1.3 勾股定理的应用 分层分类训练2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理应用为核心，通过基础达标、能力提升、真题提前三层设计，实现从单一考点到综合应用的递进，强化几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标练|网格、折叠、实际应用、最短路径四大考点|以选择、填空为主，融合期中期末真题，强化概念理解与基础运算| |能力提升练|综合应用与证明（如赵爽弦图、几何体表面路径）|设置跨情境问题，培养推理能力与创新意识| |真题提前练|中考真题（网格证明）|直接对接测评，强化数学语言表达与应用意识|

1.3勾股定理的应用 学校： 姓名： 班级： 考号： 考点1与勾股定理有关的网格问题 考点2与勾股定理有关的折叠问题 考点3勾股定理的实际应用 考点4最短路径问题 基础达标练 考点1与勾股定理有的网格问题 1.(25-26八年级下·河北唐山期中)如图，正方形ABCD,EFGH分别在两个大小相同的6x6的正方形网 格中，且各项点均在网格线的交点上，则正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为() A.2:3 B.3:2 c.9:10 D.10:9 2.(24-25八年级上·河北邢台·期末)如图，在网格中有5个格点，分别为D、E、H、G、F,下列说法 错误的是() E A.△EHD≌△ABC B.AEGF≌AABC C.△DHG与△FGH不全等，但是面积相等 D.△HDF与△ABC的面积相等 3.（2026浙江温州·二模)如图，点A,B,C,D,M,P,Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）.若 将点M分别与点A,B,C,D连接，则下列选项正确的是() 试卷第1页（共11页） P A B D A.AM⊥PQ B.BM⊥PQ C.CM⊥Pg D.DM⊥PQ 4.（25-26八年级下.宁夏吴忠·期末)如图，请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹. (1)在图1中画一个三角形，使它的三边长分别为3,22，√5 图1 (2)如图2，找出边AB、AC的中点E、F,画出△ABC的中位线EF. “B 图2 考点2与勾股定理有关的折叠问题 5.(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，沿DE折叠直角三角形纸片ABC,使两个锐角顶点B和C重合， AB=6,AC=8,求CE的长.设CE=x,则所列方程正确的是() D E 试卷第2页（共11页) A.x2+(8-x)=62 B.62+x2=(8-x)2 C.6+(8-x2=x2 D.x2+(6-x)2=82 6.(25-26八年级上·四川成都期中)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，OA 与y轴重合，OC与x轴重合，M为BC上点，沿AM折叠矩形使得点B'落在OC上，且知OA=6,OB'=8, 则点M坐标是 B B'C 7.(25-26七年级上·山东威海·期末)在长方形ABCD中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），AB=10, AD=6.点E在边AD上，沿CE折叠，点D落在边AB的F处.求△AEF的面积. D------- 考点3勾股定理的实际应用 8.(25-26八年级下·甘肃临夏·期中)《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高AC为1丈， 倚木杆AB于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即 CD),问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为(1丈=10尺)() A 墙 木杆 1尺 A.(x+1)2=x2+10 B.102+(x-1)=x2 C.(x-1)2+12=x2 D.(x+1)2+102=x2 9.（25-26八年级下…安徽滁州·期中)《九章算术》中有一道“引葭赴岸问题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”.其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长 为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多 试卷第3页（共11页） 深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是(). A.8尺 B.28尺 C.12尺 D.10尺 10.(25-26八年级下·广东广州·期末)如图，点O是一港口，渔船A从O出发沿北偏东53°方向以6海里时 的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东37°方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离 为(). 北 西O 东 南 A.2I海里 B.√61海里 C.3V1海里 D.261海里 11.(25-26八年级下·河北邢台·期末)某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸A, B两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图 中数据可得A,B两点间的距离为() 30m ▣ 11m 20m B 18m A A.9m B.12m C.15m D.20m 12.(25-26八年级下·广西贺州·期末)为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工 程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为20米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地 毯的长度为() 2W10米 2米 A.36米 B.6米 C.8米 D.10米 13.(2024四川巴中.中考真题)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深 几何？这是我国数学史上的葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=() 试卷第4页（共11页） A 777777 7777777777777777 A.8 B.10 C.12 D.13 14.(25-26八年级下·福建厦门·期末)如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动5分 米，测得顶端从点A沿墙下滑1分米到点B,那么竹竿长度为 分米 15.(11-12八年级下·福建·期中)一旗杆在离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，那么这根旗 杆原来有m高. 7777/7分777地面 16.(25-26八年级下…河南安阳·期末)某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天号轮船同时离 开港口，“远航”号以每小时18 nmile的速度沿北偏西30°方向航行，“海天”号以每小时24 nmile的速度沿北 偏东60°方向航行，它们离开港口半小时后分别位于R,Q处，此时两艘轮船相距 nmile. NA P 17.(21-22八年级下·辽宁营口·阶段检测)如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄， DA=1OkIm,CB=15kIm,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个中转站E,使得C、D两村到 E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 试卷第5页（共11页) 15 18.(25-26八年级下山西大同·期中) 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 路灯维修工人使用一架长2.5m的绝缘梯AC,斜靠在路灯杆上.此时， 项目背景 工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面. A A 说明：点A、B、C、D在同一竖直平 测量示意图 面内 B 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端C到灯杆底部B的距离BC=0.7m,梯子顶端A离地高度AB=2.4m.请你判 断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端A下移到A',底端C则沿射线BC方向移动到点C”, 量得CC'=0.8m,求A4的长. 试卷第6页（共11页） 19.(25-26八年级下.四川凉山期末)如图，有一辆卡车沿限速60km/h的路段由A点向B点行驶， AB=500m,在该路段附近有一栋居民楼C,与A、B两点的距离分别为AC=400m、BC=300m,卡车 行驶过程中周围260m以内为受噪声影响区域. B (1)求居民楼C到AB的距离. (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为14.4s,请问卡车是否超速行驶？并说明理由. 20.(25-26八年级上·广东茂名·期中)我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心 为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A 行驶向点B,己知点C为一海港，且点C与直线AB上A,B两点的距离分别为30Okm和400km,且 AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域. B (1)求证：∠ACB=90°： (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 试卷第7页（共11页） 考点4最短路径问题 21.(25-26八年级下·四川德阳·期中)如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一 个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分α的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是 () A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13 22.(25-26八年级下·河北唐山·期末)如图，在一张边长为5C的正方形纸板ABCD上，放着一根长方体木 块，己知木块的较长边与AD平行且相等，横截面是一个边长为lcm的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过 木块到达点C处，则蚂蚁爬行的最短路径长为() A.12cm B.5√3cm C.(5+V26)cm D.√74cm 23.(24-25八年级下·重庆·阶段检测)如图，圆柱形杯子的高为15c,底面周长为24cm,在杯内壁（杯子 的厚度忽略不计)离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3m与蜂蜜相对 的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.(假设蜂蜜不会下滑) 蚂蚁A B蜂蜜 24.(22-23八年级下·河南郑州开学考试)如图，长方形操场ABCD的长AD为80，宽AB为60m,小明 站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑 试卷第8页（共11页） D B 25.(26-27八年级·全国·暑假作业)如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm,3cm和1cm,A和B是这 个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的 最短路程长为 cm. 26.（25-26八年级下·广东阳江·期末)如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长AB=4米，宽BC=1 米，高BB=2米.工作人员要从箱底的A点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的C”点，用来输送冷气.则 这根软管的最短长度是米， D B B 27.(2025.宁夏·中考真题)如图，在单位长度均为1c的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开 图.其中，侧面展开图OABC的边OA,OC在坐标轴上，点B坐标为(24，-10).将一根长度为14.6cm的铅笔 放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 cm(结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计)， 能力提升练 28.(25-26七年级上·江苏准安·开学考试)勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条 直角边长度分别是α和b,斜边长度是c,用数学语言表达：2+b=c2.如图，一只蚂蚁从长是40厘米， 宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B,那么它所行的最短路线的长是 试卷第9页（共11页） )厘米 B 80 20 40 29.(25-26八年级下.全国单元测试)【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何 学的基石”. 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三 角形（直角边分别为a,b,斜边为c)拼成，用它进行证明勾股定理： 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为α，b,斜边 为c)和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理， C H b R E 图1 图2 图3 (1)在直角三角形中，直角边分别为a,b,斜边为c,从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理a2+b2=c. (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是 A.函数思想 B.整体思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,该村为方便村民取水决定 在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,现测得CA=1千米，AB=2.1千 米，BC=1.7千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路CH的长 试卷第10页（共11页） 30.(25-26八年级下·广东广州·期末)如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为2cm,2cm,3cm, 沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何 体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm. 2 图1 图2 真题提前练 31.(2024陕西中考真题)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点 都在格点上.求证：∠ABC=∠DFE. B D 试卷第11页（共11页) 1.3 勾股定理的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 与勾股定理有关的网格问题 考点2 与勾股定理有关的折叠问题 考点3 勾股定理的实际应用 考点4 最短路径问题 基 础 达 标 练 考点1 与勾股定理有的网格问题 1.（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，正方形，分别在两个大小相同的的正方形网格中，且各顶点均在网格线的交点上，则正方形与正方形的面积比为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 3.（2026·浙江温州·二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 4.（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）如图，请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中画一个三角形，使它的三边长分别为3，， (2)如图2，找出边、的中点E、F，画出的中位线． 考点2 与勾股定理有关的折叠问题 5.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6.（25-26八年级上·四川成都·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 7．（25-26七年级上·山东威海·期末）在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 考点3 勾股定理的实际应用 8．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 10.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 11.（25-26八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 12.（25-26八年级下·广西贺州·期末）为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 13．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 14．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米． 15．（11-12八年级下·福建·期中）一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，那么这根旗杆原来有_____m高． 16．（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 17．（21-22八年级下·辽宁营口·阶段检测）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 18．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 19．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 20．（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 考点4 最短路径问题 21.（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 22.（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 23.（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 24．（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）如图，长方形操场的长为，宽为，小明站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑_________． 25.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 26．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 27．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是______(结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 能 力 提 升 练 28．（25-26七年级上·江苏淮安·开学考试）勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 29．（25-26八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 30．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 真 题 提 前 练 31．（2024·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 勾股定理的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 与勾股定理有关的网格问题 考点2 与勾股定理有关的折叠问题 考点3 勾股定理的实际应用 考点4 最短路径问题 基 础 达 标 练 考点1 与勾股定理有的网格问题 1.（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，正方形，分别在两个大小相同的的正方形网格中，且各顶点均在网格线的交点上，则正方形与正方形的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，，， ∴正方形的面积为20，正方形的面积为18， ∵， ∴正方形与正方形的面积比为 ． 2.（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 【答案】C 【分析】根据网格的特点和全等三角形的判定定理可判断A、B、C；根据网格的特点求出和的面积可判断D． 【详解】解：A、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； B、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； C、设网格中的小正方形的边长为1，则，， 又∵， ∴，原说法错误，符合题意； D、设网格中的小正方形的边长为1，则，， ∴与面积相等，原说法正确，不符合题意． 3.（2026·浙江温州·二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将线段进行平移，平移以后利用勾股定理求出三角形的各个边，利用勾股定理的逆定理进行判断求解． 【详解】解：如图所示， A、由方格纸知：可平移到与重合，此时：，， ∴与不垂直，不符合题意； B、可平移至与重合，此时与不垂直，不符合题意； C、可平移至与重合，此时： ， ， ∴，符合题意； D、可平移至与重合， ∴，与题意不符． 4.（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）如图，请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中画一个三角形，使它的三边长分别为3，， (2)如图2，找出边、的中点E、F，画出的中位线． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： 【分析】（）利用网格与勾股定理确定三条线段的格点位置，顺次连格点画出三角形； （）借助矩形对角线平分找两边中点，连线得到三角形中位线，作图保留辅助线． 【详解】（1）解：根据勾股定理，在单位正方形网格中：沿网格边取个单位长度，长度； 直角边为和的直角三角形斜边为； 直角边为和的直角三角形斜边为， 在网格中选取满足上述边长的三个格点，顺次连接即可得到符合要求的三角形，作图略； （2）解：利用矩形对角线互相平分的性质找中点：分别以、为矩形的一条对角线，在网格中构造对应矩形，连接矩形另一条对角线，交点即为中点、中点； 连接，即为的中位线， 作图略． 考点2 与勾股定理有关的折叠问题 5.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 6.（25-26八年级上·四川成都·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形．在直角中利用勾股定理即可求得的长，则、的横坐标可以求得，则点的纵坐标就是点的纵坐标，由此得出点的坐标；设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，从而求得的纵坐标． 【详解】解：在直角中，， 则，即、的横坐标是， 则点坐标为； 设，则， 在直角中，， ， 则， 解得：． 故的坐标是． 7．（25-26七年级上·山东威海·期末）在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积． 【答案】． 【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得， ∴，， ∵四边形是长方形，，， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，得， 解得，， ∴的面积为． 考点3 勾股定理的实际应用 8．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：设木杆长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ∵， ∴． 9．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 10.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 11.（25-26八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长、交于点，则为直角三角形，根据勾股定理即可求得，两点间的距离． 【详解】解：如图，延长、交于点， 则为直角三角形， 根据图中数据可得，，， 由勾股定理可得，． 12.（25-26八年级下·广西贺州·期末）为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】C 【分析】如图（见解析），利用勾股定理求出的长，再根据铺设地毯的长度等于的长解答即可． 【详解】解：如图，由题意得：米，米，， ∴在中，米， ∴铺设地毯的长度为（米）． 13．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 14．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米． 【答案】 【分析】设竹竿的长度为分米，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设竹竿的长度为分米， 由勾股定理可得，， 解得， ∴竹竿的长度为分米． 15．（11-12八年级下·福建·期中）一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，那么这根旗杆原来有_____m高． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据勾股定理求出，则即为旗杆的高． 【详解】解：根据题意，在中，，， ， ， 即旗杆原来有高． 故答案为：16． 16．（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 17．（21-22八年级下·辽宁营口·阶段检测）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 【答案】E应建在距A处 【分析】设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等，即， ∴， ∴， 解得， ∴E应建在距A处． 18．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． 【详解】（1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 19．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 20．（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 考点4 最短路径问题 21.（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】吸管垂直放置时长度最短，斜放至底面边缘时长度最长，利用勾股定理求解． 【详解】解：当吸管垂直于底面时，在罐内部分长度最短，此时 ． 当吸管底端接触底面边缘时，在罐内部分长度最长，此时吸管、圆柱高、底面半径构成直角三角形． 由勾股定理得 ． 则 的取值范围是 ． 22.（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 23.（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 24．（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）如图，长方形操场的长为，宽为，小明站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑_________． 【答案】 【分析】根据长方形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：长方形操场的长为，宽为， ，， ． 25.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 26．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 27．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是______(结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 能 力 提 升 练 28．（25-26七年级上·江苏淮安·开学考试）勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【答案】100 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的距离，注意分类讨论不同展开方式下的直角边长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，线段即为最短路线． 分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为40+20=60厘米，80厘米， 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况二：将长方体的前面和上面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况三：将长方体的左面和上面展开在同一平面内. 此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 综上所述，最短路线的长是100厘米． 29．（25-26八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】(1) 解：根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴； 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴； (2)D (3)新修路的长为0.8千米 【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D； （3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 30．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 真 题 提 前 练 31．（2024·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 【答案】 证明：如图，每个小正方形的边长均为1， 在和中， ∵，， ∴， 同理可得：，， 在和中， ∴≌， ∴． 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据网格图中，每个小正方形的边长为1，得到两个三角形的每条边长，从而得到两三角形对应边相等，得到两三角形全等，即可得到结果． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $