1.1-1.2 分层练习 2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

1.1-1.2 分层练习 2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1 探索勾股定理、1.2 一定是直角三角形吗 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在 中，，，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 在直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方． ， 所以 ．选 B． 【解题提示】勾股定理只对直角三角形成立，用之前先确认直角在哪里．本题 ，所以 是斜边（ 所对的边），列式时把两条直角边 、 的平方相加即可，不要与 混淆． 2．下列四组数中，不能构成直角三角形三边长的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 C 【解析】 判断一组数能否构成直角三角形，就是检验「两条较短边的平方和是否等于最长边的平方」． A：，可以； B：，可以； C：，不可以； D：，可以．选 C． 【解题提示】检验时一定要先找出「最长边」，再把另外两条较短边的平方和与它的平方作比较．如果三边都拿去平方相加，就分不清谁是斜边了．另外注意：、、 虽然看起来「差不多」，但 ，这类差距很小的选项最容易算错． 3．在 中，，，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 ，所以 是斜边，、 是直角边． 由 得 ， 所以 ．选 B． 【解题提示】已知斜边和一条直角边求另一条直角边时，用的是「斜边的平方减去一条直角边的平方」，注意是相减不是相加．求出 后别忘了再开方，否则会误选 C． 4．若 的三边长分别为 、、，则 的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 先判断形状：， 所以 是直角三角形，且长为 、 的两边互相垂直． 两条直角边长分别为 和 ， 所以 ．选 B． 【解题提示】题目只给了三边长却要求面积，说明要先「找直角」：满足 的两条短边就是两条直角边，它们恰好是计算面积时需要的底和高．若不用逆定理，直接用 当底就找不到对应的高了． 5．一个直角三角形的两条边长分别为 和 ，则它的第三条边的长为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】 C 【解析】 题目没有说明长为 的边是直角边还是斜边，需要分类讨论． 当长为 的边是斜边时，第三条边是直角边，长为 ； 当长为 的边是直角边时，第三条边是斜边，长为 ． 所以第三条边的长为 或 ．选 C． 【解题提示】已知「两条边」而没说清楚谁是谁时，必须分两种情形：已知的最长边是斜边（用减法）、已知的最长边是直角边（用加法）．只算一种就漏解，这类题在中考里经常设置「漏解」陷阱． 6．如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8．CD ⊥ AB，垂足为 D，则 CD 的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 在 △ABC 中，． △ABC 的面积可以用两种方式表示： ， 又 ， 所以 ，．选 A． 【解题提示】求斜边上的高，标准做法是「等面积法」：同一个三角形换一组底和高，面积不变，于是就能把未知的线段求出来．本题中 是斜边 上的高，它把直角三角形的三条边联系了起来． 7．如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，分别以三边 AC、BC、AB 为边向外作正方形 ACDE、BCFG、ABHI，它们的面积分别为 、、．若 ，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】 C 【解析】 正方形的面积等于边长的平方，所以 ，． 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，由勾股定理得 ， 即 ，所以 ．选 C． 【解题提示】「以三边为边向外作正方形」的图形，本质就是把勾股定理的三个平方项画成了三块面积．直角边上的两块面积之和恰好等于斜边上那一块．本题 是在斜边上的，所以用 ，不能写成相加得 ． 8．如图，在 △ABC 中，AB = AC = 15，BC = 18，则 △ABC 的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D．因为 AB = AC，所以 △ABC 是等腰三角形， 底边上的高与底边上的中线重合，所以 ． 在 Rt△ABD 中，． 所以 ．选 B． 【解题提示】等腰三角形中「作底边上的高」是最常用的一条辅助线，它同时把顶角平分、把底边平分．本题图上没有画出这条高，需要自己添上；添辅助线后在 Rt△ABD 中用勾股定理求出高，面积就出来了． 9．如图，在四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，则四边形 ABCD 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 连接 AC．在 Rt△ABC 中，． 在 △ACD 中，，而 ， 所以 ，△ACD 是直角三角形，且 与 互相垂直． 四边形 ABCD 的面积 = ．选 D． 【解题提示】不规则四边形求面积，常用「连一条对角线，拆成两个三角形」。拆完之后，两个三角形都需要先确定形状：已知直角的那个用勾股定理算边，另一个用勾股定理的逆定理判断它是不是直角三角形，才拿得到底和高． 10．如图，在长方形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8，将长方形沿 AE 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点 F 处，则 CE 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由折叠可知，AF = AB = 10，EF = BE，且 ∠AFE = ∠ABE = 90°． 在 Rt△ADF 中，AD = BC = 8，AF = 10， 所以 ， 于是 ． 设 ，则 ． 在 Rt△CEF 中，，即 ， 解得 ，，．选 A． 【解题提示】折叠问题有两条「铁律」：一是折痕两侧的图形全等（所以 AF = AB、EF = BE、∠AFE = ∠ABE）；二是设未知数把待求线段和已知线段放到同一个直角三角形里，用勾股定理列方程．本题的关键是先在 Rt△ADF 中求出 CF． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，某工地内矗立着一座塔吊，钢索从塔吊上离地面 8 米的点 A 处斜拉到地面上的点 C 处，点 B 是塔吊的底部，且 AB ⊥ BC．若 BC = 15 米，则钢索 AC 的长为 ______ 米． 【答案】 17 【解析】 在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 8 米，BC = 15 米， （米）． 即钢索 AC 的长为 17 米． 【解题提示】把实际问题抽象成直角三角形时，关键是把「离地面的高度」看作一条直角边、「水平距离」看作另一条直角边、「绳（索）长」看作斜边．三者找对了，剩下的就是代入勾股定理． 12．若直角三角形的两条直角边长分别是 和 ，则斜边长是 ______． 【答案】 29 【解析】 ． 所以斜边长是 29． 【解题提示】「、、」是一组常用的勾股数，与「、、」「、、」「、、」「、、」一起记牢，做题时能很快发现答案． 13．已知三角形的三边长分别为 、、，则这个三角形最长边上的高为 ______． 【答案】 6.72 【解析】 因为 ，所以这个三角形是直角三角形，且长为 、 的两边是直角边． 设最长边上的高为 ，由等面积法得 ， 解得 ． 【解题提示】看到三边长先别急着找高，第一步应该用逆定理判断形状：确认是直角三角形，面积才等于两条直角边乘积的一半；再用「换底换高、面积不变」求出最长边（斜边）上的高． 14．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 8，点 P 是斜边 AB 上任意一点，过点 P 作 PE ⊥ AC 于点 E，PF ⊥ BC 于点 F，则 PE + PF 的值为 ______． 【答案】 8 【解析】 连接 PC．因为 ∠ACB = 90°，所以 AC ⊥ BC，． ， ． 因为 ， 所以 ，即 ． 【解题提示】点 P 在斜边上「任意」移动，而 的值不变，这说明它一定和某个固定的面积有关．把 △ABC 拆成 △APC 与 △BPC，用两种方法表示同一块面积，就是最省力的做法． 15．如图，一艘轮船从港口 O 出发，沿北偏东 40° 方向航行 8 海里到达点 A，再从点 A 沿南偏东 50° 方向航行 6 海里到达点 B，则点 B 与港口 O 之间的距离为 ______ 海里． 【答案】 10 【解析】 过点 O 的正北方向与过点 A 的正南方向互相平行． 因为 OA 与正北方向的夹角是 40°，AB 与正南方向的夹角是 50°， 所以 ∠OAB = 180° - 40° - 50° = 90°，即 OA ⊥ AB． 在 Rt△OAB 中，（海里）． 【解题提示】方位角问题先「找直角」：把一个方向的南北线平移到另一个方向，利用两直线平行把两段航线与同一条南北线的夹角凑在一起．本题 ，所以两段航线互相垂直，这正是勾股定理能直接使用的条件． 16．已知一个直角三角形的斜边长为 ，两条直角边长之和为 ，则这个直角三角形的面积是 ______． 【答案】 24 【解析】 设两条直角边长分别为 、，则 ，． 由 得 ， 所以 ． 直角三角形的面积 ． 【解题提示】三角形只要知道两条直角边的「积」，面积就定了，并不需要把 、 分别解出来．把 与 通过完全平方公式联系起来，是这类「整体求解」题的标准思路． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）如图，在 △ABC 中，AB = 15，BC = 12，AC = 9． (1) 判断 △ABC 是不是直角三角形，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积． 【答案】 (1) 是直角三角形，且 ∠C = 90°；(2) 54 【解析】 (1) 因为 ，而 ， 所以 ． 由勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形，且 所对的角 ． (2) 由 (1) 知 与 是两条直角边， ． 【解题提示】用逆定理必须写清「两条较短边的平方和」与「最长边的平方」各等于多少，再下结论，不能只说一句「、、 是勾股数」。另外要指明直角是哪一条边所对的角：最长边 所对的角是 ． 18．（6 分）如图，在 △ABC 中，CD ⊥ AB，垂足为 D．已知 AC = 15，BC = 20，AB = 25．求 CD 的长． 【答案】 12 【解析】 因为 ， 所以 △ABC 是直角三角形，且 ，即 AC ⊥ BC． 因为 ，所以 是 AB 边上的高， ； 又 ， 所以 ， 解得 ． 【解题提示】本题要把「判断形状」和「等面积法」连起来用：先用逆定理说明 ，才能把 当作面积；再用 与 这另一组底和高表示同一个面积．两次都用到了「同一个三角形」，写清依据才不会丢分． 19．（6 分）如图，把一张直角三角形的纸片 ABC 沿直线 AD 折叠，点 C 恰好落在斜边 AB 上的点 E 处．已知 ∠C = 90°，AC = 6，BC = 8． (1) 求 AB 的长； (2) 求 CD 的长． 【答案】 (1) AB = 10；(2) CD = 3 【解析】 (1) 由 ∠C = 90° 得 AC ⊥ BC， ． (2) 由折叠可知，△ACD 与 △AED 全等， 所以 ，，，即 DE ⊥ AB． 所以 ． 设 ，则 ，． 在 Rt△BDE 中，，即 ， ，，．所以 ． 【解题提示】折叠后 ∠C 的直角跟着点 C 一起搬到了点 E，于是 与 垂直， 就出现了；又因为 ，所以 等于斜边减去 ，这一步很快就求出 ．把这个直角三角形的三边用含 的式子表示出来，方程自然就有了． 20．（6 分）如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，AB = 13，AD = 12，BD = 5，AC = 15． (1) 求证：AD ⊥ BC； (2) 求 BC 的长． 【答案】 (1) 证明见解析；(2) BC = 14 【解析】 (1) 在 △ABD 中，，而 ， 所以 ． 由勾股定理的逆定理得 △ABD 是直角三角形，且 所对的角 ，即 AD ⊥ BC． (2) 由 (1) 知 AD ⊥ BC，所以 △ACD 也是直角三角形． 在 Rt△ACD 中，． 所以 ． 【解题提示】本题的关键是「证出垂直，为下一步铺路」：一旦得到 AD ⊥ BC，△ACD 就变成直角三角形，勾股定理才能接着用．这类「先证垂直、再算边长」的两问结构，在勾股定理这一章非常常见． 21．（6 分）如图，△ABC 是等腰三角形，AB = AC = 20，底边 BC = 24，AD 是底边上的高，垂足为 D． (1) 求 AD 的长； (2) 过点 C 作 CE ⊥ AB，垂足为 E，求 CE 的长． 【答案】 (1) AD = 16；(2) CE = 19.2 【解析】 (1) 因为 AB = AC，AD ⊥ BC，所以 AD 也是底边 BC 上的中线， ． 在 Rt△ABD 中，． (2) ． 又 ， 所以 ，． 【解题提示】第 (1) 问先求出 AD，其实是为第 (2) 问准备「面积」。第 (2) 问把同一条腰 当作底， 当作高，再与第 (1) 问算出的面积画等号即可．这种「一题两高」的结构，一定要抓住「面积是桥梁」。 22．（7 分）如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 16，点 D 在边 BC 上，且 CD = 9，点 E 是边 AB 上一点，DE ⊥ AB，连接 AD． (1) 求 AB 的长； (2) 求 DE 的长． 【答案】 (1) AB = 20；(2) DE = 4.2 【解析】 (1) 在 △ABC 中，∠C = 90°， ． (2) ． 因为 ，所以 AC ⊥ BC，AC 就是 △ABD 中 BD 边上的高， ． 又 ， 是 △ABD 中 AB 边上的高， ， 所以 ，． 【解题提示】第 (2) 问的突破口是「换个角度看同一个三角形」：△ABD 既可以拿 BD 当底、AC 当高，也可以拿 AB 当底、DE 当高． 是题目给定条件保留下来的垂直关系，别丢掉． 23．（8 分）如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 16，BC = 12，将 △ABC 沿直线 DE 折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕 DE 分别交 AC、AB 于点 D、E． (1) 求 CD 的长； (2) 求 DE 的长． 【答案】 (1) CD = 3.5；(2) DE = 7.5 【解析】 (1) 由折叠可知，点 A 与点 B 关于直线 DE 对称，所以 DE 是 AB 的垂直平分线，． 设 ，则 ，所以 ． 在 Rt△BCD 中，，即 ， ，，．所以 ． (2) ． 因为 是 的垂直平分线，所以 ． ． 因为 ，在 Rt△ADE 中， ． 【解题提示】「折叠后两点重合」等价于「折痕是这两点连线的垂直平分线」，由此立刻得到 与 两条关键结论．第 (1) 问利用 在 Rt△BCD 中列方程；第 (2) 问再利用 在 Rt△ADE 中用勾股定理． 24．（8 分）如图，用 4 个全等的直角三角形拼成一个大正方形 ABCD，中间留下一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为 a、b（a > b），斜边长为 c． (1) 用含 c 的式子表示大正方形的面积，并用含 a、b 的式子表示 4 个直角三角形与中间小正方形的面积之和； (2) 由 (1) 说明 ； (3) 若 a = 7，b = 5，求中间小正方形的面积． 【答案】 (1) 大正方形的面积为 ，4 个直角三角形与中间小正方形的面积之和为 ；(2) 证明见解析；(3) 4 【解析】 (1) 由拼图方式可知，大正方形的边长等于直角三角形的斜边，所以大正方形的面积是 ． 每个直角三角形的面积是 ，4 个三角形的面积之和为 ． 中间小正方形的边长等于两条直角边长之差 ，面积是 ． 所以它们的面积之和为 ． (2) 大正方形正好由 4 个直角三角形和中间的小正方形拼成，拼图前后面积相等， 所以 ，这就说明了 ． (3) 中间小正方形的边长为 ，所以它的面积是 ． 【解题提示】用「面积法」证明勾股定理，核心是「整体等于部分之和」：大正方形既可以按边长算出 ，也可以按拼块算出 ，两种算法结果必然相同．第 (3) 问提醒我们：小正方形的边长是 ，当 、 很接近时它会很小，但始终为正． 学科网（北京）股份有限公司 $1.1-1.2分层练习2026~2027学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1探索勾股定理、1.2一定是直角三角形吗 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.在△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,则AB的长为() A.7 B.13 C.17 D.V119 2.下列四组数中，不能构成直角三角形三边长的是() A.3,4,5 B.5,12,13 C.4,5,6 D.8,15,17 3.在△ABC中，∠C=90°，AB=25,AC=24,则BC的长为() A.1 B.7 C.49 D.481 4.若△ABC的三边长分别为10、24、26，则△ABC的面积是() A.60 B.120 C.240 D.130 5.一个直角三角形的两条边长分别为4和5，则它的第三条边的长为() A.3 B.41 C.3或41 D.V41或V66 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8.CD⊥AB,垂足为D,则CD的长是( B D A A.4.8 B.2.4 c.5 D.10 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以三边AC、BC、AB为边向外作正方形ACDE、 BCFG、ABΠ，它们的面积分别为S1、S2、S3.若S1=9,S3=25,则S2的值为() H G A 0 A.4 B.34 c.16 D.16或34 8.如图，在△ABC中，AB=AC=15,BC=18,则△ABC的面积是() B A.54 B.108 C.135 D.216 9.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的 面积为() B A.30 B.60 C.84 D.36 10.如图，在长方形ABCD中，AB=10,BC=8,将长方形沿AE折叠，使点B落在CD边上的点 F处，则CE的长为() F D E 4 B A.3 B.4 c.5 D.6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在题中的横线上) 11.如图，某工地内矗立着一座塔吊，钢索从塔吊上离地面8米的点A处斜拉到地面上的点C处， 点B是塔吊的底部，且AB⊥BC.若BC=15米，则钢索AC的长为米. B 12.若直角三角形的两条直角边长分别是20和21，则斜边长是 13.己知三角形的三边长分别为7、24、25，则这个三角形最长边上的高为 14.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8,点P是斜边AB上任意一点， 过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则PE+PF的值为。 C E A 15.如图，一艘轮船从港口O出发，沿北偏东40°方向航行8海里到达点A,再从点A沿南偏东 50°方向航行6海里到达点B,则点B与港口O之间的距离为海里. A 16.已知一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长之和为14，则这个直角三角形的面积是 三、解答题（本大题共8小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(5分)如图，在△ABC中，AB=15,BC=12,AC=9. B C A (1)判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由： (2)求△ABC的面积 18.(6分)如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D.已知AC=15,BC=20,AB=25.求CD 的长。 心 D C A 19.(6分)如图，把一张直角三角形的纸片ABC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点 E处.已知∠C=90°，AC=6,BC=8. E C 0 (1)求AB的长： (2)求CD的长. 20.(6分)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=13,AD=12,BD=5,AC=15. D (I)求证：AD⊥BC: (2)求BC的长. 21.(6分)如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=20,底边BC=24,AD是底边上的高，垂足为 D A C 0 (1)求AD的长： (2)过点C作CE⊥AB,垂足为E,求CE的长. 22.(7分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=16,点D在边BC上，且CD=9,点 E是边AB上一点，DE⊥AB,连接AD. B 公 0 A (1)求AB的长； (2)求DE的长. 23.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=16,BC=12,将△ABC沿直线DE折叠，使点 A与点B重合，折痕DE分别交AC、AB于点D、E. B E (1)求CD的长： (2)求DE的长. 24.(8分)如图，用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形ABCD,中间留下一个小正方形.设 直角三角形的两条直角边长分别为a、b(a>b),斜边长为c. D C B (1)用含c的式子表示大正方形的面积，并用含、b的式子表示4个直角三角形与中间小正方形 的面积之和； (2)由（①）说明a2+b2=c; (3)若a=7,b=5,求中间小正方形的面积.