专题03 正方形的性质与判定《典例全解·题型通关》（十八大题型54道题）2026-2027学年九年级上册数学北师大版

**基本信息** 以十八大题型系统覆盖正方形性质与判定全维度，54道题构建从概念理解到综合应用的递进式训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|知识点1-7（21题）|选择/填空/解答，含折叠、重叠面积|从性质理解到角度、线段、面积计算，渗透转化思想| |判定应用|知识点8-10（9题）|添条件/证明，结合矩形菱形判定|基于定义与判定定理，构建四边形到正方形的推理链| |性质与判定综合|知识点11-14（12题）|综合计算与证明，关联特殊四边形性质|融合性质与判定，提升综合推理能力| |拓展应用|知识点15-18（12题）|中点四边形、动点、最值问题|延伸至动态几何与对称思想，培养空间观念|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题03 正方形的性质与判定（十八大题型54道题） 目录 知识点一正方形性质理解 2 知识点二根据正方形的性质求角度 2 知识点三根据正方形的性质求线段长 3 知识点四根据正方形的性质求面积 4 知识点五根据正方形的性质证明 5 知识点六正方形折叠问题 5 知识点七求正方形重叠部分面积 7 知识点八正方形的判定定理理解 8 知识点九添一个条件使四边形是正方形 8 知识点十证明四边形是正方形 9 知识点十一根据正方形的性质与判定求角度 10 知识点十二根据正方形的性质与判定求线段长 11 知识点十三根据正方形的性质与判定求面积 12 知识点十四根据正方形的性质与判定证明 13 知识点十五中点四边形 14 知识点十六（特殊）平行四边形的动点问题 15 知识点十七利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 16 知识点十八四边形中的线段最值问题 17 知识点一正方形性质理解 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 2．如图，已知正方形的面积为340，E是的中点，F、G分别是边、上的点，且，，连接、、，其中、交于点O，则三角形的面积为______． 3．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作的垂直平分线； （2）在图2中作的重心． 知识点二根据正方形的性质求角度 4．如图，已知，，是正十二边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正十二边形的外部作正方形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 6．如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 知识点三根据正方形的性质求线段长 7．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 9．已知正方形的边长为，为正方形内一点，且，，求的长． 知识点四根据正方形的性质求面积 10．如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，，则图中两块阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 11．在等腰直角三角形中，，，以为边作正方形，则正方形的面积为______． 12．如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 知识点五根据正方形的性质证明 13．如图，在正方形中，对角线，相交于点，不添加其它的字母和辅助线，则图中的等腰直角三角形有（     ） A．10个 B．8个 C．6个 D．4个 14．中，分别以为边作正方形，面积分别为7，11，18，则_______． 15．如图，，是正方形边上的点，连接，交于点，．判断与的位置关系，并证明你的结论． 知识点六正方形折叠问题 16．如图，正方形纸片的边长为，点是的中点，在边上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 17．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 18．已知正方形的边长为，点E是射线上的点，且，连接，将沿翻折得到，交直线于点F，连接． （1）如图1，点E在线段上． ①求的度数； ②求的周长； （2）如图2，P是线段上一点，点Q在边上，作直线，使得的周长等于正方形周长的一半（要求：仅用无刻度直尺与圆规作图，简要说明作图步骤）； （3）当点E在的延长线上时，求的长． 知识点七求正方形重叠部分面积 19．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 20．如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________． 21．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． （1）试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． （2）当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 知识点八正方形的判定定理理解 22．下列选项中，逆命题正确的是（     ） A．矩形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．正方形的对角线相等 23．如图，将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与折痕成度角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是_______． 24．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上； （2）求正方形的周长． 知识点九添一个条件使四边形是正方形 25．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件：______可使菱形变为正方形．（写一个即可） 27．如图，对角线、交于点O，E是延长线上一点且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形． （2）当与满足怎样的数量关系时，四边形是正方形．（请说明理由） 知识点十证明四边形是正方形 28．下列说法： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）四条边都相等的四边形是菱形． （3）对角线互相垂直的平行四边形是正方形． （4）四个角都相等的四边形是矩形． 其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．剪纸，我县传统民间艺术，如图是边框为正八边形的剪纸图案，如图正八边形是其剪纸图案外边框，则四边形的形状是________． 30．如图，在中，，、的平分线交于点，于点，于点．求证：四边形是正方形． 知识点十一根据正方形的性质与判定求角度 31．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 32．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 33．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 知识点十二根据正方形的性质与判定求线段长 34．如图，在中，，高，，则的值为（     ） A． B． C． D． 35．如图，在矩形中，，点为的中点，点为上的动点，点为的中点，连接．则的最小值为________． 36．如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作平行四边形． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，直接写出的长． 知识点十三根据正方形的性质与判定求面积 37．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 38．如图，在矩形中，，，对角线交于点，将矩形沿边向右平移至，使刚好经过点，则图中阴影部分面积为_____． 39．如图，在中，的角平分线交于点，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 知识点十四根据正方形的性质与判定证明 40．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．如图，在一张矩形纸片中，，点分别在上，将矩形沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处． ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 以上四个结论中正确的有：_______． 42．如图，在中，点是边上的点，连接，交于点，，于点，交于点，． （1）求证：四边形是正方形； （2）连接，若平分，，求的长． 知识点十五中点四边形 43．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 44．如图，在四边形中，，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，．若，，则线段的长为_________． 45．顺次连接四边形边，，，的中点E，F，G，H得到四边形．已知四边形是矩形，且，． （1）四边形的面积为_________； （2）矩形如图所示．若四边形是直角梯形，，，用直尺和圆规作出直角梯形．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明．） （3）四边形周长C的取值范围是_________． 知识点十六（特殊）平行四边形的动点问题 46．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上，记为点，点落在点处，连接交于点，连接．下列选项错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．点与点重合时， C．面积的最小值是 D． 47．如图，在四边形中，，，，，是上一点，且，从点出发以的速度向点运动，同时从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值为____． 48．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． （1）______； （2）求证：； （3）当四边形的面积为20时，求出此时的长． （4）在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 知识点十七利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 49．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 50．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 51．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    知识点十八四边形中的线段最值问题 52．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 53．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 54．如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，．    （1）如图，当四边形为菱形时，求长； （2）如图， ①判断四边形的面积是否为定值，若是，写出说理过程，并求出该定值；若不是，请说明理由； ②试用几何推理说明四边形周长有最小值，并求出最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题03 正方形的性质与判定（十八大题型54道题） 目录 知识点一正方形性质理解 2 知识点二根据正方形的性质求角度 5 知识点三根据正方形的性质求线段长 7 知识点四根据正方形的性质求面积 9 知识点五根据正方形的性质证明 11 知识点六正方形折叠问题 13 知识点七求正方形重叠部分面积 17 知识点八正方形的判定定理理解 20 知识点九添一个条件使四边形是正方形 22 知识点十证明四边形是正方形 25 知识点十一根据正方形的性质与判定求角度 27 知识点十二根据正方形的性质与判定求线段长 32 知识点十三根据正方形的性质与判定求面积 36 知识点十四根据正方形的性质与判定证明 39 知识点十五中点四边形 44 知识点十六（特殊）平行四边形的动点问题 49 知识点十七利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 56 知识点十八四边形中的线段最值问题 60 知识点一正方形性质理解 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 【答案】A 【解答】正方形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴正方形具有而菱形不一定有的性质是对角线相等． 2．如图，已知正方形的面积为340，E是的中点，F、G分别是边、上的点，且，，连接、、，其中、交于点O，则三角形的面积为______． 【答案】56 【分析】以点B为原点，，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，将正方形置于平面直角坐标系中，确定关键点坐标，根据线段比例关系（如中点、分点）计算E、F、G的坐标，求出直线，的函数解析式，联立解析式求出点O的坐标，再根据，结合各点的坐标计算即可． 【解答】解：设正方形边长为a，即，且． 以点B为原点，，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， ∴，，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵F在上，； ∴， ∴； ∵G在上，； ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组得， ∴点O的坐标为． 过点O作于点N， ∴， ∴， ， ∴ ． 3．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作的垂直平分线； （2）在图2中作的重心． 【答案】（1）如图所示，的垂直平分线即为所求： （2）如图所示，的重心O即为所求： 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）分别作出的边的中点，连接交于点O，则点O为的重心． 【解答】（1）略 （2）略 知识点二根据正方形的性质求角度 4．如图，已知，，是正十二边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正十二边形的外部作正方形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和和正方形的性质计算． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴， 正十二边形的每个内角为，即， ∴． 5．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】利用直角三角形的性质求得，再求得，最后利用直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； （2） 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到，结合已知，等量代换即可得证； （2）连接，证明，根据，得到，求解即可． 【解答】（1）略 （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴．     又∵， ∴， ∴． 知识点三根据正方形的性质求线段长 7．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【解答】解：两小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形的边长为． 8．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 【答案】 【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长． 【解答】解：连接、，如图， 四边形和四边形都是正方形，，， ，，，， ， 在中，， 是的中点， ． 9．已知正方形的边长为，为正方形内一点，且，，求的长． 【答案】或 【分析】作于点，于点，连接，证明四边形是矩形，设，， 利用勾股定理可解得，，继续使用勾股定理即可求解的长． 【解答】如图，作于点，于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，， 在和中， 由勾股定理得， 解得， 代入得或； 当时，，得； 当时，，得， 综上，的长为或． 知识点四根据正方形的性质求面积 10．如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，，则图中两块阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正方形面积求出两种正方形的边长，结合图形结构确定外围大长方形的长和宽，算出大长方形的面积后，减去三个正方形的面积和，即可得到两块阴影部分的面积和． 【解答】根据正方形面积公式计算边长： 面积为的正方形边长： ， 面积为的正方形边长：， 确定外围大长方形的长和宽： 由图形结构可得， 大长方形的长小正方形边长大正方形边长； 大长方形的宽两个小正方形的边长和； 计算阴影面积和：阴影面积和大长方形面积三个正方形面积和大长方形面积： ， 三个正方形面积和为， ∴阴影面积和为． 11．在等腰直角三角形中，，，以为边作正方形，则正方形的面积为______． 【答案】8 【分析】利用勾股定理求出正方形边长的平方，根据正方形面积等于边长的平方，即可得出结果． 【解答】解：是等腰直角三角形，，， 由勾股定理得， 正方形的边长为，正方形面积等于边长的平方， 正方形的面积为． 12．如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 【答案】 【分析】剩余铁皮的面积等于原矩形铁皮的面积减去4个剪去的小正方形的面积，利用矩形和正方形的面积公式计算即可得到结果． 【解答】解：由图可得，原矩形铁皮的面积为：， 4个剪去的小正方形的总面积为：， ∴剩余铁皮的面积为：， 答：剩余铁皮的面积为． 知识点五根据正方形的性质证明 13．如图，在正方形中，对角线，相交于点，不添加其它的字母和辅助线，则图中的等腰直角三角形有（     ） A．10个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴等腰直角三角形有，， ∴一共有8个等腰直角三角形． 14．中，分别以为边作正方形，面积分别为7，11，18，则_______． 【答案】 【分析】由正方形面积等于边长的平方，所以先根据三个正方形的面积得到三边的平方值．因为要求，所以选取勾股定理的逆定理，比较三角形三边的平方值．如果满足，那么即可确定的度数． 【解答】解：正方形的面积等于边长的平方， ∴根据题意可得：，，． ∴． 根据勾股定理的逆定理， 为直角三角形，斜边对的角是， ∴． 15．如图，，是正方形边上的点，连接，交于点，．判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】 证明：∵四边形为正方形， ，． ， ， ． ， ， ， 即． 【解答】略 知识点六正方形折叠问题 16．如图，正方形纸片的边长为，点是的中点，在边上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据折叠的性质可得，，从而表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：设， 正方形纸片的边长为，点是的中点， ，， 由折叠的性质得：，， ，， 在中，， 即， 整理得：，解得， ． 17．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】/0.6 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 18．已知正方形的边长为，点E是射线上的点，且，连接，将沿翻折得到，交直线于点F，连接． （1）如图1，点E在线段上． ①求的度数； ②求的周长； （2）如图2，P是线段上一点，点Q在边上，作直线，使得的周长等于正方形周长的一半（要求：仅用无刻度直尺与圆规作图，简要说明作图步骤）； （3）当点E在的延长线上时，求的长． 【答案】（1）①；②； （2） 解：①分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②作直线交于点，则直线即为所求； （3）. 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，证明，得到，得到，即可得出结果；②利用折叠的性质，全等三角形的性质，等量代换求出的周长为即可； （2）分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点， 即可，易得得到，进而得到的周长等于，即正方形周长的一半； （3）根据题意，画出图形，设，在中，利用勾股定理进行求解即可. 【解答】（1）解：∵正方形，边长为， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知：， ∴， ∵折叠， ∴， ∴的周长； （2）略 （3）解：当点E在的延长线上时，如图， ∵折叠， ∴， 同（1）法可得：， ∴， 设，则,，， ∵， ∴，即， ∴， ∴. 知识点七求正方形重叠部分面积 19．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【解答】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 20．如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________． 【答案】 1 【分析】由题可证，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形的面积；连接，由勾股定理得到，再根据得到，，即可得出结论． 【解答】∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积； 如图，连接， ∵四边形、四边形均为正方形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，即． 21．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． （1）试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． （2）当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 【答案】（1）（）． （2） 【分析】（1）根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据的长度可得出y与x的关系； （2）将代入可得出重叠部分的面积． 【解答】（1）解：由题意知，开始时A点与M点重合， 让向右移动，最后点A与点N重合， 两图形重合的长度为， （）． （2）解：当时， 即， 重叠部分的面积 （）． 知识点八正方形的判定定理理解 22．下列选项中，逆命题正确的是（     ） A．矩形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．正方形的对角线相等 【答案】C 【分析】是先将每个选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再根据特殊四边形的判定定理判断逆命题的真假，即可得到答案. 【解答】解：A、原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是矩形； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴逆命题错误； B、原命题的逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形； ∵只有对角线互相垂直且互相平分的四边形才是菱形，仅垂直无法判定，∴逆命题错误； C、原命题的逆命题为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ∵这是平行四边形的判定定理，该命题成立，∴逆命题正确，符合要求； D、原命题的逆命题为：对角线相等的四边形是正方形； ∵矩形的对角线也相等，不一定是正方形，∴逆命题错误. 23．如图，将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与折痕成度角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是_______． 【答案】正方形 【分析】根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下、左、右四条边都相等，且每个内角的度数均为，再由正方形的判定方法即可求解． 【解答】解：由图中的折叠过程可知剪得的四边形上、下、左、右四条边都相等，且每个内角的度数均为， 即得到的平面图形是正方形． 24．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上； （2）求正方形的周长． 【答案】（1）解：如图，四边形为所求． （2） 【分析】（1）根据正方形的判定方法结合网格的特点作图即可； （2）根据勾股定理求出边长，即可求解． 【解答】（1）解：如图， 由网格可得，，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：由网格可得， ∴． 知识点九添一个条件使四边形是正方形 25．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形，对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、四边形是矩形，恒成立，无法判定四边形是正方形，故本选项符合题意； B、由于四边形是矩形，当时，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、由于四边形是矩形，当时，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是矩形， ∴， 若， 则， ∴， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 26．如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件：______可使菱形变为正方形．（写一个即可） 【答案】（或，答案不唯一） 【解答】解：添加可使菱形变为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）； 或添加，可使菱形变为正方形（对角线相等的菱形是正方形）． 27．如图，对角线、交于点O，E是延长线上一点且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形． （2）当与满足怎样的数量关系时，四边形是正方形．（请说明理由） 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知，，， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴菱形是正方形． 【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明即可； （2）由（1）知，，，得到，，可知，求出，根据菱形的性质得到，根据等边对等角及三角形内角和定理得到，即可证明菱形是正方形． 【解答】（1）略； （2）略． 知识点十证明四边形是正方形 28．下列说法： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）四条边都相等的四边形是菱形． （3）对角线互相垂直的平行四边形是正方形． （4）四个角都相等的四边形是矩形． 其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的判定，根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐个判断说法正误，统计正确个数即可得解． 【解答】解：（1）由平行四边形判定定理可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故（1）正确； （2）由菱形判定定理可知，四条边都相等的四边形是菱形，故（2）正确； （3）对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（3）错误； （4）∵四边形内角和为，四个角都相等，∴每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，故（4）正确． 综上，正确的说法共有3个，因此选C． 29．剪纸，我县传统民间艺术，如图是边框为正八边形的剪纸图案，如图正八边形是其剪纸图案外边框，则四边形的形状是________． 【答案】正方形 【分析】利用正八边形的性质证明，即可得到结论． 【解答】解：∵正八边形， ∴，， ∴，， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴四边形是正方形． 30．如图，在中，，、的平分线交于点，于点，于点．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：如图，过点作于点， 、的平分线交于点，于点，于点， ，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【分析】作，利用角平分线性质得，先证四边形是矩形，再用邻边相等推出四边形是正方形． 【解答】略 知识点十一根据正方形的性质与判定求角度 31．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【解答】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 32．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 【答案】或或 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【解答】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ； 如图，当时， 过点作于点，过点作于点，如图3所示， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用． 33．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【解答】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 知识点十二根据正方形的性质与判定求线段长 34．如图，在中，，高，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别将、沿、翻折，构造出正方形，利用勾股定理建立关于的方程求解即可． 【解答】解：分别作关于的对称图形、作关于的对称图形，得到、，延长、相交于点． 是的高， ， 由对称的性质可得：，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 35．如图，在矩形中，，点为的中点，点为上的动点，点为的中点，连接．则的最小值为________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，先证明四边形是正方形，由中位线定理可得即为点的运动轨迹，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解． 【解答】解：如图所示，取的中点，连接，，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴四边形是正方形， 同理可得是正方形， ∴ ∴，即 ∵四边形是正方形， 点是的中点， 又是的中点， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值，即点与点重合时，最小，最小值为的长，即 36．如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作平行四边形． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，直接写出的长． 【答案】（1）证明：如图，过点E作，垂足分别为点M，N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形； （2） 【分析】（1）过点E作，垂足分别为点M，N，，可得，即可求证； （2）连接，过点F作于点F，交于点P，证明，，可得，即可求解． 【解答】（1）略 （2）解：如图，连接，过点F作于点F，交于点P， ∵四边形，是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 知识点十三根据正方形的性质与判定求面积 37．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明矩形是正方形，再利用面积公式列式计算即可求解． 【解答】解：∵矩形对角线互相垂直， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴两条对角线所用的竹条长度为． 38．如图，在矩形中，，，对角线交于点，将矩形沿边向右平移至，使刚好经过点，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】/ 【分析】根据经过点确定平移距离为，进而得出重叠部分为边长是的正方形，、分别为左右边中点；阴影部分面积可看作以为底，上下两个顶点到距离之和为高的三角形面积之和． 【解答】解：矩形中，，，为对角线交点， 点到的距离为， 矩形沿边向右平移至，且经过点， 平移距离， 为的中点， ， ， 矩形由矩形平移得到， ，， 四边形是矩形，且， 即四边形是正方形， 是矩形的对角线交点， 到的距离为， 点在上， 点在上，且， ∵是中点，是中点， ∴， 设阴影部分上方顶点为，下方顶点为， 由图可知是与的交点， 在矩形中，为对角线、的交点， 点到的距离， 同理，点到的距离， 阴影部分面积． 39．如图，在中，的角平分线交于点，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由是： ，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）4 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，然后证明，即可证明四边形是菱形； （2）先得到四边形是正方形，再由勾股定理求解边长，即可求解面积． 【解答】（1）略 （2）解：，四边形是菱形 四边形是正方形， ∴， ∴ ， ∴ ∴ （舍负）， 四边形的面积为． 知识点十四根据正方形的性质与判定证明 40．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 【解答】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 41．如图，在一张矩形纸片中，，点分别在上，将矩形沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处． ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 以上四个结论中正确的有：_______． 【答案】①③④ 【分析】先由矩形的对边得，结合折叠性质推得四边形是菱形，结论①正确；若平分，需满足直角三角形的特殊边长关系，该条件并非必然成立，结论②错误；当与重合时，设，用勾股定理列方程求得，再构造直角三角形计算得，结论③正确；最后分析临界位置：与重合时取最小值，与重合时取最大值，故，结论④正确． 【解答】解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形，故结论①正确； ②若平分，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 此时需满足，该条件并非必然成立，故不一定平分，结论②错误； ③当点与点重合时，设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴，，即菱形的边长为． ∴，，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，故结论③正确； ④当点与点重合时，取得最小值； 当点与点重合时，四边形是正方形， ∴，此时，即取得最大值， ∴线段的取值范围为，故结论④正确； 综上，正确的有①③④． 42．如图，在中，点是边上的点，连接，交于点，，于点，交于点，． （1）求证：四边形是正方形； （2）连接，若平分，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ， ∵有一个内角为直角的菱形是正方形 ∴四边形是正方形； （2） 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行结合证出四边形是平行四边形，再由一组邻边相等判定其为菱形，接着借助直角三角形两锐角互余和等角代换推出，最后依据有一个直角的菱形是正方形完成证明． （2）先通过角平分线、垂直得到相等角，用证明与全等，推出，再结合正方形性质得到等腰直角，利用勾股定理求出正方形边长即，最后根据平行四边形对边相等得到长度，作差算出． 【解答】（1）略 （2）解：∵平分 ∴ ∵ ∴ 在与中 ∴ ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是正方形 ∴，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 将代入得 ， ， ， ∵边长为正数， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 知识点十五中点四边形 43．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形的面积是原四边形面积的一半，由此得出面积变化的规律，代入求解即可。 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴顺次连接矩形四边的中点得到四边形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的， ∴， ∴， 当时， ． 44．如图，在四边形中，，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，．若，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长及位置关系，再利用勾股定理计算即可． 【解答】解：连接，如图 点，分别是边的中点， 是的中位线， ∴，， 同理是的中位线， ，， ，，， 在中，． 45．顺次连接四边形边，，，的中点E，F，G，H得到四边形．已知四边形是矩形，且，． （1）四边形的面积为_________； （2）矩形如图所示．若四边形是直角梯形，，，用直尺和圆规作出直角梯形．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明．） （3）四边形周长C的取值范围是_________． 【答案】（1）24 （2） 证明：连接，，，， 由作图可知，，， ∴，， ∴， 即， 设交于I点， 由作图可知垂直平分 ， ∴， ∴， ， ∵E、I、H三点共线， ∴B、O、D三点共线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， ∴F和G分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴A、O、C三点共线， ∵， ， ∴， ， ∴， 即， ∴梯形就是所求作的梯形． （3） 【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得，，，进而可得，求解即可． （2）连接，过H点作直线于O点；分别以E点和H点为圆心，以、的长为半径画弧，两弧相交于A点；作射线，在射线上截取；作射线， 在射线上截取;分别作射线，相交于C点，则四边形即为所求作的梯形． （3）根据中点四边形的性质和三角形三边之间的关系即可得解． 【解答】（1）解：如图， ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，分别是，的中位线， ∴，，且，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：根据中点四边形的性质可知，， ∴，， 令，则；令，则， 则，，，， 根据三角形三边关系： 当O为、中点时，四边形为菱形，此时周长最小： ， ∴， 当与交点趋于端点A时，四边形趋于三角形，此时，，， 周长趋近于（但无法取到）， ∴周长C的取值范围是． 【点睛】对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形．原四边形的面积是中点四边形面积的2倍． 知识点十六（特殊）平行四边形的动点问题 46．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上，记为点，点落在点处，连接交于点，连接．下列选项错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．点与点重合时， C．面积的最小值是 D． 【答案】D 【分析】证明，，可判断A；点M与点D重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得，再根据勾股定理以及菱形的性质可得的长，可判断B；根据题意可得当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形，可判断C；无法判断和全等，故无法判断与相等，可判断D． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故A正确； 点M与点D重合时，如图： 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故B正确； 如图，当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形， 此时，故C正确； 在和中，， 根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断和全等，故无法判断与相等，故D错误． 47．如图，在四边形中，，，，，是上一点，且，从点出发以的速度向点运动，同时从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值为____． 【答案】或 【分析】已知，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需满足，四边形即为平行四边形，以此列方程求解． 【解答】解：当点在点的左侧时，设运动时间为， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以,,,为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 解得：， 当点在点的右侧时，设运动时间为， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以,,,为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 解得：， 则当以,,,为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或4． 【点睛】本题考查动点分类思想，从向移动会经过点，因此分在左，右两种情况分段表示长度． 48．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． （1）______； （2）求证：； （3）当四边形的面积为20时，求出此时的长． （4）在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）5 （2） 证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）或 （4）或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【解答】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）略 （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 知识点十七利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 49．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【解答】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 50．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【解答】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 51．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【解答】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理，此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质． 知识点十八四边形中的线段最值问题 52．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值． 【解答】如图所示，连接， ∵点与点关于对称， ， 当在同一直线上时， 的最小值等于的长， ∴的最小值等于15， 故选：A． 53．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 54．如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，．    （1）如图，当四边形为菱形时，求长； （2）如图， ①判断四边形的面积是否为定值，若是，写出说理过程，并求出该定值；若不是，请说明理由； ②试用几何推理说明四边形周长有最小值，并求出最小值． 【答案】（1） （2）解：①是 ， ∵四边形为矩形， ∴． 作的中垂线交于，垂足为O，连接，如图， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴． 根据（1）得，， ∴， ， ∴四边形的面积． ②由①得， ∴为定值． 如图，在上截取，过作且， 易得． ∴． ∴． 又∵， ∴是定点． 作矩形， ，， 当在同一条直线上时，的值最小， 即的值最小，即四边形的周长最小． 又∵， ∴四边形周长的最小值为20． 【分析】（1）设，则，根据勾股定理求解即可； （2）①作的中垂线交于，连接，证明即可； ②根据两点间线段最短，求解即可． 【解答】（1）解：∵四边形为菱形． ∴． ∵， ∴设． ∵四边形为矩形， ∴． 得， 解得，即． （2）解：①略； ②略 学科网（北京）股份有限公司 $