精品解析：福建厦门沧江高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

沧江高级中学2026—2027学年高二上学期10月质量检测 数学试题 命卷人：周芷涵 审核人：曾桂招 本试卷共4页，19小题，满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知点，点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】空间向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故． 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程求出斜率，再根据，求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 则，且. 所以. 故选：. 【点睛】本题考查直线斜率的定义，属于基础题. 3. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵在空间直角坐标系中，轴垂直平面， 即平面，又，， 即是平面的一个法向量. 4. 若直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的点斜式直接得解. 【详解】由已知直线的斜率为，且经过点， 则根据直线的点斜式可知直线方程为， 即. 5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与斜交 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系. 【详解】∵，， ∴即， ∴∥或. 故选：C. 6. 已知空间向量，的夹角为，且，，则为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，的夹角为，所以， 所以， 所以. 7. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求出，即可根据投影向量求出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 8. 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．经过点且方向向量为的直线方程为．用以上知识解决下面问题：中国古建筑的斗拱是榫卯营造技艺的瑰宝，层层构件相互咬合，撑起宏大的屋檐.在空间直角坐标系中，某斗拱构件所在平面的方程为，一根木质斜杆穿过构件，斜杆对应的直线l的方程为，则斜撑杆（直线l）与斗拱构件平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知定义可确定平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量求法可求得结果. 【详解】由题意知：平面的一个法向量，直线的一个方向向量， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. 可以为空间的一组基底 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于选项B， ，故B正确； 对于选项C，设，则，方程组无解，所以不共面，即可以为空间的一组基底，故C正确； 对于选项D， ，则，故D正确. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，四边形为正方形，，平面，，点在棱上，且，则（ ） A. 当时， B. 当时，平面 C. 当点在线段上运动时，的最小值为1 D. 当点在线段上运动时，点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可． 【详解】因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， ，则，故， 对于A，当时，，， 故，即，A正确； 对于B，当时，，故， 而， 所以，，即，， 又因为，平面， 故平面，B正确； 对于C，，， 故， 当时等号成立，故的最小值为，C错误； 对于D，直线的单位方向向量，，， 故点到直线的距离， 当时等号成立，故点到直线的距离的最小值为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】联立两条直线的方程，得，由第一式得， 代入第二式得，从而，所以交点坐标为． 13. 已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，利用数量积求夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为两条异面直线的方向向量分别是,， 所以, ，, 因为两条异面直线所成的角为， 所以. 故答案为： 14. 设为关于x的多项式.对于任意，将化简成关于h的多项式，把其中不含h的部分称为在x处的“瞬时变化值”，记为．例如，当时，，所以．已知，函数．将的图象记为直线，直线与轴、轴分别交于两点，坐标原点为．则周长的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知定义可得直线方程为，从而可求出，则的周长，再利用导数方法即可求周长的最小值. 【详解】由得. 所以，则. 所以直线方程为. 令，得，则；令，得，则. 所以. 所以的周长 设，由得. 所以，则，所以在上单调递增. 所以. 所以周长的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的夹角公式可得答案； （2）利用空间向量垂直的坐标表示可得答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，所以，； 因为， 所以，解得. 16. 已知三角形的三个顶点，，． （1）求边所在直线方程；（写出一般式方程） （2）若点B与C中点为点D，求所在直线方程．（写出一般式方程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 边所在直线方程为，化为一般式方程为； 【小问2详解】 由题意得，即， 所以所在直线方程为，化为一般式方程为. 17. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）设，，，用，，表示； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1） （2）由（1）得，又， 又，，， 所以 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理可表示向量； （2）利用基底法可得向量数量积，即可得证； （3）利用基底法求向量模长. 【小问1详解】 由已知可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得， 又，，，． 则 . 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点， ①证明：∥面； ②求直线与平面间的距离； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 【答案】（1） ①如图，取的中点，连接，有，， 又，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以∥面； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①取的中点，连接，先根据题意证明四边形是平行四边形，再证明∥面；②建立空间直角坐标系，通过空间向量可求直线与平面间的距离. （2）设，利用向量法求得正弦值的最大值，即此时的值，从而求得三棱锥的体积． 【小问1详解】 ①略 ②如图，取的中点，连接， 因为，所以， 由， 四边形是正方形，有， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有， 以坐标原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，知， 从而有，， 有， 设平面的法向量为， 由，取，则， 得平面的一个法向量为， 因为∥面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以与平面间的距离为. 【小问2详解】 ， 设， ， 底面的一个法向量为, 设直线与底面所成的角为， 所以， 当时，； 当时，， 当时，取最大值， 此时， 所以到平面的距离为， 又，所以此时三棱锥的体积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧江高级中学2026—2027学年高二上学期10月质量检测 数学试题 命卷人：周芷涵 审核人：曾桂招 本试卷共4页，19小题，满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知点，点，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 3. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与斜交 6. 已知空间向量，的夹角为，且，，则为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．经过点且方向向量为的直线方程为．用以上知识解决下面问题：中国古建筑的斗拱是榫卯营造技艺的瑰宝，层层构件相互咬合，撑起宏大的屋檐.在空间直角坐标系中，某斗拱构件所在平面的方程为，一根木质斜杆穿过构件，斜杆对应的直线l的方程为，则斜撑杆（直线l）与斗拱构件平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. 可以为空间的一组基底 D. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 11. 如图，四边形为正方形，，平面，，点在棱上，且，则（ ） A. 当时， B. 当时，平面 C. 当点在线段上运动时，的最小值为1 D. 当点在线段上运动时，点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线的交点坐标是______． 13. 已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角的余弦值为______． 14. 设为关于x的多项式.对于任意，将化简成关于h的多项式，把其中不含h的部分称为在x处的“瞬时变化值”，记为．例如，当时，，所以．已知，函数．将的图象记为直线，直线与轴、轴分别交于两点，坐标原点为．则周长的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求实数k的值． 16. 已知三角形的三个顶点，，． （1）求边所在直线方程；（写出一般式方程） （2）若点B与C中点为点D，求所在直线方程．（写出一般式方程） 17. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）设，，，用，，表示； （2）求证：； （3）求的长． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点， ①证明：∥面； ②求直线与平面间的距离； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $