第一章 勾股定理 单元过关检测卷-【全能练考卷】2026-2027学年八年级上册数学周末小卷（北师大版·新教材）

周未小卷心周小卷、单元卷、期中卷、期末卷 第一章单元过关检测卷 0时间：90分钟画分值：120分国得分： 一、选择题（本题共计10小题，每小题3分，共30分） 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代 著名的数学著作《周髀》中。下列各组数中，是勾股数的是 ( 拟 A.1,2,3 B.4,5,6 C.6,8,10 D.7,8,9 都 2.（常考题)如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，恒 恒在点C处设桩，使∠ABC=90°，并测得AC的长为100m,BC 的长为80m,则点A和点B之间的距离为 () A.100m B.80m C.60m D.120m (第2题) (第4题) 3.（易错题)若△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)(a2+ b2-c2)=0,则△ABC的形状为() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.[选材新风向·数学文化]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关 游 系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵 爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的 一个大正方形，其中c=15,b-a=3,则每个直角三角形的面积 为 () 都 A.64 B.54 C.108 D.48 5.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，则下列说法 不正确的是 A.若∠A-∠B=∠C,则△ABC是直角三角形 B.若b2-c2=a2,则△ABC是直角三角形 C.若a:b:c=5:12:13,则△ABC是直角三角形 D.若a2+b2=c2,则△ABC不是直角三角形 6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D,E分别为BC,AC的中点。 若AE=8,BD=10,则AB的长为 A.18 B.16 C.14 D.12 A S, S B D (第6题) (第7题) (第8题) 7.[选材新风向·数学文化]如图，分别以Rt△ABC的各边为 直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月 牙”。当AC=8,BC=6时，“希波克拉底月牙”的面积是() A.18 B.20 C.24 D.48 8.如图，AD是△ABC的边BC上的高，分别以线段AB,AC,BD, CD为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为S1,S2,S3, S4,则下列关于S1,S2,S3,S4的等式正确的为 A.S1+S4=S2+S3 B.S1+S3=S2+S4 C.S1+S2=S3+S4 D.S2+S2=S号+S 9.如图，地面上铺了一块长方形地毯ABCD,因使用时间长而发 生变形，中间形成一个半圆柱的凸起。已知半圆柱的底面半 16 圆直径为°m,AE+BF=16m,BC=7m,一只蚂蚁从点A爬行 T 到点C,且必须爬过半圆柱凸起，则它至少要爬行( A.20m B.24m C.25m D.28m B (第9题)》 (第10题) 10.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D,E为线段 BD上一动点，F为边AB上一动点。若AB=5,BD=4,AD= 3,则AE+EF的最小值为( 、12 8.5 24 A.4 C.10 D 5 二、填空题（本题共计5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，用面积分别为1,4和S的三个正方形围成直角三角形 ABC(∠ABC=90),则S的值为 0 4 B1C (第11题) （第13题) (第15题) 12.把一根长为21.6cm的木棒，从一端起顺次截下长5.4cm 和9cm的两段，用得到的三根木棒依次首尾顺次相接，摆成 三角形，则三角形的形状是 13.如图是勾股定理的一种证明方法，该图形由四个全等的直角 三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成。若正方形ABCD 的边长为5，五边形AEFCD的面积是36，则图中空白部分的面 积是 14.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足1a-71+(b-24)2+ Ic-b-11=0,则△ABC的面积为 15.[中考新角度·翻叠问题]如图，在长方形ABCD中，AB=8, BC=6,P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE与 CD交于点O,BE与CD交干点G,且OE=OD,则AP的长为 三、解答题（本题共计8小题，共75分） 16.(8分)[选材新风向·蔬菜大棚]张大爷要修建一个如图 所示的蔬菜大棚，大棚的截面是直角三角形，棚宽BE=2m, 高AE=1.5m,长BC=18m,求覆盖在棚顶的塑料薄膜至少 需要多少平方米。 17.（9分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 点A,B,C均在格点上。判断△ABC的形状，并说明理由。 B 八年级·数学(BS)·上册7 18.（(9分)（常考题）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定 加工成AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm,CD=12cm,AD= 13cm的四边形。假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算 一下这块钢板的面积吗？ D 19.(9分)如图，在四边形ABCD中，AB=5,BC=3,4D= 3.DC= 3,AC1BC。 (1)求AC的长； (2)判断AC与AD是否垂直，并说明理由。 B 20.(9分)如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开 发，需要在C处爆破。已知A,C两点之间的距离为300m, B,C两点之间的距离为400m,且CA⊥CB,为了安全起见， 爆破点C周围半径250m范围内不得进入。问：在进行爆破 时，公路AB段是否有危险？说明理由。 B A 乙 甲 8八年级·数学(BS)·上册 21.(9分)[真实任务情境·快递配送]如图，在一条东西走 向的街道1上有两个快递投放点B,C。快递投放点C的正 北方向300m处有一小区A,小区A到快递投放点B的距离 为500m。 (1)求快递投放点B,C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道1上 增设一个快递自提柜D,并且使得自提柜D到小区A与 快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B 之间的距离。 22.(10分)（常考题）如图，某社区有一块四边形空地ABCD,计 划用来种植草皮。经测量得到以下数据：AB=15m,CD= 8m,AD=17m,从点A到边BC的距离AE=12m(垂足为 E),E恰好是BC的中点。已知草皮的价格为每平方米50 元。 (1)求BC的长； (2)请你帮社区算一算购买草皮的费用为多少元。 23.（12分)[中考新角度·阅读理解]【问题提出】勾股定理 是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”。 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽。 图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边 分别为a,b,斜边为c)拼成，用它可以证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个 全等的直角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c)和直角边 为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证 勾股定理。 (1)在直角三角形中，两直角边分别为a,b,斜边为c,从上述 两种方法中，任选一种方法验证勾股定理a2+b2=c2。 【知识应用】 (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原 有两个取水点A,B。该村为方便村民取水决定在河边新 建一个取水点H(A,H,B三点在同一条直线上)，并新修 一条路CH,现测得CA=1km,AB=2.1km,BC=1.7km, 要使新修的路最短，求新修路CH的长。 H 图1 图2 图3即CE的长为30。 .209 14.解：由题意，得∠B=∠C=∠D=90°，AB= CD=8cm,AD=BC。 因为EC=3cm, 所以DE=DC-EC=8-3=5(cm)。 由折叠的性质，知DE=EF=5cm,AD=AF, 在Rt△ECF中，由勾股定理， 得CF2=EF2-CE2=52-32=42, 所以CF=4cm。 设AD=AF=xcm,则BF=BC-CF=(x-4)cm。 在Rt△ABF中，由勾股定理， 得AB2+BF2=AF2, 所以82+(x-4)2=x2, 解得x=10, 即AD的长为10cm。 第一章单元过关检测卷 1.C【解析】勾股数是三个正整数，且满足两 个较小数的平方和等于最大数的平方。 选项A,12+22=5,32=9,5≠9，不是勾股数， 不符合题意；选项B,42+52=41,62=36, 41≠36，不是勾股数，不符合题意；选项C, 62+82=36+64=100,102=100,所以62+82= 10,且三个数都是正整数，故这组数是勾股 数，符合题意；选项D,7+82=113,92=81, 113≠81，不是勾股数，不符合题意。 (方法点拨 判断三个数是否为勾股数的方法 这三个数是否 否 都为正整数 是 确定最大数 是幻股数 较小两数的平方和是 否 否等于最大数的平方 是 是勾股 2.C【解析】由题意，知AB2=AC2-BC2= 1002-802=602,所以AB=60m。 3.D【解析】因为(a-b)(a2+b2-c2)=0, 所以a=b或a2+b2=c2。 当a=b时，△ABC是等腰三角形； 当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形。 4.B【解析】由勾股定理，得a2+b2=152=225。 因为b-a=3,所以b2-2ab+a2=9, 所以225-2ab=9,所以ab=108, 所以每个直角三角形的雨积为了山=× 108=54。 5.D【解析】选项A,若∠A-∠B=∠C,则∠C+ ∠B=∠A=90°，所以△ABC是直角三角形， 说法正确；选项B,若a2=b2-c2,则a2+c2= b2,所以△ABC是直角三角形，说法正确；选 项C,若a:b:c=5:12:13,不妨设a= 5k,b=12k,c=13k,则a2+b2=c2,所以△ABC 是直角三角形，说法正确；选项D,若a2+b2= c2,则△ABC是直角三角形，说法不正确。 6.D【解析】因为E为AC的中点，AE=8,所 以AC=2AE=16。因为D为BC的中点， BD=10,所以BC=2BD=20。在Rt△ABC 中，∠A=90°，所以AB2=BC2-AC2=202-162= 122,所以AB=12。 7.C【解析】因为在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6,所以AB2=62+82=100=102, 所以AB=10。以AC为直径的半圆面积为 -=8π，以BC为直径的半圆面积为 2 mx())}9] 2 =2m,以AB为直径的半圆面积为 ,102 (2 25 6×8 2 =2m,Rt△MBC的面积为 2 24,所以“希波克拉底月牙”的面积是8π+ 2m+2425 9 T=24。 8.A【解析】由题意，得S1=AB2,S2=AC2, S3=BD2,S4=CD。因为AD是△ABC的边 BC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。在 Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2 BD2=S1-S3,在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD2=AC2-CD2=S2-S4,所以S1-S3=S2-S4, 即S1+S4=S2+S3o 9.C【解析】如图，将中间半圆柱的凸起展 平，此时EF的长为半圆周长。 D H G A E B 16.1 易得EF=mX元×28(m),则B=16+8= 24(m)。连接AC,Rt△ABC中，AB=24m, BC=7m,由勾股定理，得AC2=AB2+BC2= 242+72=225=252,所以AC=25m, 即蚂蚁从点A爬到点C,它至少要爬行 25m. 10.D【解析】如图，在边BC上取一点G,使 BG=BF,连接EG,过点A作AH⊥BC于 点H。 A D F E B GH 因为∠ABC的平分线交AC于点D,所以 ∠EBF=∠EBG。因为BG=BF,BE=BE, 所以△EBF≌△EBG(SAS),所以EF=EG, 所以AE+EF=AE+EG,故当点A,E,G三，点 共线时，AE+EF取得最小值，最小值为AH 的长。在△ABD中，AB=5,BD=4,AD=3, 所以BD2+AD2=AB2,所以△ABD为直角三 角形，且BD⊥AD,所以∠ADB=∠CDB= 90°。又因为BD平分∠ABC,所以BD是 AC的垂直平分线，所以AB=BC=5。因为 Sa8Dx4C=AxBC,所以子×4x (3+3)=x5,解得4钮-则AE+EF ,24 的最小值为写· 11.5【解析】因为△ABC是直角三角形，所 以AB2+BC2=AC2。因为AB为面积是4的 正方形的边长，BC为面积是1的正方形的 边长，AC为面积是S的正方形的边长，所 以AB2=4,BC2=1,AC2=S,所以S=1+ 4=5。 12.直角三角形【解析】由题意，得这三根木 棒的长分别为5.4cm,9cm,21.6-5.4-9= 7.2(cm)。因为5.42+7.22=81=92，所以 这三根木棒摆成的三角形是直角三角形。 13.14【解析】因为正方形ABCD的边长为 5,所以SE方形B0=52=25,所以2S三角形= S五边形AECD-S正方形BCn=36-25=11,所以 S图中室白事分=S正方形1B0D-2S三角形=25-11=14。 14.84【解析】因为1a-71+(b-24)2+1c- b-11=0,所以a-7=0,b-24=0,c-b-1=0, 所以a=7,b=24,则c=b+1=25。因为a2+ b2=72+242=49+576=625,c2=252=625, 所以a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形， 直角边分别为a,b,所以△ABC的面积为 2b-7x7x24=84. 15.4.8【解析】因为四边形ABCD是长方形， 所以∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6, CD=AB=8。 根据题意，得△ABP≌△EBP, 所以EP=AP,∠E=∠A=90°，BE=AB=8。 r∠D=∠E, 在△ODP和△OEG中 ,0D=0E, L∠DOP=∠EOG, 所以△ODP≌△OEG(ASA), 所以OP=OG,PD=GE, 所以DG=OD+OG=OE+OP=EP。 设AP=EP=x,则PD=GE=6-x,DG=x, CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x。 在Rt△BCG中， 由勾股定理，得BC2+CG2=BG2, 即62+(8-x)2=(x+2)2, 解得x=4.8,即AP=4.8。 16.解：在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2= AE2+BE2=1.52+22=2.52, 所以AB=2.5m, 2.5×18=45(m)。 因此，覆盖在棚顶的塑料薄膜至少需要 45m2。 17.解：△ABC是直角三角形。理由如下： 由勾股定理，得AB2=32+62=45,AC2=22+ 42=20,BC2=42+72=65, 所以AB2+AC2=45+20=65, 所以AB2+AC2=BC2, 所以△ABC是直角三角形。 18.解：因为AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm, 且32+42=25=52，所以AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形。 因为CD=12cm,AD=13cm, 且52+122=169=132，所以AC2+CD2=AD, 所以△ACD是直角三角形， 故这块钢板的面积=S△ABC+S△ACD= 3×4 2 5×12=36(cm2)。 2 19.解：(1)因为AC⊥BC, 所以△ACB是直角三角形，∠ACB=90°。 根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2, 所以AC2=AB2-BC2=52-32=16=42,所以 AC=4。 (2)AC⊥AD。理由如下： 因为A04C-4,Dc 3 所以A0+4C2=(子)2+4-5+16=169， 9 所以AD2+AC2=DC2, 根据勾股定理的逆定理，可得△ACD是直 角三角形，∠CAD=90°， 所以AC⊥AD。 20.解：在进行爆破时，公路AB段有危险。理 由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D。 B D A 乙 甲 C 因为BC=400m,AC=300m,∠ACB=90°， 所以AB2=AC2+BC2=3002+4002=5002, 所以AB=500m。 因为Sac=2AC·BC=2AB·CD, 1 所以)x300x400=7x500xCD 所以CD=240m。 因为240m<250m,所以在进行爆破时，公 路AB段有危险。 21.解：(1)因为∠ACB=90°，AC=300km,AB= 500m,所以BC2=AB2-AC2=5002-3002= 4002,所以BC=400m,即快递投放点B,C 之间的距离为400m。 (2)设AD=BD=xm,所以CD=(4-x)m。 在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2, 所以3002+(400-x)2=x2, 解得x=312.5,所以自提柜D与快递投放 点B之间的距离为312.5m。 22.解：(1)因为AE⊥BC,所以∠AEB=90°， 所以BE2=AB2-AE2=152-122=81=92, 所以BE=9m。 因为E是BC的中点， 所以BC=2BE=18m。 (2)如图，连接AC。 B 因为AE⊥BC,E是BC的中点， 所以AC=AB=15m。 因为AD=17m,CD=8m, 所以CD+AC2=AD2, 所以△ACD是直角三角形，∠ACD=90°， 所以Sg边形aD=SABc+SA0D=号BC·AE+ 74c.cn=2 x18×12+1×15×8=108+ 60=168(m2)。 168×50=8400(元)。 因此，购买草皮的费用为8400元。 23.解：(1)根据赵爽弦图进行验证： 因为S大正方形=4S三角形+S小正方形， 所以c2=4x2b+(6-a), 所以c2=a2+b2。 根据“总统证法”进行验证： 因为S梯形ABGD=SR△ADE+SR△CDE+S△BCE, 所以a+w(a6=abr, 所以a2+2ab+b2=c2+2ab, 所以a2+b2=c2。 (2)当CH⊥AB时，CH的长最小，即新修的 路最短。 设AH=xkm,则BH=AB-AH=(2.1-x)km。 因为CH⊥AB, 所以在Rt△ACH中，C=AC2-A=12-x2, 在Rt△BCH中，C=BC2-BH=1.72- (2.1-x)2, 所以12-x2=1.72-(2.1-x)2, 解得x=0.6, 所以AH=0.6km, 所以C=AC2-A=12-0.62=0.82, 即CH=0.8km。 因此，新修路CH的长为0.8km。 第二章实数 第4周认识实数平方根与立方根 1.C【解析】-3,0,1.732都是有理数，w5是 无理数。 、解题大招 常见的无理数的几种类型： 分类 举例 一般的无限不循 1.41421356… 环小数 1.1010010001… 有规律但不循环 (相邻两个1之间0 的小数 的个数逐次加1) 某些含π的数 2π 开方开不尽的数 √2 2.A【解析】0的平方根是0，选项A说法正 确；4的平方根是±2，选项B说法错误；负 数没有平方根，选项C说法错误；正数有2 个平方根，选项D说法错误。 3.D【解析】设这个数是x,则=x。因为