第一章勾股定理【单元进阶卷・单元卷 2】2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理【单元进阶卷・单元卷 2】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1 探索勾股定理、1.2 一定是直角三角形吗、1.3 勾股定理的应用。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，线段 AB 的两个端点都在小正方形的顶点上，则 的结果可能是（　　） A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】 D 【解析】 过点 A 作水平线、过点 B 作竖直线，两线交于点 C，则 △ABC 是直角三角形，∠C = 90°． 图中 A 到 B 的水平距离是 3 格，竖直距离是 1 格， 由勾股定理得 ．选 D． 【解题提示】网格中求线段长度的平方，把水平、竖直两个方向的格数分别平方再相加，不必开方。选项里的 3、6、7 都不是两个正整数的平方和，只有 10 = 1 + 9 可以。 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = 3，AC = 4，斜边 BC 上的高 AD 与 BC 交于点 D，则 BD 的长是（　　） A． B． C． D．5 【答案】 A 【解析】 在 Rt△ABC 中，． 用面积法求斜边上的高：，得 ． 在 Rt△ABD 中，．选 A． 【解题提示】斜边上的高用等面积法求最稳：两直角边乘积的一半等于斜边与高的乘积的一半。求出高以后再在小的直角三角形里用一次勾股定理，注意 BD 是 AB 为斜边的那一半，别把 AD 当成答案。 3．如图是某楼梯的侧面示意图，楼梯共 5 级，每级台阶的宽为 30 cm、高为 40 cm，则 A，B 两点之间的距离是（　　）cm A．200 B．250 C．300 D．400 【答案】 B 【解析】 把每个台阶的水平踏面都平移到同一条水平线上，竖直竖面都平移到同一条竖直线上， 得水平距离 （cm），竖直距离 （cm）． 由勾股定理得 （cm）．选 B． 【解题提示】台阶问题的关键是平移：所有踏面拼成一条水平线段，所有竖面拼成一条竖直线段，原来的折线就化成直角三角形的斜边。150、200、250 是 3、4、5 的 50 倍。 4．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架 AC = 24 cm，CB = 18 cm，两轮中心的距离 AB = 30 cm，则点 C 到 AB 的距离为（　　）cm A． B． C． D．18 【答案】 A 【解析】 在 △ABC 中，，而 ， 所以 ，由勾股定理的逆定理得 ∠ACB = 90°． 用两种方式表示 △ABC 的面积，设点 C 到 AB 的距离为 h： ，解得 （cm）．选 A． 【解题提示】已知三边时先用逆定理判断哪个角是直角，24、18、30 正是 4、3、5 的 6 倍。求「直角所对的边上的高」用等面积法一次到位，不要再作垂线解直角三角形。 5．一个直角三角形的两条直角边之和为 14，之积为 48，则它的斜边长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】 A 【解析】 设两条直角边分别为 a、b，则 ，． 由勾股定理，斜边 c 满足， 而 ， 所以 ．选 A． 【解题提示】求斜边不需求出两条直角边各自是多少：用 两直角边的平方和 = 和的平方 - 2 倍之积，把「和 14」与「积 48」直接代进去，一步就得到斜边的平方。 6．如图，一艘船从河岸的点 E 出发横渡一条河，由于水流的影响，实际到达对岸的点 G 处，偏离了预定登陆点 F。已知船在水中实际划行了 500 m，FG = 400 m，则这条河的宽度 EF 为（　　）m A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】 B 【解析】 河岸与河流方向垂直，所以 EF ⊥ FG，∠EFG = 90°． 在 Rt△EFG 中，EG 是斜边，， （m）．选 B． 【解题提示】河流宽度、偏离距离、实际航程三者构成直角三角形，实际划行的路程是斜边。先写出 再代入，不要下意识地把 500 和 400 加起来。 7．如图，在 △ABC 中，∠B = 90°，AB = 9，BC = 12，点 P 是 △ABC 内一点，且点 P 到三边的距离相等，则这个距离是（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】 B 【解析】 在 Rt△ABC 中，． 点 P 到三边距离相等，所以点 P 是 △ABC 的内心，这个距离就是内切圆的半径 r． 用面积法：， 又 ， 所以 ，．选 B． 【解题提示】到三角形三边距离相等的点是内心，这个距离就是内切圆半径。直角三角形有现成公式 r = (a+b-c)/2（c 是斜边）：，一步就能口算验证。 8．如图，直角三角形 ABC 的两直角边长分别为 5 和 12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为（　　） A．30 B．60 C．78 D．90 【答案】 A 【解析】 斜边长为 ． 两个月牙的面积 = 两个小半圆的面积和 + 三角形面积 - 大半圆的面积， 即 ．