1.3 勾股定理的应用 分层练习 2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

1.3 分层练习 2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.3 勾股定理的应用、问题解决策略：反思 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．小明从家出发，先向北走了 米，再向东走了 米，此时他离家的距离为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 2．一个直角三角形的斜边长为 ，其中一条直角边长为 ，则另一条直角边长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，一棵垂直于地面的树 AB 被大风从点 B 处折断，树尖落在地面上的点 C 处．已知 AB = 3.2 米，AC = 6 米，则这棵树折断前的高度是（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 4．如图是一段楼梯的侧面示意图，楼梯的水平长度 AB = 3 米，竖直高度 BC = 2 米．一只蚂蚁要从楼梯底端 A 处沿台阶表面爬到顶端 C 处，则它爬行的最短路程是（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 5．如图，有两棵树，一棵高 6 米（树梢为 A，树根为 B），另一棵高 11 米（树梢为 C，树根为 D），两棵树的树根 B、D 相距 12 米．一只小鸟从树梢 A 飞到树梢 C，则它飞行的路程为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 6．如图，公路旁有一根垂直于公路的立柱，立柱顶端 C 处装有一个监控探头，立柱底端 A 在公路上，CA = 10 米．公路上另有一点 B，AB = 24 米，则监控探头 C 到点 B 的距离为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 7．如图，有一根垂直于地面的旗杆 AB（点 A 在杆顶，点 B 在杆底），一根绳子从杆顶 A 拉到地面上的点 C 处并被拉直．已知绳子的长度比旗杆的高度多 1 米，BC = 5 米，则旗杆 AB 的高度是（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 8．如图，小明在点 B 处放风筝，风筝飞到点 A 处，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，BC = 15 米，AC = 20 米，则风筝线 AB 的长为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 9．如图，一条河的两岸互相平行，A、B 两点隔河相望，且 AB 与河岸垂直．小明站在 A 处，沿河岸向下游走了 50 米到达点 C 处，此时测得 BC = 130 米，则这条河的宽度 AB 为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 10．《九章算术》中记载了一道「引葭赴岸」问题：如图，有一个边长为 10 尺的正方形水池，AD 是水面．芦苇生长在池的正中央，它的根在池底的点 C 处，露出水面时顶端在点 B 处，高出水面 1 尺；把芦苇拉向岸边，顶端恰好到达水面的点 A 处．则水深为（　　） A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 9，BC = 12，则 AB = ______． 12．如图，把一个底面周长为 18 cm、高为 12 cm 的圆柱形玻璃瓶的侧面沿一条母线剪开并铺平，得到一个长方形 ABCD，其中 AB 是瓶底面的周长，AD 是瓶高．点 P、Q 都在瓶的外壁上，在长方形中 P 在 AB 上且 AP = 4 cm，Q 在 DC 上且 DQ = 13 cm．则蚂蚁沿瓶壁表面从 P 爬到 Q 的最短路程为 ______ cm． 13．把一根长为 20 cm 的筷子放入一个底面直径为 8 cm、高为 15 cm 的圆柱形水杯中（筷子的一端抵在杯底），则筷子露在杯口外的长度的最小值为 ______ cm． 14．如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8．点 M、N 分别在边 CA、CB 上，且 CM = CN．若 MN = ，则 CM 的长为 ______． 15．如图，O 是海上的一座观测站，轮船甲位于 O 的北偏东 30° 方向、与 O 相距 16 海里的 A 处；轮船乙位于 O 的南偏东 60° 方向、与 O 相距 12 海里的 B 处．则 A、B 两船之间的距离为 ______ 海里． 16．如图，一个正方体的棱长为 2，A、B 是正方体上相对的两个顶点（A、B 恰好是一条体对角线的两个端点）．一只蚂蚁沿正方体的表面从 A 爬到 B，则它爬行的最短路程为 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）一架长为 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙面 AC 上，梯子的底端 B 在水平地面上，且 BC = 0.7 m． (1) 求梯子顶端 A 到地面的高度 AC； (2) 如果梯子的顶端 A 沿墙面下滑 0.4 m，那么梯子的底端 B 会向外滑动多少米？ 18．（6 分）如图，四边形 ABCD 是一块空地的示意图，其中 ∠B = 90°，AB = 24 m，BC = 7 m，CD = 15 m，AD = 20 m．连接 AC． (1) 求 AC 的长； (2) 求这块空地的面积． 19．（7 分）如图，A 是沿海的一座城市，台风中心在点 B 处，正沿射线 BC 方向以 25 km/h 的速度移动．过点 A 作 AD ⊥ BC，垂足为 D．已知 AB = 130 km，BD = 50 km． (1) 求 A 市到台风移动路线 BC 的距离 AD； (2) 若距台风中心 130 km 以内的区域都会受到台风影响，求 A 市受这次台风影响的时间． 20．（7 分）如图，一个长方体的长、宽、高分别为 8 cm、6 cm、4 cm，A、G 是长方体上相对的两个顶点（A 在底面，G 在顶面，A、G 恰好是一条体对角线的两个端点）．一只蚂蚁沿长方体的表面从 A 爬到 G． (1) 把长方体的表面展开成平面图形后，A、G 之间的所有连线中，线段最短．请说明理由； (2) 求蚂蚁爬行的最短路程． 21．（6 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB = 15，BC = 9．点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，△AFE 是把 △ABE 沿 AE 折叠后得到的图形（点 B 的对应点是 F）． (1) 求 DF 的长； (2) 求 CE 的长． 22．（6 分）有一块直角三角形形状的空地，它的两条直角边长分别为 9 m 和 12 m． (1) 求这块空地斜边的长； (2) 现在要从直角顶点向斜边修一条尽量短的水渠，求这条水渠的长度． 23．（7 分）如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC，垂足为 D，AB = 15，AC = 13，BC = 14． (1) 求 BD 的长； (2) 求 △ABC 的面积． 24．（8 分）在 △ABC 中，AB = 20，AC = 13，BC = 21． (1) 求 BC 边上的高； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 若点 E 在边 BC 上，且 AE = 15，求 BE 的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 分层练习 2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.3 勾股定理的应用、问题解决策略：反思 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．小明从家出发，先向北走了 米，再向东走了 米，此时他离家的距离为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】 C 【解析】 小明两次行走的方向互相垂直，所以他行走的路线与「离家的距离」构成一个直角三角形： 向北走的 米与向东走的 米是两条直角边，离家的距离是斜边． 由勾股定理得 （米）．选 C． 【解题提示】先把实际路线画成示意图，再「找直角」：正北与正东两个方向互相垂直，直角找到了，勾股定理就能直接用． 2．一个直角三角形的斜边长为 ，其中一条直角边长为 ，则另一条直角边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 ．选 B． 【解题提示】已知斜边与一条直角边求另一条直角边时，要用「斜边的平方减去已知直角边的平方」，注意是相减不是相加；求出 后还要开方． 3．如图，一棵垂直于地面的树 AB 被大风从点 B 处折断，树尖落在地面上的点 C 处．已知 AB = 3.2 米，AC = 6 米，则这棵树折断前的高度是（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】 D 【解析】 树垂直于地面，所以 ∠A = 90°，△ABC 是直角三角形， （米）． 折断前的高度等于还立着的一段与折断倒下的一段之和， 所以高度为 （米）．选 D． 【解题提示】「折断前的高度」不是斜边，而是「直角边 + 斜边」；倒下的一段（斜边）与仍然竖立的一段都要算进去，漏掉一段就会误选 B． 4．如图是一段楼梯的侧面示意图，楼梯的水平长度 AB = 3 米，竖直高度 BC = 2 米．一只蚂蚁要从楼梯底端 A 处沿台阶表面爬到顶端 C 处，则它爬行的最短路程是（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】 B 【解析】 蚂蚁沿台阶表面爬行时，每一级台阶的水平段与竖直段都要爬过． 把所有的水平段平移后，它们的总长度正好等于楼梯的水平长度 AB = 3 米； 把所有的竖直段平移后，它们的总长度正好等于楼梯的竖直高度 BC = 2 米． 所以最短路程为 （米）．选 B． 【解题提示】「化折为直」：台阶虽然弯弯曲曲，但所有水平段之和等于总水平长度，所有竖直段之和等于总高度，两段拼起来就是最短路程． 5．如图，有两棵树，一棵高 6 米（树梢为 A，树根为 B），另一棵高 11 米（树梢为 C，树根为 D），两棵树的树根 B、D 相距 12 米．一只小鸟从树梢 A 飞到树梢 C，则它飞行的路程为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】 C 【解析】 两棵树的高度差为 （米），两树根之间的距离为 12 米． 小鸟飞行的路线 AC 与「两树根连线 BD」「两树高度差」构成直角三角形，直角边分别为 12 米和 5 米，AC 是斜边， （米）．选 C． 【解题提示】两棵树「一样高」时可以直接平移；本题两棵树高度不同，必须先算出「高度差」，它才是直角三角形的一条直角边． 6．如图，公路旁有一根垂直于公路的立柱，立柱顶端 C 处装有一个监控探头，立柱底端 A 在公路上，CA = 10 米．公路上另有一点 B，AB = 24 米，则监控探头 C 到点 B 的距离为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】 B 【解析】 立柱垂直于公路，所以 CA ⊥ AB，△ABC 是直角三角形， （米）．选 B． 【解题提示】「垂直于公路的立柱」提供的就是直角．把实际情境翻译成直角三角形以后，再把已知的两条直角边代入即可． 7．如图，有一根垂直于地面的旗杆 AB（点 A 在杆顶，点 B 在杆底），一根绳子从杆顶 A 拉到地面上的点 C 处并被拉直．已知绳子的长度比旗杆的高度多 1 米，BC = 5 米，则旗杆 AB 的高度是（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】 B 【解析】 设旗杆 AB = x 米，则绳子 AC = (x + 1) 米． 因为旗杆垂直于地面，所以 ∠ABC = 90°． 在 Rt△ABC 中，，即 ． ，，． 所以旗杆 AB 的高度是 12 米．选 B． 【解题提示】「绳长比旗杆多 1 米」就把绳长表示成「」；再用勾股定理列方程，解出后要检验 是否为正数． 8．如图，小明在点 B 处放风筝，风筝飞到点 A 处，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，BC = 15 米，AC = 20 米，则风筝线 AB 的长为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】 B 【解析】 因为 ∠C = 90°，所以 △ABC 是直角三角形，AB 是斜边， （米）．选 B． 【解题提示】风筝线的长度就是直角三角形的斜边，「水平距离」与「竖直高度」则是两条直角边． 9．如图，一条河的两岸互相平行，A、B 两点隔河相望，且 AB 与河岸垂直．小明站在 A 处，沿河岸向下游走了 50 米到达点 C 处，此时测得 BC = 130 米，则这条河的宽度 AB 为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】 B 【解析】 AB 与河岸垂直、AC 沿河岸方向，所以 AB ⊥ AC，△ABC 是直角三角形，其中 BC 是斜边． （米）．选 B． 【解题提示】「AB 与河岸垂直」说明 AB 就是河宽，而 AC 沿河岸走，两者互相垂直；直角找对了，最长的 BC 就是斜边，用减法求出河宽． 10．《九章算术》中记载了一道「引葭赴岸」问题：如图，有一个边长为 10 尺的正方形水池，AD 是水面．芦苇生长在池的正中央，它的根在池底的点 C 处，露出水面时顶端在点 B 处，高出水面 1 尺；把芦苇拉向岸边，顶端恰好到达水面的点 A 处．则水深为（　　） A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺 【答案】 B 【解析】 设水深为 x 尺，则芦苇长 BC = (x + 1) 尺． 把芦苇拉向岸边后顶端到达点 A，芦苇长度不变，所以 AC = (x + 1) 尺． 芦苇的根在池的正中央，池的边长为 10 尺，所以从池中央到池边的水平距离为 5 尺． 水深、5 尺与芦苇长构成直角三角形，由勾股定理得 ， 即 ，，． 所以水深为 12 尺．选 B． 【解题提示】「把芦苇拉向岸边」前后芦苇的长度没有变化，这是列方程的关键；「池中央到池边」的距离是边长的一半，即 5 尺． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 9，BC = 12，则 AB = ______． 【答案】 15 【解析】 ∠C 是直角，所以 AB 是斜边，AC、BC 是两条直角边， ． 【解题提示】先判断哪条边是斜边：直角所对的边才是斜边，用平方相加求出它的平方后，别忘记开方． 12．如图，把一个底面周长为 18 cm、高为 12 cm 的圆柱形玻璃瓶的侧面沿一条母线剪开并铺平，得到一个长方形 ABCD，其中 AB 是瓶底面的周长，AD 是瓶高．点 P、Q 都在瓶的外壁上，在长方形中 P 在 AB 上且 AP = 4 cm，Q 在 DC 上且 DQ = 13 cm．则蚂蚁沿瓶壁表面从 P 爬到 Q 的最短路程为 ______ cm． 【答案】 15 【解析】 把侧面剪开铺平后，蚂蚁沿瓶壁爬行的路线就变成了平面图形中的一条线． 在长方形中，P 在 AB 上且 AP = 4 cm，Q 在 DC 上且 DQ = 13 cm， 所以 P、Q 在水平方向相距 （cm），在竖直方向相距 12 cm． 两点之间线段最短，最短路程为 （cm）． 【解题提示】解决圆柱（或圆锥）表面最短路径问题的第一步总是「侧面展开」；展开后把空间问题变成了平面上的两点距离问题． 13．把一根长为 20 cm 的筷子放入一个底面直径为 8 cm、高为 15 cm 的圆柱形水杯中（筷子的一端抵在杯底），则筷子露在杯口外的长度的最小值为 ______ cm． 【答案】 3 【解析】 要使筷子露在杯口外的部分最短，就要让筷子留在杯内的部分最长． 杯内最长的线段是杯底边缘到杯口另一侧的连线，它与杯的直径、杯高构成直角三角形（直角边分别为 8 cm 和 15 cm）． 这条线段的长为 （cm）． 所以露在杯口外的长度最小为 （cm）． 【解题提示】「露在外面最短」等价于「留在杯里最长」；杯内最长的线段不是杯高，而是杯底边缘与杯口相对位置的连线． 14．如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8．点 M、N 分别在边 CA、CB 上，且 CM = CN．若 MN = ，则 CM 的长为 ______． 【答案】 3 【解析】 因为 ∠C = 90°，所以 △CMN 是直角三角形，∠C 是直角，． 设 CM = CN = x，则 ，即 ， ，所以 或 （舍去）．即 CM 的长为 3． 【解题提示】「」把两条直角边捏合成同一个未知数，方程立刻变得很简单；求出 后要开方，还要注意舍去负值． 15．如图，O 是海上的一座观测站，轮船甲位于 O 的北偏东 30° 方向、与 O 相距 16 海里的 A 处；轮船乙位于 O 的南偏东 60° 方向、与 O 相距 12 海里的 B 处．则 A、B 两船之间的距离为 ______ 海里． 【答案】 20 【解析】 过点 O 的南北方向线是一条直线，OA 与正北方向的夹角是 30°，OB 与正南方向的夹角是 60°， 所以 ∠AOB = 180° - 30° - 60° = 90°，即 OA ⊥ OB． 在 Rt△AOB 中，（海里）． 【解题提示】方位角问题先「把线补齐」：南北方向线是一条直线，两个方位角与它夹出的两个角之和加上 ∠AOB 正好是 180°，相减就能得到 ∠AOB． 16．如图，一个正方体的棱长为 2，A、B 是正方体上相对的两个顶点（A、B 恰好是一条体对角线的两个端点）．一只蚂蚁沿正方体的表面从 A 爬到 B，则它爬行的最短路程为 ______． 【答案】 【解析】 把正方体相邻的两个面展开到同一个平面内，A、B 就落在同一个长方形中． 此时 A、B 之间的水平距离为两条棱长之和 ，竖直距离为一条棱长 2． 两点之间线段最短，最短路程为 ． 【解题提示】正方体表面爬行问题要先把「折面」展开成平面；展开的方式不止一种，比较几种展开后的结果，取最小的那一个． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）一架长为 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙面 AC 上，梯子的底端 B 在水平地面上，且 BC = 0.7 m． (1) 求梯子顶端 A 到地面的高度 AC； (2) 如果梯子的顶端 A 沿墙面下滑 0.4 m，那么梯子的底端 B 会向外滑动多少米？ 【答案】 (1) AC = 2.4 m；(2) 向外滑动 0.8 m 【解析】 (1) 墙面与地面互相垂直，所以 ∠ACB = 90°，△ABC 是直角三角形． （m）． (2) 设梯子滑动后顶端到达点 E 处、底端到达点 F 处，则 EC = 2.4 - 0.4 = 2.0（m），梯子 EF 的长仍为 2.5 m． 在 Rt△ECF 中，（m）． 所以底端向外滑动的距离为 （m）． 【解题提示】梯子滑动过程中长度始终是 2.5 m，这是两次列式的共同依据；第 (2) 问里两条直角边都变了，要把新的两条直角边分别表示出来再计算． 18．（6 分）如图，四边形 ABCD 是一块空地的示意图，其中 ∠B = 90°，AB = 24 m，BC = 7 m，CD = 15 m，AD = 20 m．连接 AC． (1) 求 AC 的长； (2) 求这块空地的面积． 【答案】 (1) AC = 25 m；(2) 234 平方米 【解析】 (1) 因为 ∠B = 90°，所以 △ABC 是直角三角形， （m）． (2) 在 △ACD 中，，而 ， 所以 ．由勾股定理的逆定理得 ∠ADC = 90°，即 AD ⊥ CD． 所以 （平方米）， 又 （平方米）， 所以这块空地的面积为 （平方米）． 【解题提示】不规则四边形求面积，常用「连一条对角线，把它拆成两个三角形」；其中一个三角形用勾股定理算出边长，另一个先用逆定理判定是不是直角三角形，才有底和高可用． 19．（7 分）如图，A 是沿海的一座城市，台风中心在点 B 处，正沿射线 BC 方向以 25 km/h 的速度移动．过点 A 作 AD ⊥ BC，垂足为 D．已知 AB = 130 km，BD = 50 km． (1) 求 A 市到台风移动路线 BC 的距离 AD； (2) 若距台风中心 130 km 以内的区域都会受到台风影响，求 A 市受这次台风影响的时间． 【答案】 (1) AD = 120 km；(2) 4 小时 【解析】 (1) 因为 AD ⊥ BC，所以 △ABD 是直角三角形，AD 是 A 市到 BC 的距离． （km）． (2) 台风中心移动到点 D 附近时对 A 市的影响最大．因为 AD = 120 km 小于 130 km，所以 A 市会受到台风影响． 设台风中心移动到点 E 处时 A 市开始受到影响，此时 AE = 130 km，在 Rt△ADE 中 （km）． 由对称性可知，台风中心移动到点 F 处时影响结束，且 DF = 50 km，所以 （km）． 所以 A 市受影响的时间为 （小时）． 【解题提示】台风影响问题要抓住三点：路径与城市的最近距离（垂线段）、影响范围的半径、以及受影响的线段关于垂足对称这一事实．把这三条串起来，问题就化成了一道勾股定理题． 20．（7 分）如图，一个长方体的长、宽、高分别为 8 cm、6 cm、4 cm，A、G 是长方体上相对的两个顶点（A 在底面，G 在顶面，A、G 恰好是一条体对角线的两个端点）．一只蚂蚁沿长方体的表面从 A 爬到 G． (1) 把长方体的表面展开成平面图形后，A、G 之间的所有连线中，线段最短．请说明理由； (2) 求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】 (1) 见解析；(2) cm 【解析】 (1) 把长方体的表面展开成平面图形后，蚂蚁爬行的路线就变成了平面内连接 A、G 的一条折线或线段；而平面上两点之间的所有连线中线段最短，所以最短路线一定对应展开图中的线段 AG． (2) 展开的方式不同，得到的长方形尺寸也不同，需要逐一比较： ① 把长为 8 cm、宽为 6 cm 的两个面展开，AG 跨过的两段之和为 （cm），高为 4 cm，； ② 把长为 8 cm、高为 4 cm 的两个面展开，AG 跨过的两段之和为 （cm），宽为 6 cm，； ③ 把宽为 6 cm、高为 4 cm 的两个面展开，AG 跨过的两段之和为 （cm），长为 8 cm，． 因为 ，所以最短路程为 （cm）． 【解题提示】长方体表面最短路径问题，展开方式有三种，必须全部算出来再比较，只算一种就很容易漏掉真正的最短路线． 21．（6 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB = 15，BC = 9．点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，△AFE 是把 △ABE 沿 AE 折叠后得到的图形（点 B 的对应点是 F）． (1) 求 DF 的长； (2) 求 CE 的长． 【答案】 (1) DF = 12；(2) CE = 4 【解析】 (1) 由折叠可知 △AFE 与 △ABE 全等， 所以 ，，∠AFE = ∠B = 90°． 在 Rt△ADF 中，AD = BC = 9，AF = 15， ． (2) 因为 AB = CD = 15，所以 ． 设 CE = x，则 ． 在 Rt△CEF 中，，即 ， ，，．所以 CE = 4． 【解题提示】折叠问题有两条「铁律」：折痕两侧的图形全等（对应边相等、对应角相等）；把待求线段设为未知数，与已知线段放进同一个直角三角形里列方程． 22．（6 分）有一块直角三角形形状的空地，它的两条直角边长分别为 9 m 和 12 m． (1) 求这块空地斜边的长； (2) 现在要从直角顶点向斜边修一条尽量短的水渠，求这条水渠的长度． 【答案】 (1) 15 m；(2) 7.2 m 【解析】 (1) 两条直角边长为 9 m 和 12 m， 所以斜边长为 （m）． (2) 从直角顶点向斜边所作的所有线段中，垂线段最短，所以水渠应与斜边垂直，它的长度就是斜边上的高． 设斜边上的高为 h m．空地的面积用两种方式表示： （平方米），又 ， 所以 ，解得 ．即这条水渠长 7.2 m． 【解题提示】求斜边上的高，标准做法是「等面积法」：同一个三角形换一组底和高，面积不变，于是就能把未知的线段解出来． 23．（7 分）如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC，垂足为 D，AB = 15，AC = 13，BC = 14． (1) 求 BD 的长； (2) 求 △ABC 的面积． 【答案】 (1) BD = 9；(2) 84 平方米 【解析】 (1) 设 BD = x，则 CD = 14 - x．因为 AD ⊥ BC，所以 △ABD 与 △ACD 都是直角三角形， 在 Rt△ABD 中，； 在 Rt△ACD 中，． 因为 AD 是同一条线段，所以 ， ， 所以 ，，．即 BD = 9． (2) 由 (1) 得 ，所以 AD = 12． 所以 （平方米）． 【解题提示】同一个三角形里出现两条高时，把公共的高作为「等量」列方程是常用技巧：先用两条直角边分别表示 ，再让两个式子相等． 24．（8 分）在 △ABC 中，AB = 20，AC = 13，BC = 21． (1) 求 BC 边上的高； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 若点 E 在边 BC 上，且 AE = 15，求 BE 的长． 【答案】 (1) 12；(2) 126 平方米；(3) BE = 7 【解析】 (1) 过点 A 作 AD ⊥ BC，垂足为 D．设 BD = x，则 CD = 21 - x． 在 Rt△ABD 中，； 在 Rt△ACD 中，． 所以 ， 即 ，，． 所以 ，AD = 12，即 BC 边上的高为 12． (2) （平方米）． (3) 由 (1) 知 BD = 16，AD ⊥ BC．在 Rt△ADE 中， ． 点 E 可以在点 D 的左侧，此时 ； 若点 E 在点 D 的右侧，则 ，此时点 E 不在边 BC 上，舍去． 所以 ． 【解题提示】本题没有现成的直角，需要「作高」把三角形分成两个直角三角形；这种把未知转化为已知的做法，正是本章「反思」策略的核心．第 (3) 问要提醒自己：满足条件的点可能有两个，检验是否在线段上再取舍． 学科网（北京）股份有限公司 $