专题01 菱形的性质与判定《典例全解·题型通关》（九大题型27道题）2026-2027学年九年级上册数学北师大版

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题01 菱形的性质与判定（九大题型27道题） 目录 知识点一利用菱形的性质求角度 1 知识点二利用菱形的性质求线段长 2 知识点三利用菱形的性质求面积 3 知识点四利用菱形的性质证明 4 知识点五添一个条件使四边形是菱形 5 知识点六证明四边形是菱形 6 知识点七根据菱形的性质与判定求角度 7 知识点八根据菱形的性质与判定求线段长 8 知识点九根据菱形的性质与判定求面积 9 知识点一利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，以大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点，连接，则______． 3．如图，已知，点在边上． （1）在图中以为边长，求作菱形，使点落在射线上（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）； （2）在所作的菱形中完成探究： ①直接写出这个菱形的其余三个内角的度数： °， °， °； ②请设计种分割方法，把这个菱形恰好分成四个等腰三角形，在图中画出分割线，并标出每个等腰三角形的顶角的度数． 知识点二利用菱形的性质求线段长 4．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为上一点，若，且，，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为________． 6．如图，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，直线的解析式为． （1）求点的坐标； （2）保持菱形的位置不变，将直线向左移动个单位，当该直线把菱形面积恰好平分时，____________． 知识点三利用菱形的性质求面积 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．云云家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示．若，，则该菱形的面积为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 8．如图，的两条对角线相交于点O．已知的面积为，的长为，当的长为________时，是菱形． 9．如图，在中，． （1）求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 知识点四利用菱形的性质证明 10．如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，且，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 12．如图所示，在菱形中，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合，求证：． 知识点五添一个条件使四边形是菱形 13．如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 15．如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明． 知识点六证明四边形是菱形 16．如图，若把一个长方形纸片对折两次，然后沿对折的中心虚线处随意剪下一个三角形，则把剪下的三角形彻底展开后得到的平面图形一定为（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．三角形 17．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 18．如图，是矩形的对角线． （1）请用圆规和无刻度的直尺，分别在上找点E，F，使得四边形为菱形； （2）在（1）条件下，若，，求菱形的面积． 知识点七根据菱形的性质与判定求角度 19．小馨同学按如下步骤作四边形； （1）画； （2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，； （3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点； （4）连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 20．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 21．如图，在△ABC中． （1）在边BC上求作一点D，使点D到AB、AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在平面内把△ABC沿BC翻折，翻折后A点的对应点标为点，连接，求证：点D也在线段上． 知识点八根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，平行四边形的周长为40，点E为的中点，若对角线于点O，则的长为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在平行四边形中，，，．点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为________． 24．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，则 时，四边形是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程.） 知识点九根据菱形的性质与判定求面积 25．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 26．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 27．如图，四边形是平行四边形，延长到，使，连接、． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图，若平分． ①求证：四边形是菱形； ②若，，直接写出四边形的面积________． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题01 菱形的性质与判定（九大题型27道题） 目录 知识点一利用菱形的性质求角度 1 知识点二利用菱形的性质求线段长 4 知识点三利用菱形的性质求面积 7 知识点四利用菱形的性质证明 9 知识点五添一个条件使四边形是菱形 11 知识点六证明四边形是菱形 14 知识点七根据菱形的性质与判定求角度 16 知识点八根据菱形的性质与判定求线段长 19 知识点九根据菱形的性质与判定求面积 21 知识点一利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质得到，，再证明是等边三角形得到，进而可得答案． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，以大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点，连接，则______． 【答案】30 【分析】由菱形的性质可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理求出，由作图可得垂直平分，则，从而得出，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知，点在边上． （1）在图中以为边长，求作菱形，使点落在射线上（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）； （2）在所作的菱形中完成探究： ①直接写出这个菱形的其余三个内角的度数： °， °， °； ②请设计种分割方法，把这个菱形恰好分成四个等腰三角形，在图中画出分割线，并标出每个等腰三角形的顶角的度数． 【答案】（1）如图所示， 根据作图可知，，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形即为所求菱形； （2） ①，，； ②方法一：如图所示，连接对角线得到均是等腰三角形， 在中，，顶角的度数为；在中，，顶角的度数为； 在中，，顶角的度数为；在中，，顶角的度数为； 方法二：如图所示，连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点E， ∴，， ∴是等腰三角形，顶角的度数为， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴，． 【分析】（1）根据菱形的邻边相等，对角线相互垂直平分，且每条对角线平分一组对角的性质作图，先作邻边相等，即以点A为圆心，以长为半径画弧交于点D，连接，得等腰三角形，再作线段的垂直平分线，即分别以点为圆心，以大于长为半径画弧交于点，作直线，由等腰三角形的性质得到的垂直平分线经过点A，则射线垂直平分，最后再作邻边相等，即以点B为圆心，以为半径画弧交于点C，连接即可； （2）①根据菱形的性质即可求解； ②根据菱形的性质，等腰三角形的定义作图即可． 【解答】（1）略； （2）解：①∵四边形是菱形，， ∴，，； ②略． 知识点二利用菱形的性质求线段长 4．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为上一点，若，且，，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得，再证明，故，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理得，，，再根据三角形面积公式列式计算，即可作答． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为________． 【答案】 【分析】勾股定理求出的长，根据菱形的性质得到的长，进而求出点坐标即可. 【解答】解：∵顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∵菱形的边在轴上， ∴，轴， ∴. 6．如图，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，直线的解析式为． （1）求点的坐标； （2）保持菱形的位置不变，将直线向左移动个单位，当该直线把菱形面积恰好平分时，____________． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据菱形的性质得到点坐标，然后代入直线的解析式求出，最后令，得出点的坐标； （2）根据直线把菱形面积恰好平分得出平移后的直线过菱形的中心，据此求解即可. 【解答】（1）解：∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵直线的解析式为 ∴ 解得：， 即：， 当时，，解得：， 即：； （2）解：∵将直线向左移动个单位， ∴平移后的解析式为：， ∵由（1）得， ∴菱形的对称中心的坐标为， ∵平移后的直线把菱形面积恰好平分， ∴直线经过菱形的对称中心， ∴， ∴. 知识点三利用菱形的性质求面积 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．云云家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示．若，，则该菱形的面积为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，进一步即可求解． 【解答】解：四边形是菱形，， ，，， 又， ， ∴， ∴该菱形的面积为． 8．如图，的两条对角线相交于点O．已知的面积为，的长为，当的长为________时，是菱形． 【答案】 【分析】由菱形面积公式，解得，故． 【解答】解：由题意，若是菱形， 则的面积， ∵的面积为，的长为， ∴．解得． ∵四边形是菱形， ∴． 9．如图，在中，． （1）求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）如图，菱形即为所求． （2） 【分析】（1）分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接、，菱形即为所求； （2）连接，交于，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出，进而求出，利用菱形的面积公式即可得出答案． 【解答】（1）解：略 （2）解：如图，连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 知识点四利用菱形的性质证明 10．如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，且，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴，则A选项正确； 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，故B选项正确； 则， ∴； 仅菱形才一定成立，故D选项错误． 11．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．本题属于基础题，难度不大． 由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【解答】解：四边形为菱形， ，， 为直角三角形． ，且点为线段的中点， ． ． 故答案为：24． 12．如图所示，在菱形中，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合，求证：． 【答案】证明：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】连接，利用菱形性质及角度条件证得为等边三角形，得到，证明，即可证明． 【解答】略 知识点五添一个条件使四边形是菱形 13．如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断，即可求解． 【解答】解：A、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； B、添加， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定是菱形，故本选项符合题意； 14．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【解答】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 15．如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明． 【答案】（1）证明：∵是中点， ∴， ∵， ∴，， ∴． （2） 【解答】（1）略 （2）解：，理由如下： ∵ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 知识点六证明四边形是菱形 16．如图，若把一个长方形纸片对折两次，然后沿对折的中心虚线处随意剪下一个三角形，则把剪下的三角形彻底展开后得到的平面图形一定为（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．三角形 【答案】C 【分析】由矩形对折两次可得，折痕刚好为剪下的四边形的对角线，再根据菱形的判定解答即可． 【解答】解：∵折痕刚好为剪下的四边形的对角线，结合对折可得：两条对角线互相垂直平分， ∴根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可知得到的四边形是菱形． 17．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 【答案】菱 【分析】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定．根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，据此可得到四边形为菱形． 