选 A． 【解题提示】这是著名的希波克拉底月牙：勾股定理保证了两个月牙的面积和恰好等于直角三角形的面积，与 π 无关。写式时把「两个小半圆 + 三角形 - 大半圆」这层加减关系写清楚，π 的系数正好抵消为 0。 9．如图是某种火锅杯的正面示意图，它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台。上碗口的圆心处有一个吸管口 A，设杯底中心为点 B，吸管口 A 到杯底 B 的距离为 22.4 cm。已知配套吸管的长度为 27.6 cm，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为 5 cm（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（　　） A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 【答案】 C 【解析】 吸管能插入杯中的最大深度为 （cm）． 吸管口 A 在上底面圆心，斜插时插入最深的位置正好落在下底面的圆周上， 设下底面半径为 R，则 A、B 与下底面圆周上的点构成直角三角形，AB = 22.4 是一条直角边，吸管在杯中的部分 22.6 是斜边， 所以 ，R = 3， 下底面直径为 （cm）．选 C． 【解题提示】吸管斜插时，插入最深的那个位置正好落在下底面的圆周上，此时吸管口、杯底中心、下底面边缘三点构成直角三角形。两个数 22.6 与 22.4 很接近，用平方差 比直接平方相减快得多。 10．由于大风，山坡上的一棵树甲从 A 点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部 C 处。已知 AB = 4 米，BC = 13 米，两棵树的水平距离为 12 米，则这棵树原来的高度是（　　） A．12 米 B．13 米 C．15 米 D．19 米 【答案】 D 【解析】 两棵树根部 B、C 的竖直落差为（米），即 C 比 B 低 5 米． 折断处 A 在 B 正上方 4 米处，所以从 A 到 C 的竖直落差为 （米），水平距离 12 米， 倒下的那段树干长 （米）． 树原来的高度 = 站立部分 + 倒下部分 = （米）．选 D． 【解题提示】本题最容易错在只算了一个竖直落差。要分成两步：先用 BC = 13 与水平距离 12 求出两棵树根部的落差 5 米，再把它与站立部分 AB = 4 米相加，得到倒下那段树干的竖直落差 9 米。12、9、15 与 5、12、13 是两组勾股数。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度。位于地面上点 A 处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点 B，仪器显示 AB = 23.1 m；再将激光射向楼顶端的点 C，仪器显示 AC = 31.9 m，则楼高 BC = ______ m． 【答案】 22 【解析】 楼身 BC 与地面 AB 垂直，所以 ∠ABC = 90°． 在 Rt△ABC 中，AC 是斜边，， （m）． 【解题提示】两次测量的公共端点是楼底 B，楼身与地面垂直，31.9 是斜边、23.1 是直角边。两个小数很接近，用平方差 会好算很多。 12．如图，在 B 港有甲、乙两艘渔船。若甲船沿北偏东 60° 的方向以每小时 15 海里的速度前进，乙船沿南偏东某一方向以每小时 8 海里的速度前进，2 小时后甲船到达 M 岛，乙船到达 P 岛，两岛相距 34 海里，则乙船沿南偏东 ______ 度的方向航行． 【答案】 30 【解析】 2 小时后 （海里），（海里），MP = 34 海里． 因为 ， 即 ，所以由勾股定理的逆定理得 ∠MBP = 90°． 甲船航向是北偏东 60°，与之垂直且偏向南的方向是北偏东 ，即南偏东 30°． 【解题提示】先用 30、16、34（8、15、17 的 2 倍）由逆定理判定 ∠MBP = 90°，再把两个航向的夹角凑成 90° 换算方位角。注意「北偏东 150°」要化成「南偏东 30°」，因为 150° 已经越过正东方向了。 13．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为 4 米、宽为 2.5 米．一辆装满货物、宽为 2.4 米的卡车沿隧道中线行驶，则卡车的外形高必须低于 ______ 米． 【答案】 4.1 【解析】 卡车宽 2.4 米且沿中线行驶，所以卡车侧沿离截面中心线的水平距离为 （米）． 长方形上方半圆的直径就是长方形的长 4 米，半径为 （米）． 卡车外形最高时，顶部的两个上角正好顶在半圆上，此时半径、半宽 1.2 米与上角上方的净高构成直角三角形， 上角上方的净高为 （米）． 所以卡车的外形高必须低于 （米）． 【解题提示】这类「能不能通过」的问题，只算卡车最外侧上角那一处的洞高：把半圆的半径当斜边、车宽的一半当直角边，先用勾股定理求出半圆在卡车边缘处还能提供的净高，再与长方形部分的高度相加．注意水平距离取的是车宽的一半（1.2 米），不是隧道宽的一半． 14．如图是我国古代著名的「赵爽弦图」的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼成大正方形 ABCD，中间留下一个小正方形。若大正方形的面积为 100，中间小正方形的面积为 4，则每个直角三角形的面积为 ______． 【答案】 24 【解析】 弦图里，四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好拼满大正方形，没有重叠也没有空隙， 所以四个直角三角形的面积和 = ， 每个直角三角形的面积为 ． 【解题提示】弦图里 四个全等的直角三角形 + 中间一个小正方形 = 大正方形，面积做一次减法就能得到答案，不需要先解出两条直角边。本题若继续追问直角边长，可由「斜边 10、两边差 2」解得 6 和 8。 15．如图，在一棵树上 10 米高的 B 处有两只猴子，树底为点 E，树顶为点 D。为抢吃池塘边的水果，一只猴子爬下树跑到离树 20 米的池塘边点 A 处，另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离都以直线计算。若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 DE 为 ______ 米． 【答案】 15 【解析】 设树高 DE 为 h 米，则 BD = (h-10) 米． 第一只猴子走过的距离为 （米）． 第二只猴子走过的距离为 ， 由两者相等得 ， 两边平方：，解得 ． 检验：，符合实际． 【解题提示】设树高为 h，第二只猴子的路程是 (h-10) + 根号(h 的平方 + 20 的平方)，与第一只的 30 米列等式。解方程时先把根号单独留在一边再平方，最后一定要检验增根（根号里的数不能为负）。 16．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长 AD = 80 cm，高 AB = 60 cm，水深 AE = 40 cm。在水面上紧贴内壁 G 处有一块面包屑，G 在水面线 EF 上，且 EG = 60 cm。一只蚂蚁想从鱼缸外的 A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 G 处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为 ______ cm． 【答案】 100 【解析】 把内壁沿缸口翻到外壁的正上方，与正面外壁展开成同一张长方形． 点 A 在正面外壁的左下角，点 G 在内壁上、离缸底 40 cm 处，翻上来以后离缸底 （cm）． 水平方向 G 与 A 相距 EG = 60 cm，竖直方向相距 80 cm， 所以最短路程 （cm）． 【解题提示】内外壁问题的关键是把内壁沿缸口翻到外壁的正上方，再展成一张长方形找直线距离。翻上来以后「离缸底 40 cm」要换算成「离缸底 cm」。60、80、100 是 3、4、5 的 20 倍。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，甲、乙两种型号的机器人从同一点 A 出发到点 D，路线分别为 A 到 C 再到 D 和 A 到 B 再到 D。已知 AB ⊥ BD，点 B，C，D 在一条直线上，AC = CD，AB = 8 m，BD = 16 m。 (1) 求 BC 的长； (2) 若甲、乙两种机器人同时到达点 D，求它们的速度之比． 【答案】 (1) m；(2) 【解析】 (1) 设 m，则 m，由 AC = CD 得 m． 因为 AB ⊥ BD，所以 ∠ABC = 90°，在 Rt△ABC 中， ，即 ， ，解得 ，所以 BC = 6 m． (2) 甲走的路程为 （m）， 乙走的路程为 （m）， 两种机器人同时到达，所用时间相同，所以 ． 【解题提示】设 BC 为 x，则 AC 与 CD 都能用 x 表示，放进 Rt△ABC 就是一元一次方程。第二问「同时到达」意味着路程比就是速度比（时间相同），别把比例写反。 18．（6 分）如图，公路上 A，B 两点（看作直线上的两点）相距 27 km，C，D 分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）。点 E 是公路上的一个中转站，已知 AC ⊥ AB，BD ⊥ AB，垂足分别为 A，B，AC = 15 km，AE = 20 km，CE = DE。 (1) 求村庄 C 到中转站的距离 CE； (2) 求村庄 D 到公路上点 B 的距离 BD． 【答案】 (1) km；(2) km 【解析】 (1) 因为 AC ⊥ AB，所以 ∠CAE = 90°，在 Rt△ACE 中， （km）． (2) （km）． 因为 BD ⊥ AB，所以 ∠DBE = 90°，在 Rt△BDE 中， ，又 CE = DE = 25， 所以 （km）． 【解题提示】两组直角三角形（Rt△ACE 与 Rt△BDE）共用一条斜边 CE = DE，解题顺序是先用 AE、AC 求出公共斜边，再反过来求 BD。注意 BE 要用 AB - AE 算，不能直接把 27 代入。 19．（6 分）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究。在放风筝时，他测得水平距离 ED 的长为 6 米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AB 的长为 10 米，牵线放风筝的手到地面的距离 BE 为 2 米。请根据测量数据，计算风筝放到最高时距离地面的高度 AD。 求风筝距离地面的高度 AD． 【答案】 米 【解析】 过点 B 作 BC ⊥ AD，垂足为点 C． 因为 ED 是水平距离，BC 与 ED 平行且相等，所以 （米），（米）． 在 Rt△ABC 中， 米是斜边， （米）． 所以 （米）． 【解题提示】风筝线 AB、水平距离 ED、竖直方向上的 AC 构成直角三角形，其中 10 是斜边、6 是水平边。勾股定理求出的只是「C 点离手的高度」，别忘了再加上手到地面的 2 米才是风筝离地面的高度。 20．（6 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D 都在格点上。 (1) 试说明 AB 与 AD 的位置关系； (2) 求四边形 ABCD 的面积． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 由格点位置可得 ，，． 因为 ， 所以由勾股定理的逆定理得 ∠BAD = 90°，即 AB ⊥ AD． (2) 连接 BD，把四边形分成 △ABD 与 △BCD． ， ， 所以 ． 【解题提示】网格中说明垂直，分别用勾股定理算出三角形三边长，再看是否满足「两短边平方和等于最长边平方」。求面积时拆成两个三角形，各找一条水平的底边最好算，高就是竖直方向的格数。 21．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB = 20，BC = 16，AC = 12，点 D 是 BC 上一点，且 CD = 9。 (1) 试判断 △ABC 的形状，并说明理由； (2) 求 AD 的长． 【答案】 (1) △ABC 是直角三角形；(2) 【解析】 (1) 三边中 AB = 20 最长，另外两条较短边是 BC = 16 和 AC = 12． 因为 ，而 ， 所以 ． 由勾股定理的逆定理可知，AB 所对的 ∠ACB 是直角，所以 △ABC 是直角三角形． (2) 由 (1) 知 ∠ACB = 90°，即 AC ⊥ BC，所以 △ACD 也是直角三角形，∠ACD = 90°． ． 【解题提示】第 (1) 问要按逆定理的格式写全：先指认最长边，再分别算出「两短边平方和」与「最长边平方」，最后对着最大边所对的角下结论。第 (2) 问用的正是第 (1) 问证出来的那个直角，两问是连着的。 22．（6 分）如图，数学实践小组的同学想测量池塘两端 A，B 之间的距离。他们的操作如下：沿线段 AB 延长线的方向，在池塘边的空地上选点 C，使 BC = 18 m；在 AC 的一侧选点 D，使 BD = 24 m，CD = 30 m；测得 AD = 26 m。 (1) 试说明 △BCD 为直角三角形； (2) 求出池塘两端 A，B 之间的距离． 【答案】 (1) △BCD 是直角三角形；(2) m 【解析】 (1) 在 △BCD 中，最长边是 CD = 30 m，另外两边是 BC = 18 m 和 BD = 24 m． 因为 ，而 ， 即 ，由勾股定理的逆定理可知 △BCD 是直角三角形，CD 所对的 ∠CBD = 90°． (2) 因为 A，B，C 在同一条直线上，所以 ， 在 Rt△ABD 中，， 所以 （m）． 【解题提示】两问是连着的：第 (1) 问用 18、24、30（3、4、5 的 6 倍）由逆定理证出 ∠CBD = 90°，第 (2) 问立刻把它转成 ∠ABD = 90°，再在 Rt△ABD 里用 10、24、26（5、12、13 的 2 倍）求出 AB。注意 A、B、C 共线这个条件要用来把两个角拼成邻补角。 23．（8 分）每年的 8 月和 9 月是台风的多发季节。如图，某沿海城市 A 接到台风预警，台风中心位于该市正南方向 340 km 的 B 处，正以 15 km/h 的速度沿 BC 方向移动。已知城市 A 到台风移动路线 BC 的距离 AD = 160 km，台风半径为 200 km。 (1) 台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？ (2) A 市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】 (1) 小时；(2) 小时 【解析】 (1) 在 Rt△ABD 中，∠ADB = 90°，AB = 340 km，AD = 160 km， （km）， 所以所需时间为 （小时）． (2) 设台风中心在 EF 段移动时 A 市受到影响，则开始与结束影响时台风中心到 A 市的距离都等于半径 200 km， 在 Rt△ADE 中，（km）， 由对称性 km，所以 km， 持续时间为 （小时）． 【解题提示】台风问题的两步：先用勾股定理求「垂足到当前位置」的 BD，再用半径 200 求「影响段一半」的 DE，最后乘 2 除以速度。340、160、300 与 200、160、120 都是 3、4、5 的倍数，算之前先判断能省很多时间。 24．（8 分）定义：如图，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，MN，NB，若以 AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点。 (1) 若 AM = 2.5，MN = 6.5，BN = 6，则点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点吗？请说明理由． (2) 已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，且 AM 为直角边，若 AB = 30，AM = 5，求 BN 的长． 【答案】 (1) 是勾股分割点；(2) 【解析】 (1) 三条线段中 MN = 6.5 最长，另外两条是 AM = 2.5 和 BN = 6． 因为 ，而 ， 所以 ． 由勾股定理的逆定理可知，以 AM，MN，NB 为边的三角形是直角三角形，所以点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点． (2) 因为 AM 为直角边，设 ，则 MN 为斜边， 由 得 ． 由勾股定理得 ， 即 ，解得 ，． 所以 BN 的长为 12． 【解题提示】新定义题先把定义翻译成三条线段能构成直角三角形，也就是「两条较短线段的平方和等于最长线段的平方」。第 (2) 问用 AM + MN + BN = AB 把 MN 换成 25-x，方程就只剩一个未知数；解完记得说明MN = 13 确实是三条线段中最长的，保证它是斜边。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章勾股定理【单元进阶卷・单元卷 2】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1 探索勾股定理、1.2 一定是直角三角形吗、1.3 勾股定理的应用。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，线段 AB 的两个端点都在小正方形的顶点上，则 的结果可能是（　　） A．3 B．6 C．7 D．10 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = 3，AC = 4，斜边 BC 上的高 AD 与 BC 交于点 D，则 BD 的长是（　　） A． B． C． D．5 3．如图是某楼梯的侧面示意图，楼梯共 5 级，每级台阶的宽为 30 cm、高为 40 cm，则 A，B 两点之间的距离是（　　）cm A．200 B．250 C．300 D．400 4．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架 AC = 24 cm，CB = 18 cm，两轮中心的距离 AB = 30 cm，则点 C 到 AB 的距离为（　　）cm A． B． C． D．18 5．一个直角三角形的两条直角边之和为 14，之积为 48，则它的斜边长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 6．如图，一艘船从河岸的点 E 出发横渡一条河，由于水流的影响，实际到达对岸的点 G 处，偏离了预定登陆点 F。已知船在水中实际划行了 500 m，FG = 400 m，则这条河的宽度 EF 为（　　）m A．200 B．300 C．400 D．500 7．如图，在 △ABC 中，∠B = 90°，AB = 9，BC = 12，点 P 是 △ABC 内一点，且点 P 到三边的距离相等，则这个距离是（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 8．如图，直角三角形 ABC 的两直角边长分别为 5 和 12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为（　　） A．30 B．60 C．78 D．90 9．如图是某种火锅杯的正面示意图，它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台。上碗口的圆心处有一个吸管口 A，设杯底中心为点 B，吸管口 A 到杯底 B 的距离为 22.4 cm。已知配套吸管的长度为 27.6 cm，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为 5 cm（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（　　） A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 10．由于大风，山坡上的一棵树甲从 A 点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部 C 处。已知 AB = 4 米，BC = 13 米，两棵树的水平距离为 12 米，则这棵树原来的高度是（　　） A．12 米 B．13 米 C．15 米 D．19 米 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度。位于地面上点 A 处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点 B，仪器显示 AB = 23.1 m；再将激光射向楼顶端的点 C，仪器显示 AC = 31.9 m，则楼高 BC = ______ m． 12．如图，在 B 港有甲、乙两艘渔船。若甲船沿北偏东 60° 的方向以每小时 15 海里的速度前进，乙船沿南偏东某一方向以每小时 8 海里的速度前进，2 小时后甲船到达 M 岛，乙船到达 P 岛，两岛相距 34 海里，则乙船沿南偏东 ______ 度的方向航行． 13．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为 4 米、宽为 2.5 米．一辆装满货物、宽为 2.4 米的卡车沿隧道中线行驶，则卡车的外形高必须低于 ______ 米． 14．如图是我国古代著名的「赵爽弦图」的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼成大正方形 ABCD，中间留下一个小正方形。若大正方形的面积为 100，中间小正方形的面积为 4，则每个直角三角形的面积为 ______． 15．如图，在一棵树上 10 米高的 B 处有两只猴子，树底为点 E，树顶为点 D。为抢吃池塘边的水果，一只猴子爬下树跑到离树 20 米的池塘边点 A 处，另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离都以直线计算。若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 DE 为 ______ 米． 16．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长 AD = 80 cm，高 AB = 60 cm，水深 AE = 40 cm。在水面上紧贴内壁 G 处有一块面包屑，G 在水面线 EF 上，且 EG = 60 cm。一只蚂蚁想从鱼缸外的 A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 G 处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为 ______ cm． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，甲、乙两种型号的机器人从同一点 A 出发到点 D，路线分别为 A 到 C 再到 D 和 A 到 B 再到 D。已知 AB ⊥ BD，点 B，C，D 在一条直线上，AC = CD，AB = 8 m，BD = 16 m。 (1) 求 BC 的长； (2) 若甲、乙两种机器人同时到达点 D，求它们的速度之比． 18．（6 分）如图，公路上 A，B 两点（看作直线上的两点）相距 27 km，C，D 分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）。点 E 是公路上的一个中转站，已知 AC ⊥ AB，BD ⊥ AB，垂足分别为 A，B，AC = 15 km，AE = 20 km，CE = DE。 (1) 求村庄 C 到中转站的距离 CE； (2) 求村庄 D 到公路上点 B 的距离 BD． 19．（6 分）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究。在放风筝时，他测得水平距离 ED 的长为 6 米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AB 的长为 10 米，牵线放风筝的手到地面的距离 BE 为 2 米。请根据测量数据，计算风筝放到最高时距离地面的高度 AD。 求风筝距离地面的高度 AD． 20．（6 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D 都在格点上。 (1) 试说明 AB 与 AD 的位置关系； (2) 求四边形 ABCD 的面积． 21．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB = 20，BC = 16，AC = 12，点 D 是 BC 上一点，且 CD = 9。 (1) 试判断 △ABC 的形状，并说明理由； (2) 求 AD 的长． 22．（6 分）如图，数学实践小组的同学想测量池塘两端 A，B 之间的距离。他们的操作如下：沿线段 AB 延长线的方向，在池塘边的空地上选点 C，使 BC = 18 m；在 AC 的一侧选点 D，使 BD = 24 m，CD = 30 m；测得 AD = 26 m。 (1) 试说明 △BCD 为直角三角形； (2) 求出池塘两端 A，B 之间的距离． 23．（8 分）每年的 8 月和 9 月是台风的多发季节。如图，某沿海城市 A 接到台风预警，台风中心位于该市正南方向 340 km 的 B 处，正以 15 km/h 的速度沿 BC 方向移动。已知城市 A 到台风移动路线 BC 的距离 AD = 160 km，台风半径为 200 km。 (1) 台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？ (2) A 市受到台风影响的时间持续多少小时？ 24．（8 分）定义：如图，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，MN，NB，若以 AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点。 (1) 若 AM = 2.5，MN = 6.5，BN = 6，则点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点吗？请说明理由． (2) 已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，且 AM 为直角边，若 AB = 30，AM = 5，求 BN 的长． 学科网（北京）股份有限公司 $