第20讲、同角三角函数的基本关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦同角三角函数的基本关系这一核心知识点，系统梳理平方关系（sin²α+cos²α=1）和商数关系（tanα=sinα/cosα），通过常用等价变形（如sin²α=1-cos²α等）搭建知识支架，衔接概念理解与解题应用，形成从基础关系到变形技巧再到方法总结的递进脉络。 该资料以“知识点-解题必备-经典题型”为清晰框架，通过“知一求二”“齐次式应用”等题型设计，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。例如题型一通过分类讨论角的象限引导逻辑推导，题型二将整式转化为分式训练符号运算，课中助力教师系统授课，课后便于学生针对性练习查漏补缺。

第20讲、同角三角函数的基本关系 目录 知识点1 同角三角函数的基本关系 1 知识点2 常用等价变形 2 【解题必备】 2 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 3 题型二 正余弦齐次式的应用 4 题型三 sinα·cosα、sinα±cosα关系 6 题型四 三角函数式的化简求值 7 题型五 三角恒等式的证明 7 01 学习新知 知识点1 同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 2、基本关系式的要点剖析 （1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立． （2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立． 知识点2 常用等价变形 1、平方关系变形： 2、商数关系变形： 【注意】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题． 【解题必备】 1、已知某个三角函数值求其它三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值． 2、弦化切求齐次式的值的方法 已知角的正切值， （1）求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以；求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以，将正、余弦转化为正切形式，从而求值． （2）求形如的整式的值，可将整式看成分母为1的分式，再将分母1变形为，转化为的分式求解． 02 经典题型 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 1. 已知sin α=-，求cos α，tan α的值. 解　因为sin α<0，sin α≠-1，所以α是第三或第四象限角. 由sin2α+cos2α=1得cos2α=1-sin2α=1- 如果α是第三象限角，那么cos α<0.于是cos α=-， 从而tan α= 如果α是第四象限角，那么cos α= 2. 已知cos α=-求sin α，tan α的值. 解　∵cos α=-<0，∴α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α=tan α==-； 当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α=-=-=-tan α=. 3. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】由已知得 由①得，代入②得， 所以．又，所以，所以． 4. 已知sin α+3cos α=0，求sin α，cos α的值. 解　∵sin α+3cos α=0，∴sin α=-3cos α. 又sin2α+cos2α=1，∴(-3cos α)2+cos2α=1，即10cos2α=1，∴cos α=±. 又由sin α=-3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时，cos α=-sin α=； 当角α的终边在第四象限时，cos α=sin α=-. 5. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，则， 故.故选：A 题型二 正余弦齐次式的应用 6. 已知tan α=-4，求的值. 解　=. 7. 若角的终边经过点，则的值为 . 【答案】 【解析】因为角的终边经过点， 所以，所以. 故答案为： 8. 已知，则 ． 【答案】 【解析】，故答案为： 9. 已知，则 . 【答案】 【解析】 . 10. 已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【解析】 故选：C. 11. 【练习】已知=-1，求sin2α+sin α·cos α+1的值. 解　方法一　(弦化切) 由=-1，得tan α=1， 所以sin2α+sin αcos α+1== ===2. 方法二　因为=-1，所以sin α=cos α， 所以sin2α+sin αcos α+1=sin2α+cos2α+1=2. 题型三 sinα·cosα、sinα±cosα关系 12. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，又，所以，所以， 又， 所以.故选：A. 13. 已知sin θ+cos θ=0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值. 解　因为sin θ+cos θ=0<θ<π)，所以(sin θ+cos θ)2= 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=所以sin θcos θ=- 所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ-cos θ>0， 所以sin θ-cos θ==. 14. （多选）已知α为锐角，且则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为，所以，而α为锐角，所以，故A错误；由，两边平方可得，故C正确；因为α为锐角，所以，故D正确； 由，故B错误.故选：CD 题型四 三角函数式的化简求值 15. 化简：. 解　原式===1. 16. 化简：+(1+tan2α)·cos2α. 解　原式=cos2α =·cos2α =1+1=2. 题型五 三角恒等式的证明 17. 证明：. 证明　方法一　左边== ===右边. 所以原等式成立. 方法二　因为(sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α =sin αcos α+cos α-(1-sin2α)=cos α(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α) =(1+sin α)(cos α-1+sin α)=(1+sin α)(sin α+cos α-1)， 且sin α+cos α-1≠0，cos α≠0， 所以. 18. 求证：. 证明　方法一　左边===右边. 所以原等式成立. 方法二　右边====左边. 所以原等式成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $第20讲、同角三角函数的基本关系 目录 知识点1同角三角函数的基本关系…1 知识点2常用等价变形.。 .2 【解题必备】 2 题型一sinc、cosa、tana知一求二 …3 题型二正余弦齐次式的应用4 题型三sina.c0sa、sin0吐cosd关系. 题型四三角函数式的化简求值. 5 题型五三角恒等式的证明 ..6 01 学习新知 知识点1同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2a+cos2a=1 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 sina 同一个角“的正弦、余弦的商等于角的正 商数关系 tana= cosa 切 2、基本关系式的要点剖析 (1)“同角”有两层含义，一是角相同”；二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关 系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23a+cos23a=1成立，但是 sin2aw+cos2B=1就不-定成立 (2)sin2a是(sin)°的简写，读作-sina的平方，不能将sin2a写成sina2, 前者是 “的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写. (3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的 tana= sina a≠T+kπ(k∈Z) sina+cos2a=1对-切a∈R恒成立，而 cosa仅对2 成立. 1 知识点2常用等价变形 sin2a=1-cos2 a cos2 a =1-sin2a sin2a+cos2a=1→ sina=±V1-cos2a cosa=±V1-sin2a 1、平方关系变形： (sina+cosa)2=1+2sin a cosa sina tana cosa sina tan a → sina cosa cos a= 2、商数关系变形： tan a 【注意】使用变形公式sina=tV1-cosa,cosa=士V1-sin'a时，士"由&的终边 所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题· 【解题必备】 1、已知某个三角函数值求其它三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值. 2、弦化切求齐次式的值的方法 已知角0的正切值， asina+bcosa (1)求形如csina+d cosa的分式的值，可将分子、分母同时除以cosa;求形如 asin2a+bsina cosa+ccos2a dsin2a+esinacos+fcos'a的分式的值，可将分子、分母同时除以cos,将正、 余弦转化为正切形式，从而求值. (2)求形如asina+bsina cosa+ccos2a的整式的值，可将整式看成分母为1的分 asin'a+bsina cosa+ccos2a 式，再将分母1变形为sina+cosa,转化为 sin-a+cos-a 的分式 求解. 3 02 经典题型 题型一sina、cosa、tanu知一求二 1.已知m&一号求o的值 3 2已知cosa-亏，求sin a.tan a的值 3π 3. 已知a∈元，2 tana=2 求cosa的值 4.已知sint3cosc-0,求sina,cosa的值 5.若cos4=t,则tan4=() 4 A.--2 B.-2 t c,-- D:1-P 题型二正余弦齐次式的应用 6.已知tana=4,求 sin&-2cosc的值 5cosa+3sina sina+3cosa 7.若角a的终边经过点(L,-),则6cosa-2sina的值为一 sin2a-2cos2a &已知ana=3则2sima+cosa 3 9.已知tana= 42sina cosa-sin'a+1=- 10已知am0=行则。 sin0+sine os0+sin0cos26=（） 1 A.6 B·6 C.z D.2 1.【练习可】已知na+cos81,求sma+sin acosal的值 5 题型三sina.cosa、sina士c0sa关系 1 12.已知sinacosa=- 8a∈(0，)则sina-cosa=（） A.V5 2 B.⑤ 2 c.v3 2 D.、3 2 13.已知sm8Heos0号00.求sn9cas9和sm9eo0s9的值 14,(多选)已知u为锐角，且cosa-sina=则下列逃项中正确的有（) ππ A.ae'2) B,ma-号 C.sinacosa-12 7 D.sina+cosa= 5 5 题型四三角函数式的化简求值 1+2sin10°cos10° 15.化简： cos10°+V1-c0s210° 2cosa-+tana)cosa. 16.化简：1-2sin2a 6 、 小 题型五三角恒等式的证明 17.证明： sina-cosa+1_1+sina sina+cosa-1 cosa 18.求证： 1+2sina cosa tana+1 sin'a-cos2a tana-1 8