【解答】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，只有菱形满足这一条件． 故答案为：菱． 18．如图，是矩形的对角线． （1）请用圆规和无刻度的直尺，分别在上找点E，F，使得四边形为菱形； （2）在（1）条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）四边形即为所求作； （2）菱形的面积为20 【分析】（1）作对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，通过菱形的判定定理证明是菱形即可； （2）设，则，根据勾股定理求出菱形边长，进而求出面积． 【解答】（1）解：作对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接， 设与交点为点O，则， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； （2）解：矩形中，，， ，，， 由（1）知，四边形为菱形， ， 设， ， 在中，， ， 解得：， ， ∴菱形的面积． 知识点七根据菱形的性质与判定求角度 19．小馨同学按如下步骤作四边形； （1）画； （2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，； （3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点； （4）连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据作图步骤判断四边形的边长关系，因为，所以四边形是菱形，利用菱形性质得到对角相等的性质，得到与的等量关系，结合等腰的角度关系推导的度数． 【解答】解：从作图过程可知：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 20．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【解答】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 21．如图，在△ABC中． （1）在边BC上求作一点D，使点D到AB、AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在平面内把△ABC沿BC翻折，翻折后A点的对应点标为点，连接，求证：点D也在线段上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】为要使点D到AB、AC距离相等，则点D在∠BAC的平分线上，所以作∠BAC的解平分线与BC的交点即是所要不熟作的点D． 【解答】（1）解：如图所示，点D就是所要求作的点， 以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AB、AC于E、F，分别以E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于G，作射线AG交BC于D，所以AG是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC距离相等，所以点D就是所要求作的点． （2）证明：如图， ∵△ABC沿BC翻折得△， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴平分∠BAC， 由（1）可知AD也平分∠BAC， ∴点D也在线段上． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，菱形的判定与性质，翻折和性质，熟练掌握作已知角的平分线，角平分线的性质，菱形的判定与性质是解题的关键． 知识点八根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，平行四边形的周长为40，点E为的中点，若对角线于点O，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明平行四边形是菱形，得到，再根据三角形中位线定理作答即可． 【解答】解：∵平行四边形中，对角线 ∴平行四边形是菱形，是的中点， ∵菱形四条边相等，周长为， ∴边长， ∵点E为的中点， ∴． 23．如图，在平行四边形中，，，．点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为________． 【答案】 【分析】先证明四边形是菱形，由菱形的性质得出点C关于的对称点为点A，进而可得出，则，过点A作于点，点A，N，M三点共线时，此时取最小值为，由含30度直角三角形的性质得出，进而可求出． 【解答】解：∵四边形是平行四边形，，且， ∴，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴点C关于的对称点为点A，， ∴， ∴， 过点A作于点， ∴点A，N，M三点共线时，此时取最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，则 时，四边形是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程.） 【答案】（1）证明：在和中， ， ， ，， ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）6 【分析】（1）由，，，易证得，即可得，，再证得，即可判定四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，，根据菱形的性质即可得到结果． 【解答】（1）略 （2）解：当四边形是菱形时，， ∵，，， ， ， ∴是等边三角形， ， 当的长是6时，四边形是菱形． 知识点九根据菱形的性质与判定求面积 25．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【解答】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 26．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可． 【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3， ∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形． 如图，过A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ABC=60°， ∴∠BAE=90°-60°=30°， ∴AB=2BE， 在△ABE中，AB2=BE2+AE2， 即AB2=AB2+32， 解得AB=2， ∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6． 故答案是：6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键． 27．如图，四边形是平行四边形，延长到，使，连接、． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图，若平分． ①求证：四边形是菱形； ②若，，直接写出四边形的面积________． 【答案】（1）四边形为平行四边形，理由： 四边形是平行四边形， ，即， ， ， 四边形为平行四边形； （2）①证明：根据（1）可得四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ∴， ， 平行四边形为菱形； ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可得到四边形为平行四边形； （2）①利用平行线的性质得到即可解答； ②连接，根据菱形的性质和勾股定理求得的长，即可解答． 【解答】（1）略 （2）①略； ②解：如图，连接交于点， ， 根据①可得四边形为菱形， ，，， 四边形是平行四边形， ， , ， ， ， 菱形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $