精品解析：辽宁朝阳市双塔区联考2026－2027学年八年级上学期10月质量跟踪监测数学试题

阶段质量跟踪监测八年级数学试卷 （试卷满分120分，测试时间90分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数：，3.14159，，π，1.010010001…，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根和算术平方根，无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：， 无理数有，π，1.010010001…， ∴无理数有3个， 故选：A． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可． 【详解】根据勾股数的定义可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数，熟练勾股数的定义是解决本题的关键． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，求平方根，求立方根，二次根式的乘法． 分别计算后判断即可． 【详解】A． ，原计算错误； B． ，原计算错误； C． 无法进一步计算，原计算错误； D． ，原计算正确； 故选：D． 4. 在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 5. 两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（     ） A. 南偏东 B. 北偏西 C. 南偏东或北偏西 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，海里，海里，， ∵，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴乙船的航向为南偏东或北偏西， 故选：． 6. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为（ ）尺. A. 10 B. 12.5 C. 14.5 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用、解一元一次方程，过点B作，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点B作， 由题意得，，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 故选：C． 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．因为和不是同类二次根式，不能合并；根据合并同类二次根式的法则，可得：；根据二次根式的乘法法则，可得：；根据二次根式的除法法则，可得：． 【详解】解：A选项：和不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误； B选项：根据合并同类二次根式的法则，可得：，故B选项错误； C选项：根据二次根式的乘法法则，可得：，故C选项错误； D选项：根据二次根式的除法法则，可得：； 故D选项正确． 故选：D． 8. 下列说法：（1）是的平方根；（2）任何数都有立方根；（3）一个正数的两个平方根之和为；（4）的算术平方根是；（5）平方根等于它本身的数是和：（6）无限小数一定是无理数．其中错误的有（　　）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数，熟练掌握平方根、立方根、无理数的概念是解题的关键．根据平方根、立方根、无理数的概念逐一判断即可． 【详解】解：（1）是的平方根，故原说法正确； （2）任何数都有立方根，故原说法正确； （3）一个正数的两个平方根之和为，故原说法正确； （4）的算术平方根是，故原说法错误； （5）平方根等于它本身的数是，故原说法错误； （6）无限小数不一定是无理数，故原说法错误； 错误的有个． 故选：C ． 9. 如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求得AB与BD的长度，根据勾股定理求得直角三角形中AD的长度，从而根据圆的面积公式求得半圆的面积. 【详解】由题意可得，BD=6，AB=10， 则在直角三角形ABC中，AD=8， 则以AD为直径的半圆的面积为：. 故选B 【点睛】本题考查了正方形与勾股定理的综合运用，利用正方形的面积求出AB与BD的长度是解题的关键. 10. 如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，勾股定理. 由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：作， 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 又∵，， ∴按手势解锁一次的路径长为：． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，列出不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求，即， 解得． 12. 若，则正整数的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行二次根式的加减运算，然后估算结果的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴正整数的值4． 故答案为：4． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则_______． 【答案】1.5 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵将△ABC折叠得△AB′E ∴AB′＝AB，B′E＝BE ∴B′C＝5－3＝2 设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x 在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2 ∴（4－x）2＝x2＋22 解得 故答案为：1.5 14. 如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点A表示，点B是原点．以点A为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点P，Q，则点P表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据勾股定理在数轴上表示无理数． 根据正方形边长以及结合勾股定理求出，观察数轴得出点在点的左侧，再列式表示出点表示的数，即可作答． 【详解】解：正方形的边长是1， 正方形的对角线为， ， 观察数轴得出点在点的左侧， ∴点表示的数是． 故答案为：． 15. 如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为、、、盒子高为．一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的侧面爬行到点，为所在边的中点，蚂蚁要爬行的最短路程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三棱柱的侧面展开图、两点之间线段最短、勾股定理，解决本题的关键是画出三棱柱的侧面展开图，运用勾股定理求出爬行的路径长度，通过比较求出最短路程．当点是的中点时，根据题意可知、，利用勾股定理求出；当点是的中点时，根据题意可知，，利用勾股定理求出；通过比较可知最短路程长为. 【详解】解：∵， ∴三棱柱的底面是直角三角形， 由题意可知，四边形是矩形， ，，， ，点是的中点， ， ， ； 如下图所示， 由题意可知，四边形是矩形， ，，， ，点是的中点， ， ， ； ， ， 蚂蚁爬行的最短路径是． 故答案为：． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 解得：或 17. 已知图中的每个方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点在格点上，称为格点三角形，请按要求完成下列各题 （1）填空： AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　； （2）试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）3，2，； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB2＝45，BC2＝20，AC2＝65， AB2+BC2＝45+20＝65， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长； （2）由勾股定理的逆定理即可作出判断． 【详解】（1）根据勾股定理即可得到：AB2＝62+32＝45，BC2＝42+22＝20，AC2＝72+42＝65， 则AB＝3，BC＝2，AC＝． 故答案为3，2，； （2）略 【点睛】主要考查学生对勾股定理和勾股定理逆定理的理解和掌握，利用勾股定理求得△ABC的三边的长是解决本题的关键． 18. 按要求解答下列各题： （1）如图，化简． （2）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由数轴得到，，然后化简绝对值和算术平方根后合并即可； （2）首先根据平方根和立方根的定义得到，，然后代入求解平方根即可． 【小问1详解】 解：由数轴得，， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴，9的平方根是， ∴的平方根是． 19. 请根据如图所示的对话内容回答下列问题. （1）求该魔方的棱长； （2）求该长方体纸盒的长. 【答案】（1）6cm；（2）10cm. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答； （2）根据题意列出方程，由算术平方根的性质即可解答． 【详解】解：（1）设魔方的棱长为xcm， 由题意可得，，所以. 答：该魔方的棱长为6cm； （2）设该长方体纸盒的长为ycm， 由题意可得，，所以. 答：该长方体纸盒的长为10cm. 故答案为（1）6cm；（2）10cm. 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的应用，解决本题的关键是熟记算术平方根、立方根的定义． 20. 如图，在五边形中，，，，，，，，连接、． （1）求和的长； （2）求五边形的面积． 【答案】（1）； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由，，可得，，根据勾股定理可得，； （2）再由勾股定理的逆定理证明，继而根据五边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ，， ，，，， ，， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 五边形的面积为： ． 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）此时物体C升高了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 22. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， （1）特例5：________（填写运算结果）； 观察、归纳，得出猜想． （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：________； 应用运算规律： （3）①化简：________； ②若（a，b均为正整数），则的值为________． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据规律可以直接写结果； （2）根据规律，归纳可得其运算规律； （3）①根据运算规律，可以直接写出的值，再进行计算； ②根据运算规律，求出a、b的值，再进行计算即可得其值． 【小问1详解】 解：根据规律可得：； 【小问2详解】 解：运算规律为：； 【小问3详解】 解：① ； ②∵， ∴，， ∴． 23. 综合与实践 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； （2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值． 【答案】（1） ，且， 即， 则． （2）该飞镖状图案的面积是24 （3） 【解析】 【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设，依题意有 ， 解得， ． 故该飞镖状图案的面积是24． 【小问3详解】 将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，， 由图得出， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出，再利用求出是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段质量跟踪监测八年级数学试卷 （试卷满分120分，测试时间90分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数：，3.14159，，π，1.010010001…，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（     ） A. 南偏东 B. 北偏西 C. 南偏东或北偏西 D. 无法确定 6. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为（ ）尺. A. 10 B. 12.5 C. 14.5 D. 16 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法：（1）是的平方根；（2）任何数都有立方根；（3）一个正数的两个平方根之和为；（4）的算术平方根是；（5）平方根等于它本身的数是和：（6）无限小数一定是无理数．其中错误的有（　　）个 A. B. C. D. 9. 如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 12. 若，则正整数的值是________． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则_______． 14. 如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点A表示，点B是原点．以点A为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点P，Q，则点P表示的数是__________． 15. 如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为、、、盒子高为．一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的侧面爬行到点，为所在边的中点，蚂蚁要爬行的最短路程是________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知图中的每个方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点在格点上，称为格点三角形，请按要求完成下列各题 （1）填空： AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　； （2）试判断△ABC的形状，并说明理由． 18. 按要求解答下列各题： （1）如图，化简． （2）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 19. 请根据如图所示的对话内容回答下列问题. （1）求该魔方的棱长； （2）求该长方体纸盒的长. 20. 如图，在五边形中，，，，，，，，连接、． （1）求和的长； （2）求五边形的面积． 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 22. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， （1）特例5：________（填写运算结果）； 观察、归纳，得出猜想． （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：________； 应用运算规律： （3）①化简：________； ②若（a，b均为正整数），则的值为________． 23. 综合与实践 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； （2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $