专题09 相似三角形判定定理的证明（三大题型15道题）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解：题型通关》 专题09相似三角形判定定理的证明（三大题型15道题） 目录 知识点一由平行判断成比例的线段 知识点二由平行截线求相关线段的长或比值 知识点三利用平行判定相似 10 知识点一由平行判断成比例的线段 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且DE∥BC,则下列各式不成立的是 AD AE AD AE A. BD CE B.AB AC BD AE AB AC C.AB AC D. BD CE 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例进行判断即可. 【详解】解：，DE∥BC, AD AE AD AE BD CE AB AC BD CE,ABAC,AB AC BD CE BD AE 不能得到ABAC, 故只有C选项符合题意。 2.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC上的点，连接AE,CD交于点F,已知F是CD的 BD 中点且BE=5CE,则AD的值为() C E A D B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】过点D作DG∥AE交BC于点G,根据平行线分线段成比例求解. 【详解】解：如图，过点D作DG∥AE交BC于点G, 是 的中点， B·FCD 8乐恶1，则E-c BE =5CE .∴.BG=4EG ,DG‖AE 2/20 BD BG -4 AD EG 3.如图，DE∥BC,△ADE的面积是4，△EBC的面积是15，则△ABC的面积是 【答案】25 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出线段比相等，结合三角形面积公式，将线段比转 化为面积比，建立方程求解中间三角形面积，进而求得△ABC的面积. 【详解】解：设△DBE的面积为x, △ADE与ADBE等高， S.ADE=AD AD 4 S.DBE DB,即DBx, aMBE与△EBC 等高， S.m=AE AE 4+x 「ScEC,即ECI5, ·.·DE∥BC AD AE DB EC 44+x x15, 3/20 整理 得x2+4x-60=0, 解得=6，五=-10（舍去）， S.DWE=6 S.ABC =SADE+S.DBE+S.ERc =4+6+15=25 4.如图，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O,点P为线段OD的中点，连接AP并延长 交CD于点E.若BC=6,则CE的长为一· B 【答案】4 【分析】过点O作OF‖AE交CD于点F,利用平行线分线段成比例定理即可求解 【详解】解：过点O作OFI‖AE交CD于点F, ,正方形ABCD中，CO=AO, C0_C℉=1 AOEF ∴.CF=EF, :点P为线段OD的中点，PEOF, 4120 DP_DE=1 ∴.DE=EF, ∴.DE=EF=CF, ,正方形ABCD中，CD=BC=6, CE-2CD-4 3 D B 5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥AB,A'D'∥AD.求证：△ABD∽△AB'D'. B B D 【答案】 证明：，AB∥AB,AD∥AD, AB AC ·A'BAC a4c=∠c份 ,∠DAC=∠DAC AB AD ·ABA'D,∠BAD=∠BAD' .△ABDP△A'B'D', 5120 【分析】由平行线得出，BC,∠BAC=∠BC0=C AB AC D-C'ZDAC=∠DAC,得出 AB AD AB=AD,∠BAD=∠BAD,由相似三角形的判定方法即可得出结论. 【详解】略 知识点二由平行截线求相关线段的长或比值 6.如图，直线abc,直线，n相交于点O,且分别与直线a,b,c相交于点A,B,C 和点D,E,F,已知OA=3,OB=4,BC=6,EF=5,则D0的长度是( ) m B A.3 B.2 c 5-2 D. 【答案】D 【分析】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 【详解】解：bIc, OB OE BCEF· .OB=4 BC=6 EF=5 4 OE 65 0E=10 3 6/20 .allb OA OD OB OE 3 OD 即410 3 7.如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等.直线 和作业纸的横格交于点A、B、C.若线段C-9,则线段1B的长是( B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果. 【详解】解：，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等， AB 2 .AC3’ 线段AC=9, ∴.AB=6. 8.如图，在△ABC中，∠BAC=180°-4∠B,过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M,取BC的 7120 中点N,过点N作D⊥BC交AB于点D,且AC:BD=7:3,则下列结论：①∠ACB=3∠B;② CN 3 70W17 AM=MW;③CM4;④若BC的长为3W7,则AB的长为17.其中正确结论的序号为 【答案】 ①③④ 【分析】由己知和三角形的内角和可判定①，由垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性 质，平行线分线段成比例定理可判定③，再结合勾股定理可判定②和④ 【详解】解：设∠B=a,则∠BAC=180°-4a, ∴.∠ACB=180°-∠B-∠BAC=3Q=3∠B,故①正确： 如图，连接CD, ,取BC的中点N,过点N作D⊥BC交AB于点D, ∴.DN垂直平分BC, 8120 .CD=BD, ∴.∠B=∠DCB=a, ∴.∠ACD=∠ACB-∠DCB=2C,∠ADC=∠B+∠DCB=2a, ∴.∠ACD=∠ADC, ∴AC=AD, .'∠DNB=∠M=90°， .DN II AM, MN AD AC 7 BN BD BD 3' BN 33 BM3+710, CN 3 CM=4故③正确： 设AC=AD=7x,BN=CN=3m,则BD=3x、AB=10x,BM=10m, ∴.MN=7m,CM=4m, 在Rt△ACM中，AM2=AC2-16m2①， 在Rt△ABM中，AM2=100x2-100m2②， 由①②得，AC2=100x2-84m2, (7'=10r2-84m2 2 -m √17（负值已舍）， 9/20 :AM=V100rx2-100m2= 气V7m-100m2=1087 272 100 17m(负值已舍)， 7m￥10187 m 17 .AM≠MN,结论②错误： N=Cw=)BC=3V万 2 31 : 3 ·BM10 ∴.BM=5V7、CM=27, .∠M=90° ∴.AC2-CM2=AB2-BM2 即(7x-(27=(10x)}-(5万j 解得7厅（负值已金） :4B=97,故@正确. 17 9.如图，等边三角形纸片ABC的边长为1O,点E,F分别为AB,AC边上的点.将∠BAC沿 7折叠，若点1恰好落在该纸片C边的中点P处，则四边形EBD 的周长是 B D 【答案】20 10/20 【分析】连接AD交F于点O,由三线合一得D=CD-号BC=5,AD1BC:由折叠的性质 可知，OA=OD,AE=DE,AF=DF,AD⊥EF,可得EF∥BC,由平行线分线段成比例求出 MB=BE=4B=5,AF=CF=DF=)4C=5,再根据三角形中位线的性质求出EF=)BC=5即可 21 求解. 【详解】解：如图，连接AD交EF于点O, 是等边三角形，边长为 B D C.·△ABC 10 ∴.AB=BC=AC=10 点P是8C边的中点 :.8D=CD-BC-5,ADLBC. 2 由折叠的性质可知，OA=OD,AE=DE,AF=DF,AD⊥EF, ∴.EF∥BC, ÷旋得01， E-DE-AB-5.4F-CF-DF-AC-5, 2 :EF=)BC=5, 21 11/20 ,∴.四边形EBDF的周长=BD+DF+EF+BE=5+5+5+5=20 AF AE 10.如图，在AABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DFIIBE，FECE. (I)求证：DE∥BC: AF 2 (2)如果FE=3,SAr=3,求S,c的值. 【答案】(I)证明：DFIBE, .AF AD FE DB' AF AE FE CE' ADAE DB CE' AD AE AB AC 又∠DAE=∠BAC, ∴.△ADEAABC, ∴.∠ADE=∠ABC, ∴.DEIIBC 25 (2)4 AF AD AD AE 【分析】(1)由DFIIBE可得FEDB,再结合己知比例，可得DBCE,证明 12/20 △ADEU∽AABC ,即可解答； (2)由图可知△ADE与△DEF等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由 DE∥BC △ADEP△ABC 得出 ,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解. 【详解】(1)略 AF 2 (2)解：“E3 EF 3 AE 5 'ADEF与△MDE 同高， S.DEE=EF=3 S.ADE AE 5 SADEF =3 ∴.SADE=5 AF、AE FE CE' AE 2 CE 3 AE 2 AC 5, .△ADEAABC, AC25, 125 .S△ABc= 4. 13/20 知识点三利用平行判定相似 11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B 、ADAE ;②DE∥BC;③AC=AB;④AD.BC=DE·AC;⑤∠ADE=∠C,能满足AMDE∽AACB的条件 有() D E B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定条件，逐一进行判断即可. 【详解】解：在△ADE和△ACB中，∠A=∠A, 当∠AED=∠B时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到△ADE∽aACB,故①正确： 当DE∥BC时，△ADEAABC,故②不正确： AD AE 当ACAB时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到AADEAACB ,故③正确： AD DE 当AD·BC=DE·AC,即AC=BC时，无法得到△ADEVAACB,故④不正确： 当∠ADE=∠C时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到△ADE∽△ACB,故⑤正确： 14/20 故能满足△ADE∽aACB的条件有3个 AD 12.如图，在AABC中，DE∥BC,若S=9Sae'则AB的值( B A.2 c.s D.4 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC,再根据“相似三角形的面积之比是相 似比的平方”，即可求解 【详解】解：DE∥BC, ∴.△ADE∽△ABC SAABC=9S△MDE SE=1(AD2_1 SaAc9,即AB9, AD 1 .AB3· 13.小张家里有一块如图所示的四边形木板余料，小张想用该木板裁剪出一个面积最大的圆 形木板，已知AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,∠B为直角，那么裁剪出来的圆形木板的半径为 cm 15/20 D 24 【答案】 7 【分析】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形的判定及性 质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键， 第一步，连接AC,作∠ABC的平分线，交AC于点O,作OH⊥BC于H,证明得到 △ABC=△ADC ∠BAC=∠DAC∠ACB=∠ACD 进而得到 CD,故C平分∠BMD和∠BCD,OB平分 C,利用角平分线的性质定理得到点到四边形1BCD的各边的距离相等，O0是四边形 ∠AB ⊙0 M8CD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形木板.第二步，求解OH,设OH=(,得到 BH =x(cm)CH=8-x(cm) △COH~△CAB 通过证明 ，利用相似比即可得到答案. 【详解】解：连接AC,作∠ABC的平分线，交AC于点O,作OH⊥BC于H, B 在△ABC和△ADC中， 16/20 AB=AD CB=CD AC=AC' △ABC=△ADC(SSS) ∴.∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD, ∴.AC平分∠BAD和∠BCD, .OB平分∠ABC, ∴.点O到四边形ABCD的各边的距离相等， ∴.⊙O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形木板，其半径为OH, B .∠ABC=90°， :∠0BH=∠ABC=45° 2 ∴.△BOH为等腰直角三角形， .OH=BH, 设oH=m）,则BH=cm）,CH=BC-BH=8-cm, .∠ABC=90°，OH⊥BC, ..OH //AB, 17/20 ∴.△COH~△CAB, OH CH .AB CB' x 8-x .68 24 x=7, 24 即o0的半径为7cm, 24 ∴.圆形木板的半径为7cm. 24 故答案为：7· 14.如图是一张三角形纸片ABC,沿BC边上的中线AD折叠，点C落在点E处，AE与BC相 交于点F,若AD与AB垂直，且AB=2,AD=3,则AF的长为 ----2.C E 2W10 【答案】3 【分析】本题考查了图形的变换一折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、 三角形相似的判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键.取AC 的中点M,连按DM交征于点N,构造DM为。MBc的中位线，得到DMAB,DMB 18/20 ,即∠ADM=w,DM-号4B=L,得出AM=0,由折叠的性质得∠DM=∠DAN,进而证明 AF AB 2 △DAM≌△DAN(ASA),得出AW=AM=VIO,DN=DM=I,由DM∥AB,得FNDN-i,即 A-2N,推出F一号N,即可得出答案。 3 【详解】解：如图所示，取AC的中点M,作射线MD交AE于点N, M D 为 的中线， ,AD△ABC D为BC的中点， BC M为1C的中点， DM=1AB .DM∥AB 2 :D与4B垂直，4=2D=3, ∴∠ADM=90,DM=)AB=1 2 AM=DM2+AD=+3=10 ”三角形1BC沿BC边上的中线4D折叠， .∠DAM=∠DAN∠ADM=∠ADN=90°AD=AD :.△DAM≌△DAN(ASA) .AN=AM=10 DN=DM=1 19/20 DM∥AB AF AB 2 ∴.FNDN1, ∴.AF=2FN .AF=4N=20 3 3 2W10 故答案为3. 15.已知：如图，在aABC中，DE分别交AB,AC于点D,E,∠ADE=∠B.求证： △ADE∽△ABC 【答案】.∠ADE=∠B, .'DEllBC, ∴.△ADESAABC. 【分析】分析题意，由“∠ADE=∠B”,利用“同位角相等，两直线平行”可得到DEBC; 然后结合“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形 与原三角形相似”即可证明结论 【详解】证明：略 20/202026-2027学年九年级上册数学《典例全解：题型通关》 专题09相似三角形判定定理的证明（三大题型15道题） 目录 知识点一由平行判断成比例的线段 知识点二由平行截线求相关线段的长或比值 2 知识点三利用平行判定相似 知识点一由平行判断成比例的线段 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且DE∥BC,则下列各式不成立的是 AD AE AD AE A. BD CE B.AB AC BD AE AB AC C.AB AC D.EDCE 2.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC上的点，连接AE,CD交于点F,己知F是CD的 BD 中点且BE=5CE,则AD的值为() E B A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，DE∥BC,△ADE的面积是4，△EBC的面积是15，则△ABC的面积是 4.如图，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O,点P为线段OD的中点，连接AP并延长 交CD于点E.若BC=6,则CE的长为一 D E B 5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥AB,AD'∥AD.求证：△ABD△AB'D' B D 216 知识点二由平行截线求相关线段的长或比值 6.如图，直线ab‖c,直线，n相交于点O,且分别与直线a,b,c相交于点A,B,C 和点D,E,F,已知OA=3,OB=4,BC=6,EF=5,则DO的长度是( A.3 B.2 c 7.如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等.直线 和作业纸的横格交于点A、B、C.若线段4C9,则线段4B的长是( A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，在△ABC中，∠BAC=180°-4∠B,过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M,取BC的 316 中点N,过点N作D⊥BC交AB于点D,且AC:BD=7:3,则下列结论：①∠ACB=3∠B;② CN 3 70√17 AM=MW;③CM4;④若BC的长为3W7,则AB的长为17.其中正确结论的序号为 9.如图，等边三角形纸片ABC的边长为10，点E,F分别为AB,AC边上的点.将∠BAC沿 EF折叠，若点A恰好落在该纸片BC边的中点P处，则四边形BDF的周长是 AFAE 10.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且OFIIBE，FECE· D (1)求证：DE∥BC: AF2 (2)如果FE3,SA=3,求SMc的值. 4/6 知识点三利用平行判定相似 11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B AD AE ;②DE∥BC:③AC=AB;④AD·BC=DE·AC;⑤∠ADE=∠C,能满足AADE6ACB的条件 有() D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 AD 12.如图，在AABC中，DE∥BC,若Sc=9Se,则AB的值( A. B. 1 C. D.4 13.小张家里有一块如图所示的四边形木板余料，小张想用该木板裁剪出一个面积最大的圆 形木板，已知AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,∠B为直角，那么裁剪出来的圆形木板的半径为 cm 5/6 D 14.如图是一张三角形纸片ABC,沿BC边上的中线AD折叠，点C落在点E处，AE与BC相 交于点F,若AD与AB垂直，且AB=2,AD=3,则AF的长为 A D E 15.已知：如图，在△ABC中，DE分别交AB,AC于点D,E,∠ADE=∠B.求证： △ADE∽△ABC B 616