第一章勾股定理【基础过关卷・单元卷 1】2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理【基础过关卷・单元卷 1】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1 探索勾股定理、1.2 一定是直角三角形吗、1.3 勾股定理的应用。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，两条直角边的长分别是 6 和 8，则斜边 AB 的长是（　　） A．10 B．14 C． D．100 2．如图，在 △ABC 中，AB = 33，BC = 56，AC = 65，则 △ABC 的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 5，BC = 12．将 △ABC 沿 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，则 CD 的长是（　　） A． B． C．4 D． 4．如图，∠ADB = ∠DBC = 90°，AD = 10，AB = 26，BC = 18，则 CD 的长是（　　） A．24 B．30 C．32 D．34 5．如图，一架长为 25 m 的梯子 AB 斜靠在一面竖直的墙上，梯子的底端 B 到墙脚 O 的距离是 7 m．若梯子的顶端 A 沿墙下滑 4 m 到达点 C，此时梯子的底端到达点 D，则 BD 的长是（　　） A．4 m B．6 m C．8 m D．15 m 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 12，BC = 16，CD 是斜边 AB 上的中线，CE ⊥ AB 于点 E，则 DE 的长是（　　） A． B． C．2 D． 7．如图，在 △ABC 中，AB = 13，BC = 14，AC = 15，AD ⊥ BC 于点 D，则 BD 的长是（　　） A．5 B．9 C．6 D．7 8．如图，在数轴上，点 O 表示 0，点 A 表示 3，AB ⊥ OA 于点 A，且 AB = 2．以点 O 为圆心、OB 长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点 C，则点 C 表示的数是（　　） A． B． C． D．-3 9．如图，在离水面高度 AC = 5 m 的岸上，有人用绳子拉船靠岸。开始时绳子 BC 的长为 13 m．此人以每秒 0.45 m 的速度收绳，15 s 后船移动到点 D 处，则船向岸边移动了（　　） A．8.25 m B．6.75 m C．8 m D．4.75 m 10．如图，一个圆柱形礼盒的底面周长为 12 cm、高为 10 cm．一根彩带从下底面上的点 A 出发，沿侧面绕行 两圈 后，恰好到达上底面上与点 A 正对的点 B，则这根彩带的最短长度是（　　） A．26 cm B． cm C．13 cm D．24 cm 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．一块长方形草坪的长是 24 m，宽是 10 m，则这块草坪的对角线的长是 ______ m． 12．一个正方形的面积是 25 ，则它的对角线的长是 ______ cm． 13．如图，一艘轮船从码头 O 出发，先向正东方向航行 48 km 到达点 A，再向正北方向航行 14 km 到达点 B，则点 B 到码头 O 的距离是 ______ km． 14．在 △ABC 中，AB = 15，AC = 13，BC 边上的高 AD = 12，则 BC 的长是 ______． 15．已知一个三角形的三边长分别是 、、（ 为正整数），当 ______ 时，这个三角形是直角三角形． 16．如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB = 8，AD = 10．将纸片沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处，则 BF = ______，CE = ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 15，BC = 20． (1) 求 AB 的长； (2) 求 AB 边上的高 CD 的长． 18．（6 分）已知一个三角形的三边长分别是 9、10、17． (1) 判断这个三角形是不是直角三角形，并说明理由； (2) 求这个三角形的面积． 19．（6 分）如图，一根旗杆在离地面 6 m 的点 A 处被风吹断，折断后旗杆的顶端 B 落在离旗杆底部 O 点 8 m 处的地面上． (1) 求折断处到旗杆顶端的距离 AB； (2) 求这根旗杆折断前的总高度． 20．（6 分）如图，四边形 ABCD 是一块菜地的示意图，其中 ∠ABC = 90°，AB = 9 m，BC = 12 m，CD = 8 m，AD = 17 m． (1) 求对角线 AC 的长； (2) 判断 △ACD 的形状，并说明理由； (3) 求这块菜地（四边形 ABCD）的面积． 21．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥ BC 于点 D． (1) 求 AD 的长； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 求腰 AB 上的高 CE 的长． 22．（8 分）如图，用 4 个全等的直角三角形拼成一个大正方形 ABCD，中间留下一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为 a、b（a > b），斜边长为 c． (1) 分别用含 a、b、c 的式子表示大正方形 ABCD 的面积、中间小正方形的面积，以及 4 个直角三角形的面积之和，并由此验证勾股定理； (2) 若大正方形的面积是 25，每个直角三角形的面积是 6，求 的值． 23．（8 分）如图，海港 C 与监测点 A、B 的距离分别为 AC = 300 km、BC = 400 km，且 ∠ACB = 90°．台风中心沿直线 AB 由点 A 向点 B 移动，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E．以台风中心为圆心、260 km 为半径的圆形区域为受影响区域，台风中心的移动速度为 25 km/h． (1) 求监测点 A 与监测点 B 之间的距离 AB； (2) 求 CE 的长； (3) 海港 C 是否会受此次台风影响？若会受影响，求受影响的时间． 24．（8 分）如图，一个长方体纸盒的长、宽、高分别为 21 cm、12 cm、8 cm，A 是底面上的一个顶点，B 是与 A 不在同一个面上的、离 A 最远的顶点．一只蚂蚁想从点 A 沿纸盒的表面爬到点 B． (1) 请说明：把纸盒的表面展开后，从 A 到 B 的可能路线共有三种不同的「展开方式」，并分别算出每种展开方式对应的 A、B 两点间的直线距离； (2) 求蚂蚁爬行的最短路程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章勾股定理【基础过关卷・单元卷 1】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1 探索勾股定理、1.2 一定是直角三角形吗、1.3 勾股定理的应用。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，两条直角边的长分别是 6 和 8，则斜边 AB 的长是（　　） A．10 B．14 C． D．100 【答案】 A 【解析】 ∠C = 90°，所以 AB 是斜边，两条直角边 AC、BC 的长分别是 6 和 8． 由勾股定理得 ， 所以 ．选 A． 【解题提示】求斜边时用「两条直角边的平方和」。最后一步一定要开平方，算出 100 就选 D 是本题最常见的错法。 2．如图，在 △ABC 中，AB = 33，BC = 56，AC = 65，则 △ABC 的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】 B 【解析】 三边中 AC = 65 最长，另外两条较短边是 33 和 56． 因为 ，而 ， 所以 ． 由勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形，且 ∠B = 90°．选 B． 【解题提示】用逆定理判断形状，先挑出最长边，再算「另两边的平方和」与「最长边的平方」是否相等。33、56、65 与 3、4、5 是同一组比例，看得出可以少算几步。 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 5，BC = 12．将 △ABC 沿 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，则 CD 的长是（　　） A． B． C．4 D． 【答案】 A 【解析】 先求斜边：． 折叠前后对应线段相等，所以 ，，于是 ． 又因为 ∠AED = ∠C = 90°，所以 △BDE 是直角三角形． 设 ，则 ． 在 Rt△BDE 中，，即 ． 展开得 ，所以 ，．选 A． 【解题提示】折叠题的通用思路：折叠是全等变换，对应边、对应角都相等，于是「折前的一条边」搬到了新位置。本题把未知量放在折叠后新出现的直角三角形 BDE 里，再用勾股定理列方程。 4．如图，∠ADB = ∠DBC = 90°，AD = 10，AB = 26，BC = 18，则 CD 的长是（　　） A．24 B．30 C．32 D．34 【答案】 B 【解析】 在 Rt△ADB 中，． 在 Rt△DBC 中，．选 B． 【解题提示】两个直角三角形共用一条直角边 DB，这就是本题的钥匙：先在第一组条件里把公共边求出来，再把它带进第二个直角三角形，「连续用勾股」就不会乱。 5．如图，一架长为 25 m 的梯子 AB 斜靠在一面竖直的墙上，梯子的底端 B 到墙脚 O 的距离是 7 m．若梯子的顶端 A 沿墙下滑 4 m 到达点 C，此时梯子的底端到达点 D，则 BD 的长是（　　） A．4 m B．6 m C．8 m D．15 m 【答案】 C 【解析】 梯子的长度自始至终不变，都是 25 m． 滑动前：在 Rt△AOB 中，（m）． 滑动后：（m），在 Rt△COD 中，（m）． 所以底端向外滑动的距离是 （m）．选 C． 【解题提示】梯子滑动问题要画两个直角三角形：「滑动前」和「滑动后」各算一次。梯子的长度是两个直角三角形共同的斜边，这是把两个状态联系起来的桥梁。 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 12，BC = 16，CD 是斜边 AB 上的中线，CE ⊥ AB 于点 E，则 DE 的长是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】 A 【解析】 ． 因为 CD 是斜边 AB 上的中线，所以 ． 又 ， 而 ， 所以 ，． 在 Rt△ACE 中，． 点 E 比点 D 更靠近点 A，所以 ．选 A． 【解题提示】同一个直角三角形上有两个「特殊点」，要把它们分开算：斜边上的中线给出中点到各顶点的距离，面积法给出高的长。本题把 A、D、E 三点到点 A 的距离排好顺序，再用线段之差求 DE，就不会把加减方向搞反。 7．如图，在 △ABC 中，AB = 13，BC = 14，AC = 15，AD ⊥ BC 于点 D，则 BD 的长是（　　） A．5 B．9 C．6 D．7 【答案】 A 【解析】 设 ，则 ． 在 Rt△ABD 中，； 在 Rt△ACD 中，． 两式都等于 ，所以 ． 展开得 ， 化简得 ，，．选 A． 【解题提示】三边都已知、要求一条线段时，设未知数，让同一个高用两种方式表示，列出方程。13、14、15 不是勾股数，不能凭印象当成直角三角形。 8．如图，在数轴上，点 O 表示 0，点 A 表示 3，AB ⊥ OA 于点 A，且 AB = 2．以点 O 为圆心、OB 长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点 C，则点 C 表示的数是（　　） A． B． C． D．-3 【答案】 A 【解析】 因为 AB ⊥ OA，所以 △OAB 是直角三角形， ． 点 C 是以 O 为圆心、OB 为半径画的弧与数轴的交点，所以 ． 点 C 在原点左侧，表示的数是负数，所以点 C 表示的数是 ．选 A． 【解题提示】在数轴上作出表示无理数的点，是勾股定理最直接的应用：先构造一个直角三角形，让斜边正好等于要表示的那个数，再以原点为圆心画弧。注意分辨交点落在原点的哪一侧，左边表示负数。 9．如图，在离水面高度 AC = 5 m 的岸上，有人用绳子拉船靠岸。开始时绳子 BC 的长为 13 m．此人以每秒 0.45 m 的速度收绳，15 s 后船移动到点 D 处，则船向岸边移动了（　　） A．8.25 m B．6.75 m C．8 m D．4.75 m 【答案】 A 【解析】 先算收了多少绳：（m）， 所以 15 s 后绳长 （m）． 岸 AC 垂直于水面，所以 △ACB、△ACD 都是直角三角形． 开始时：（m）． 15 s 后：（m）． 所以船向岸边移动了 （m）．选 A． 【解题提示】「收绳拉船」比单纯的梯子滑动多一步：要先把「收绳速度 × 时间」换算成绳长的变化，才能得到新的斜边。两个状态共用同一条岸高 AC，它是把两次勾股连起来的桥梁。 10．如图，一个圆柱形礼盒的底面周长为 12 cm、高为 10 cm．一根彩带从下底面上的点 A 出发，沿侧面绕行 两圈 后，恰好到达上底面上与点 A 正对的点 B，则这根彩带的最短长度是（　　） A．26 cm B． cm C．13 cm D．24 cm 【答案】 A 【解析】 把圆柱的侧面沿一条母线剪开展开，得到一个矩形． 彩带绕 两圈，所以展开后彩带要跨过 两个 完整的底边，水平方向的总长度是 （cm）； 竖直方向就是圆柱的高 10 cm． 彩带的最短长度就是这个矩形的对角线长： （cm）．选 A． 【解题提示】绕圆柱侧面的最短路程，一定要先把侧面展开成矩形，再把曲面上的曲线变成平面上的线段。本题的陷阱是「绕两圈」：水平方向要乘以 2，只算一圈会得到 ，那是不对的。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．一块长方形草坪的长是 24 m，宽是 10 m，则这块草坪的对角线的长是 ______ m． 【答案】 26 【解析】 长方形的四个角都是直角，相邻两边与一条对角线围成一个直角三角形，两条邻边是直角边，对角线是斜边． 设对角线长为 d，由勾股定理得 ， 所以 （m）． 【解题提示】长方形（矩形）的对角线问题都能直接放进直角三角形里：两条邻边是直角边，对角线是斜边。24、10、26 与 12、5、13 是同一组比例。 12．一个正方形的面积是 25 ，则它的对角线的长是 ______ cm． 【答案】 【解析】 设正方形的边长是 a，则 ． 正方形的一条对角线把它分成两个等腰直角三角形，对角线是斜边，两条直角边都是 a． 所以 ， （cm）． 【解题提示】正方形对角线的平方等于边长的平方的 2 倍，所以不必先算出边长的近似值。最后别忘了把 化成最简二次根式 。 13．如图，一艘轮船从码头 O 出发，先向正东方向航行 48 km 到达点 A，再向正北方向航行 14 km 到达点 B，则点 B 到码头 O 的距离是 ______ km． 【答案】 50 【解析】 正东方向与正北方向的夹角是 90°，所以 △OAB 是直角三角形，∠A = 90°． （km）． 【解题提示】「正东 + 正北（或正南）」的两条航线一定互相垂直，可以直接放进直角三角形算斜边。48、14、50 与 24、7、25 是同一组比例。 14．在 △ABC 中，AB = 15，AC = 13，BC 边上的高 AD = 12，则 BC 的长是 ______． 【答案】 14 或 4 【解析】 因为 AD ⊥ BC，所以 △ABD 与 △ACD 都是直角三角形． 在 Rt△ABD 中，． 在 Rt△ACD 中，． 高 AD 的位置有两种情形： 情形一：点 D 在线段 BC 上，； 情形二：点 D 在线段 BC 的延长线上，． 所以 BC 的长是 14 或 4． 【解题提示】已知两边及第三边上的高，高可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，两种情形都要算。题目没有给图时尤其要注意，漏掉一种就丢分。 15．已知一个三角形的三边长分别是 、、（ 为正整数），当 ______ 时，这个三角形是直角三角形． 【答案】 6 【解析】 三边中 最大，所以若它是直角三角形， 所对的边就是斜边． 由勾股定理的逆定理，． 展开得 ， 整理得 ，即 ， 或 ． 因为 n 为正整数，所以 ． 此时三边长为 6、8、10，满足 ，确实是直角三角形． 【解题提示】三边都含同一个字母时，先用逆定理列方程，再解方程；解出后要按题目的范围（这里 n 为正整数）筛掉不合题意的根，最后拿一组具体数值回代检验一次。 16．如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB = 8，AD = 10．将纸片沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处，则 BF = ______，CE = ______． 【答案】 6；3 【解析】 折叠前后对应线段相等，所以 ，． 因为四边形 ABCD 是长方形，所以 ∠B = 90°，△ABF 是直角三角形． 在 Rt△ABF 中，． 因为 AD = BC = 10，所以 ． 设 ，则 ． 在 Rt△CEF 中，∠C = 90°，由勾股定理得， 即 ． 展开得 ，所以 ，． 所以 BF = 6，CE = 3． 【解题提示】折痕经过一个顶点时，折叠后的对应点与这个顶点构成的三角形就是解题的入口。本题先用勾股定理求出 BF，再用「AD = BC」把 FC 求出来，最后在被折出的小直角三角形 CEF 里设未知数。三步一层套一层，缺一步都做不下去。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 15，BC = 20． (1) 求 AB 的长； (2) 求 AB 边上的高 CD 的长． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 因为 ∠C = 90°，所以 AB 是斜边． 由勾股定理得 ， 所以 ． (2) 因为 CD ⊥ AB，所以 CD 是 AB 边上的高． 用两种方式表示 △ABC 的面积： ， 又 ， 所以 ，． 【解题提示】第 (2) 问是面积法的标准书写：先用勾股定理求出斜边，再用两种「底 × 高」表示同一个面积，列出等式解出高。这是本章必考的一步，写解答题时要两边都写出面积的表达式。 18．（6 分）已知一个三角形的三边长分别是 9、10、17． (1) 判断这个三角形是不是直角三角形，并说明理由； (2) 求这个三角形的面积． 【答案】 (1) 不是直角三角形；(2) 36 【解析】 (1) 最长边是 17，另外两条较短边是 9 和 10． 因为 ，而 ， ， 所以由勾股定理的逆定理可知，这个三角形不是直角三角形． (2) 设最短边 9 与最长边 17 的公共顶点为 A，作最长边上的高 h，设高把最长边分成的两段中，靠近边长 10 的那段为 x，则另一段为 ． 由勾股定理得 （都等于 ）， 即 ， 化简得 ，，． 所以 ，． 所以面积是 ． 【解题提示】第 (1) 问要按逆定理的格式写全：先找最长边，再分别算出「两短边平方和」与「最长边平方」，最后下结论。第 (2) 问说明「不是直角三角形的三角形」同样能用勾股定理求面积：作高，把它分成两个直角三角形，设未知数列方程。 19．（6 分）如图，一根旗杆在离地面 6 m 的点 A 处被风吹断，折断后旗杆的顶端 B 落在离旗杆底部 O 点 8 m 处的地面上． (1) 求折断处到旗杆顶端的距离 AB； (2) 求这根旗杆折断前的总高度． 【答案】 (1) m；(2) 16 m 【解析】 (1) 旗杆直立时垂直于地面，所以 ∠AOB = 90°，△AOB 是直角三角形． 还立着的一段 m 与地面上的 m 是两条直角边，折断部分 AB 是斜边， （m）． 所以折断处到旗杆顶端的距离是 10 m． (2) 折断前旗杆的总高度等于「还立着的一段」加上「折断下来的那一段」， 即 （m）． 【解题提示】「旗杆（树）折断」模型的要点：折断下来的那一段长度，折断前后完全一样。所以「折断处到顶端的距离」既是图中的斜边，也是旗杆缺失的那一段。 20．（6 分）如图，四边形 ABCD 是一块菜地的示意图，其中 ∠ABC = 90°，AB = 9 m，BC = 12 m，CD = 8 m，AD = 17 m． (1) 求对角线 AC 的长； (2) 判断 △ACD 的形状，并说明理由； (3) 求这块菜地（四边形 ABCD）的面积． 【答案】 (1) m；(2) 直角三角形；(3) 114 【解析】 (1) 因为 ∠ABC = 90°，所以 △ABC 是直角三角形， （m）． (2) △ACD 的三边为 、、，其中 AD 最长． 因为 ，而 ， 所以 ，△ACD 是直角三角形，且 ∠ACD = 90°． (3) 四边形 ABCD 被对角线 AC 分成 △ABC 与 △ACD，所以它的面积等于这两个三角形面积之和： ， ， 所以 （）． 【解题提示】「四边形求面积」的固定套路：先连一条对角线，把它拆成两个三角形。一条对角线用勾股定理求出来，再用逆定理证明它是直角三角形，两个直角三角形的面积就好算了。 21．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥ BC 于点 D． (1) 求 AD 的长； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 求腰 AB 上的高 CE 的长． 【答案】 (1) ；(2) 48；(3) 【解析】 (1) 因为 AB = AC，所以 △ABC 是等腰三角形，AD 既是底边上的高，也是底边上的中线， 所以 ． 在 Rt△ABD 中，． (2) ． (3) 用两种方式表示 △ABC 的面积： ， 所以 ，． 【解题提示】同一个三角形可以选不同的边作底，面积法就是让两次「底 × 高 ÷ 2」相等。第 (3) 问换了个底（腰 AB），但面积没变，所以直接拿第 (2) 问的结果去解就行。 22．（8 分）如图，用 4 个全等的直角三角形拼成一个大正方形 ABCD，中间留下一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为 a、b（a > b），斜边长为 c． (1) 分别用含 a、b、c 的式子表示大正方形 ABCD 的面积、中间小正方形的面积，以及 4 个直角三角形的面积之和，并由此验证勾股定理； (2) 若大正方形的面积是 25，每个直角三角形的面积是 6，求 的值． 【答案】 (1) 见解析；(2) 49 【解析】 (1) 大正方形 ABCD 的边长是 c，所以 ； 中间小正方形的边长是 ，所以 ； 每个直角三角形的面积是 ，4 个的和是 ． 因为大正方形正好由小正方形和 4 个直角三角形拼成，所以 ． 把右边展开：， 所以 ，勾股定理得到验证． (2) 由 且 ，得 ，所以 ． 由每个直角三角形的面积是 6，得 ，即 ． 所以 ． 【解题提示】弦图是勾股定理最经典的证明：大正方形 = 小正方形 + 4 个三角形。第 (2) 问要用到完全平方公式的变形 ，而 与 都已经能求出来了。 23．（8 分）如图，海港 C 与监测点 A、B 的距离分别为 AC = 300 km、BC = 400 km，且 ∠ACB = 90°．台风中心沿直线 AB 由点 A 向点 B 移动，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E．以台风中心为圆心、260 km 为半径的圆形区域为受影响区域，台风中心的移动速度为 25 km/h． (1) 求监测点 A 与监测点 B 之间的距离 AB； (2) 求 CE 的长； (3) 海港 C 是否会受此次台风影响？若会受影响，求受影响的时间． 【答案】 (1) km；(2) km；(3) 会，8 h 【解析】 (1) 因为 ∠ACB = 90°，所以 △ABC 是直角三角形， （km）． (2) 用两种方式表示 △ABC 的面积： ， 又 ， 所以 ，（km）． (3) 因为 ，即台风中心到海港 C 的最近距离小于受影响区域的半径，所以海港 C 会受影响． 设台风中心在 AB 上的点 M、N 处时，到 C 的距离恰好为 260 km，则 ． 在两个直角三角形中，（km）． 由对称性 km，所以受影响的路程 （km）． 受影响的时间是 （h）． 【解题提示】台风影响问题分两步走：先用面积法求出圆心到直线的最近距离，与半径比较判断「会不会」；再用勾股定理求出「受影响的那段弦长」，除以速度得到时间。第 (3) 问的关键是想到「受影响的路程 = 2 × EM」。 24．（8 分）如图，一个长方体纸盒的长、宽、高分别为 21 cm、12 cm、8 cm，A 是底面上的一个顶点，B 是与 A 不在同一个面上的、离 A 最远的顶点．一只蚂蚁想从点 A 沿纸盒的表面爬到点 B． (1) 请说明：把纸盒的表面展开后，从 A 到 B 的可能路线共有三种不同的「展开方式」，并分别算出每种展开方式对应的 A、B 两点间的直线距离； (2) 求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】 (1) 三种分别为 29 cm、 cm、 cm；(2) 29 cm 【解析】 蚂蚁要越过两个面才能从 A 到 B，把这两个面展开成同一个平面时，两个面的连接边有三种选法，于是得到三种不同的展开方式． (1) ① 沿「宽 + 高」的方向展开（把较短的两条棱接在一起）： 水平距离为 （cm），竖直距离为 21 cm， （cm）． ② 沿「长 + 高」的方向展开： 水平距离为 （cm），竖直距离为 12 cm， （cm）． ③ 沿「长 + 宽」的方向展开： 水平距离为 （cm），竖直距离为 8 cm， （cm）． (2) 因为 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程是 29 cm． 【解题提示】长方体表面最短路程，一定要把三种展开方式都算一遍再比大小，不能凭感觉挑一种。三种展开就是把两条棱长的和当水平边、把第三条棱长当竖直边，逐一穷举即可。本题三种结果分别是 、、，只有第一种能化成整数。 学科网（北京）股份有限公司 $