第一单元《勾股定理》专项计算卷 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册《勾股定理》专项计算卷 满分：100 分 建议用时：60 分钟 班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________ 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。每小题只有一个正确选项） 1．已知在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 9，b = 12，则斜边 c 的长是（　　） A．15　　B．21　　C．3　　D． 2．已知在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，c = 13，a = 5，则直角边 b 的长是（　　） A．8　　B．12　　C．18　　D． 3．下列各组数据中，能作为一个直角三角形的三边长的是（　　） A．1，1，2 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，11，12 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8，CD ⊥ AB 于点 D，则 CD 的长是（　　） A．4.8　　B．5　　C．4　　D．10 5．化简 的结果是（　　） A．5　　B．3　　C．15　　D．25 6．一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，则它的第三条边的长是（　　） A．10　　B．2　　C．10 或 2　　D．14 7．如图，在 4×3 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A、B 都是格点，则线段 AB 的长是（　　） A．　　B．　　C．3　　D． 8．如图，在△ABC 中，AB = AC = 13，BC = 10，AD ⊥ BC 于点 D，则 AD 的长是（　　） A．12　　B．10　　C．　　D．24 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 7，b = 24，则 c = ____________。 10．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，c = 25，a = 15，则 b = ____________。 11．化简： = ____________。 12．如图，以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，其中两个较小的正方形的面积分别是 25 和 144，则最大的正方形的面积是 ____________。 13．如图，在数轴上以 2 个单位长度为边长作一个正方形，以原点 O 为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A 表示的数是 ____________。 14．已知一个直角三角形的两条直角边长分别是 5 和 12，则斜边上的高是 ____________。 15．如图，一棵树在离地面 9 米处折断，树的顶端落在离树底部 12 米处，则这棵树折断的部分长 ____________ 米。 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 9，CD ⊥ AB 于点 D，则 AB = ____________，CD = ____________。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明与演算步骤） 17．（8 分）计算： (1) 已知一个直角三角形的两条直角边长分别是 8 和 15，求斜边的长； (2) 已知一个直角三角形的斜边长是 17，一条直角边长是 8，求另一条直角边的长； (3) 化简：； (4) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 9，b = 40，求 c 的长。 18．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于点 D，AC = 12，BC = 16。 (1) 求 AB 的长； (2) 求 CD 的长； (3) 求 AD 的长。 19．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13。 (1) 求 AC 的长； (2) 判断△ACD 的形状，并说明理由； (3) 求四边形 ABCD 的面积。 20．（10 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥ BC 于点 D，BE ⊥ AC 于点 E。 (1) 求 AD 的长； (2) 求△ABC 的面积； (3) 求 BE 的长。 21．（8 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB = 8，BC = 10，将长方形沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处。 (1) 求 BF 的长； (2) 求 EC 的长。 22．（10 分）综合与探究： (1) 已知一个直角三角形的一条直角边长是 8，斜边长是 10，求另一条直角边的长和斜边上的高； (2) 已知一个直角三角形的两条直角边长的和是 14，斜边长是 10，求这个直角三角形的面积。 参考答案与解析 一、选择题：1．A　2．B　3．C　4．A　5．A　6．C　7．B　8．A 1．A：c = = = = = 15。 2．B：b = = = = = 12。 3．C：逐组检验，只有 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102，故 6、8、10 能作为直角三角形的三边长。 4．A：AB = = = 10。由面积法 ½×6×8 = ½×10×CD，得 CD = 4.8。 5．A： = = 5。 6．C：分两种情况，6、8 都是直角边时第三边（斜边）= = 10；8 是斜边时第三边 = = = 2。 7．B：把 AB 放入网格中的直角三角形，两直角边分别为 3 和 1，AB = = 。 8．A：∵ AB = AC，AD ⊥ BC，∴ BD = ½BC = 5。在 Rt△ABD 中，AD = = = 12。 二、填空题：9．25　10．20　11．4√2　12．169　13．2　14．60/13　15．15　16．15；7.2 9．c = = = = 25。 10．b = = = = 20。 11． = = 4√2。 12．由勾股定理，两条直角边上正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积，故最大正方形的面积 = 25 + 144 = 169。 13．正方形的对角线长为 = ，故点 A 表示的数是 。 14．斜边 = √(52 + 122) = 13，由面积法 ½×5×12 = ½×13×h，得 h = 60/13。 15．折断部分 = √(92 + 122) = √(81 + 144) = √225 = 15（米）。 16．AB = √(AC2 + BC2) = √(122 + 92) = √225 = 15；由面积法 ½×12×9 = ½×15×CD，得 CD = 108 ÷ 15 = 7.2。 三、解答题 17．(1) 斜边 = √(82 + 152) = √(64 + 225) = √289 = 17。 　　(2) 另一条直角边 = √(172 − 82) = √(289 − 64) = √225 = 15。 　　(3) √48 = √(16×3) = 4√3。 　　(4) c = √(a2 + b2) = √(92 + 402) = √(81 + 1600) = √1681 = 41。 18．(1) 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AB = √(AC2 + BC2) = √(122 + 162) = √400 = 20。 　　(2) 由面积法：½AB·CD = ½AC·BC，即 ½×20×CD = ½×12×16，解得 CD = 9.6。 　　(3) 在 Rt△ACD 中，AD = √(AC2 − CD2) = √(122 − 9.62) = √(144 − 92.16) = √51.84 = 7.2。 19．(1) 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = √(AB2 + BC2) = √(32 + 42) = 5。 　　(2) △ACD 是直角三角形。理由：∵ AC2 + CD2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169，AD2 = 132 = 169，∴ AC2 + CD2 = AD2，由勾股定理的逆定理得 ∠ACD = 90°。 　　(3) S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = ½×3×4 + ½×5×12 = 6 + 30 = 36。 20．(1) ∵ AB = AC，AD ⊥ BC，∴ BD = ½BC = 6。在 Rt△ABD 中，AD = √(102 − 62) = √64 = 8。 　　(2) S△ABC = ½×BC×AD = ½×12×8 = 48。 　　(3) ∵ BE ⊥ AC，∴ S△ABC = ½×AC×BE，即 48 = ½×10×BE，解得 BE = 9.6。 21．(1) 由折叠得 AF = AD = BC = 10。在 Rt△ABF 中，∠B = 90°，BF = √(AF2 − AB2) = √(102 − 82) = 6。 　　(2) FC = BC − BF = 10 − 6 = 4。设 EC = x，则 DE = DC − EC = 8 − x，由折叠得 EF = DE = 8 − x。在 Rt△EFC 中，EF2 = EC2 + FC2，即 (8 − x)2 = x2 + 42，解得 x = 3，即 EC = 3。 22．(1) 另一条直角边 = √(102 − 82) = √36 = 6；由面积法 ½×8×6 = ½×10×h，得斜边上的高 h = 48 ÷ 10 = 4.8。 　　(2) 设两条直角边长分别为 a、b，则 a + b = 14，a2 + b2 = 102 = 100。由 (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 得 196 = 100 + 2ab，故 ab = 48。所以这个直角三角形的面积 = ½ab = 24。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $