3.4.1 相似三角形的性质(1) 学案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案围绕九年级“相似三角形的性质(1)”展开，核心知识点为相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比。课堂导入通过模型房立柱实际问题，复习相似比旧知，自然引出新知，搭建前后知识联系的学习支架。 资料亮点在于以观察、猜想、证明的探究过程为主线，培养学生逻辑推理能力与创新意识，分层设计必做、选做及综合拓展练习，结合投影机、学生板凳等实际应用问题，提升应用意识，助力学生深化理解并学会用数学语言解决现实问题。

学习任务单 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 第一学期 课题 3.4.1 相似三角形的性质(1) 教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：北京师范大学出版社 学生信息 姓名 学校 班级 学号 学习目标 1.理解并掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比的性质． 2.通过观察、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑推理能力和探究精神． 课前学习任务 复习引入 【复习导入】 如图，小王依据图纸上的 △ABC，以 1 : 2 的比例建造了模型房的房梁 △A'B'C'，CD 和 C'D' 分别是它们的立柱. 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 课上学习任务 【学习任务一】 探究点：相似三角形中的对应线段之比 [思考·交流] (1) 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 3，那么这两个三角形的两条中线 AD，A'D' 有怎样的关系？你还能提出类似的问题吗？与同伴进行交流. 【学习任务二】 (2) 如果两个三角形相似，那么它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请说明你的理由. 如图，已知，，分别为对应边，上的高，。那么 吗？ 已知△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应角的角平分线，求证： 已知△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应边上的中线，求证： [归纳总结] 议一议 如图，已知 △ABC ∽ △A'B'C'，△ABC 与 △A'B'C' 的相似比为 k；点 D，E 在 BC 边上，点 D'，E' 在 B'C' 边上. (1) 若∠BAD = ∠BAC，∠B'A'D' = ∠B'A'C'，则等于多少？ (2) 若 BE = BC，B'E' = B'C'，则等于多少？ (3) 你还能提出哪些问题？与同伴交流. 【学习任务三】 典例精讲 例：如图，AD是△ABC的高，AD = H，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR = BC 时，求DE的长. 如果SR = BC 呢？ 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1. 顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应中线的比是( )A. 1:B. 1:3 C. 1: D. 1:2 选做题： 2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______. 【综合拓展类作业】 3．如图，在△ABC中，内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高，AH交GF于点K，BC＝48，EF＝10，DE＝18。求AK的长。 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如图，在△ABC 中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC 于点D，E.其中点B，C，D，E 处的读数分别为8，16，10.5，14.5 ，已知直尺宽为3，则△ABC中BC 边上的高为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 选做题： 2. 如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上，已知胶片与屏幕平行，点A 为光源，与胶片BC的距离为0.1 m，胶片的高BC 为0.038 m，若需要投影后的图像DE高2.28 m ，则投影机光源A到屏幕DE的距离为___m . 【综合拓展类作业】 3. 　某高级中学为高一新生设计的学生板凳正面视图如图所示。其中BA = CD，BC = 20cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm，8cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为30cm，那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等忽略不计) 答案： 【课堂练习】 1. D 2. 2:3 3.解：∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥BC，GF＝DE＝18，KH＝FE＝10， ∴△AGF∽△ABC， ∴  ，即， ∴AK＝6。 【作业设计】 1. D 2. 6 解：如图，过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于N，M两点， 作CP⊥AD于点P，交EF于点Q。由题意，得四边形ABCM和 四边形AENM都是平行四边形， ∴EN = AM = BC = 20cm。 ∴MD = AD-AM = 30-20 = 10(cm)。 由题意，知CP = 40cm，PQ = 8cm。 ∴CQ = 32cm。 ∵EF∥AD，∴∠CNF =∠CMD， ∠CFN =∠CDM，∴△CNF∽△CMD， ∴， 即，∴NF=8cm。 ∴EF = EN+NF = 20+8 = 28(cm)。 故横梁EF应为28cm。 学科网（北京）股份有限公司 $