专题08 探索三角形相似的条件（六大题型24道题） 《典例全解·题型通关》-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题08 探索三角形相似的条件（六大题型24道题） 目录 知识点一利用两角对应相等判定相似 1 知识点二利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 3 知识点三利用三边对应成比例判定相似 6 知识点四选择或补充条件使两个三角形相似 9 知识点五相似三角形的判定综合 12 知识点六黄金分割 16 知识点一利用两角对应相等判定相似 1．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 即图中相似三角形的对数为6对． 2．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 3．在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合已知可得，，由两角相等可证． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 4．已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 【答案】分三种情况证明： 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴； 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上，三种情况均得． 【分析】通过平行线的性质和相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：略． 知识点二利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 5．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得出结果. 【详解】解：的顶角度数未知，故C,D选项中的三角形不一定与相似； ∵， 故A选项中的三角形与不相似； ∵， 故B选项中的三角形与相似. 6．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 7．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有____________． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 8．如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点．与是否相似，为什么？ 【答案】解：相似．理由如下： 设正方形的边长为，则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 又， ∴． 【分析】设正方形的边长为，证明，即可证明． 【详解】略． 知识点三利用三边对应成比例判定相似 9．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得三角形的三边的长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似，判断解答即可． 【详解】解：在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上， ，，， A. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； B. 三角形的最小边的长为，较长的边长为3，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； C. 三角形的最小边的长为，较长的边长为4，最长的边长为， 此时， 故 三边对应成比例，此三角形与相似； D. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为4，此时， 三边不成比例，此三角形与不相似． 10．如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 11．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 12．已知：如图，在和中，，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 知识点四选择或补充条件使两个三角形相似 13．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 14．如图，在中，点分别是边上的点，补充下列条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、根据，不能判定和相似，故该选项符合题意； D、∵，， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 15．如图，已知D，E分别是的边，上的点，点E与点B是对应点，，当_____时，． 【答案】 【分析】本题考查了选择或补充条件使两个三角形相似，解题关键是掌握相似三角形的判定并能运用来求解． 根据相似三角形的判定求解． 【详解】解：当时，和满足： 为公共角，即， ． 根据两角对应相等的两个三角形相似，成立． 故答案为：． 16．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，可添加或或（答案不唯一）． 【详解】本题考查了相似三角形的判定，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，或“两角对应相等，两三角形相似”即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 解：不定相似，因为和不是成比例的两边的夹角。 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 得到。 故可添加：，或或（答案不唯一）． 知识点五相似三角形的判定综合 17．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：D． 18．如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．由，，得，则，由，得，因为，所以，则，所以，则，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：B． 19．如图，在四边形中，，．是上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若与边始终有公共点，则长的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作交延长线于，证明，再证明，根据始终与有交点，找到临界位置求出最小值． 【详解】解：过作直线于，设交于， 则， 由题意：，， ， 又， ， ， 在和中： , ， ，， 设， 则，，， 即， 又， ， ， ， 则， 若与边始终有公共点， 则恒成立， ． 20．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 知识点六黄金分割 21．一个底与腰的长度比为黄金分割比（黄金分割比为）的等腰三角形称为黄金三角形．若一个黄金三角形的底边长度为，则其腰的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该黄金三角形的腰长为，再结合黄金三角形的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设该黄金三角形的腰长为， ∵底与腰的长度比为，底边长为， ∴， ∴， ∴， ∴。 ∴． 22．黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由黄金分割的定义列式后，逐项验证即可． 【详解】解：由题意可知，则四个选项中只有正确． 23．一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 【答案】10 【分析】设应穿厘米的鞋子，根据黄金分割的比例关系列方程求解即可． 【详解】解：设她应穿厘米高的鞋子，原下半身长为厘米，穿鞋子后下半身长为 厘米，总身高为厘米， ∵ 黄金分割要求下半身长与总身高的比为黄金比， ∴ ， ∴ ， 去括号，整理得， 解得， 经检验是原方程的根，结果符合题意． 答：她应穿10厘米的鞋子才能好看． 24．已知线段，点P是线段的黄金分割点（）． (1)求线段的长； (2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）依据题意，根据黄金比值计算即可得解； （2）依据题意，由平分，可得P到的距离相等，从而，又由（1），再结合，即可得解． 【详解】（1）解：点P是线段的黄金分割点，， ， （2）平分， P到的距离相等， ， 又由（1）， ， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题08 探索三角形相似的条件（六大题型24道题） 目录 知识点一利用两角对应相等判定相似 1 知识点二利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 2 知识点三利用三边对应成比例判定相似 3 知识点四选择或补充条件使两个三角形相似 4 知识点五相似三角形的判定综合 5 知识点六黄金分割 7 知识点一利用两角对应相等判定相似 1．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 2．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 4．已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 知识点二利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 5．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有____________． 8．如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点．与是否相似，为什么？ 知识点三利用三边对应成比例判定相似 9．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 12．已知：如图，在和中，，．求证：． 知识点四选择或补充条件使两个三角形相似 13．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，点分别是边上的点，补充下列条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，已知D，E分别是的边，上的点，点E与点B是对应点，，当_____时，． 16．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 知识点五相似三角形的判定综合 17．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 19．如图，在四边形中，，．是上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若与边始终有公共点，则长的最小值是_____． 20．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 知识点六黄金分割 21．一个底与腰的长度比为黄金分割比（黄金分割比为）的等腰三角形称为黄金三角形．若一个黄金三角形的底边长度为，则其腰的长度为（     ） A． B． C． D． 22．黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 23．一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 24．已知线段，点P是线段的黄金分割点（）． (1)求线段的长； (2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $