的周长为，A正确； 对于B，前个正三角形的边长和为，则的坐标为， 第个正三角形的边长为，因此的横坐标为，纵坐标为， 则，B正确； 对于C，因为在曲线上，所以， 两边平方得：，即，C错误； 对于D，当时，由，可得， 两式相减可得， 化为，由，可得， 而，所以数列是首项和公差均为的等差数列，所以，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离向量求法计算即得. 【详解】依题意，， 所以点到的距离. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，使得点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案． 【详解】圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以关于直线的对称点为， 由题意得，以为圆心，以为半径圆与圆有公共点， 由圆的方程知，圆心为,半径为2. 所以，即，解得：. 所以的取值范围是， 故答案为： 14. 某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2024年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2025年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米，则与之间的递推关系为______；若要实现规划速生林木保有量实现由2024年底的200万立方米翻两番的目标，则的最小值为_______. （参考数据：，，，） 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据题意求出，建立，通过构造等比数列，设，求出的值，利用等比数列的通项公式求解出，可得数列是单调递增数列，由题意翻两番可得，计算和即可得到的最小值. 【详解】第一空：，，即； 第二空： 设，则， 结合可知，解得， 故，即， 则等比数列，公比，首项为， 故，即，则单调递增数列， 设，即， 当时，， 当时，， 当时，， 故要实现规划速生林木保有量实现由2024年底的200万立方米翻两番的目标， 则的最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】（1）或 （2）相交，弦长为 【解析】 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线截圆所得弦长. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 16. 已知数列的前项和为，其中． （1）求实数的值以及数列的通项公式； （2）设是数列的前项和，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，由解得，由结合即可求得，也适合，即可求解； （2）利用裂项相消法求和求得. 【小问1详解】 当时，，所以，则， 当时，， 又也适合，所以； 【小问2详解】 因为， 所以数列的前项和． 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，且平面⟂平面为的中点. （1）求证：平面. （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线可证四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角得出，再由点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 取的中点F，连接，， 因为E是的中点，所以，， 又因为，所以， 可知四边形是平行四边形， 则，且平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在平面内过点B作垂直于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，可得，且， 以B为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则 可得， 设平面的法向量为，则， 取，则，可得， 平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为，且为锐角， 则，解得. 又，则平面的法向量， 所以点到平面的距离. 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； 【小问2详解】 （i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 19. 已知双曲线：的离心率为2，点在上，为的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点. （1）求的方程； （2）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； （3）设，分别为和的外接圆面积，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）直线恒过定点.理由见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和已知点计算得到双曲线的方程； （2）设，直线的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理写出直线的方程，进而可得点的坐标，又三点共线，利用斜率相等，解得，即可得出答案； （3）设，分别为和的外接圆的半径，由正弦定理可得，可得，设直线的方程为，与双曲线的方程联立，由韦达定理得的范围，结合弦长公式及函数性质进而可得答案. 【小问1详解】 根据题意，，解得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 直线恒过定点. 理由：设，直线的方程为，联立， 整理得， 则，， 所以， 所以，所以， 直线，所以，又三点共线，所以， 即，即， 所以，即， 因为，所以， 所以， 整理可得， 所以，所以直线恒过定点； 【小问3详解】 设，分别为和的外接圆面积，，分别为和的外接圆的半径， 由正弦定理可得，所以， 即，设直线的方程为， 联立，整理得， 则， 又，即， 所以，所以， 所以，即， 解得，又因为 ， 所以 因为，所以，即 因为，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $