1.2一定是直角三角形吗 同步分层训练 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 该同步练习通过“基础-巩固-应用”三层递进设计，精准覆盖直角三角形判定及勾股定理应用，强化从概念理解到实际问题解决的思维进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|直角三角形判定、勾股数识别、简单计算|以选择、填空为主，直接应用勾股定理逆定理，培养抽象能力与运算能力| |巩固提升|网格图形分析、动态问题、多知识点综合|结合网格作图与几何动态情境，深化推理意识，如格点直角三角形判定、运动路径面积计算| |能力应用|勾股数公式推导、实际测量方案设计|通过新定义“勾股分割点”及无工具测量墙体垂直问题，发展模型意识与创新意识，体现数学与现实世界的联系|

1.2一定是直角三角形吗-2026-2027年北师大版数学八年级上册同步分层训练 一、基础训练 1．下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（　　) A．1， 2， 3 B．2， 3， 4 C．5， 12， 13 D．4， 5， 6 2．已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断△ABC是直角三角形（　　） A．∠A=∠B+∠C B． C．a： b： c=3： 4： 5 D． 3．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．1.5，2，2.5 4． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 5．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则　 　． 6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为　 　. 7．如图，在3×4的正方形网格中，　 　 8．若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则　 　 9． 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13， 请你连结AC. 求： （1） AC的长； （2） 四边形ABCD 的面积. 二、巩固提升 10．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 11．如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（　　）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 12．如图，在小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中能与点M，N构成一个直角三角形的是 （　　） A．点A B．点B C．点C D．点 D 13．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是(　　) A． B． C． D． 14．如图所示的一块土地，AB=3m，BC=4m，CD=13m，AD=12m，∠ABC=90°，则这块土地的面积为　 　m2. 15．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A 出发沿 AB 边向 B 点以 1 cm/s 的速度移动，点Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以2cm /s的速度移动.若P，Q两点同时出发，则3s时，△BPQ 的面积为　 　cm2. 16．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是　 　 17．已知△ABC的三边a，b，c满足 则△ABC 是　 　三角形. 18．如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于　 　． 19．如图， 在 中， 点D是 外一点， 连接DC， DB， 且CD=4，BD=3. （1）求BC的长； （2）求证： 是直角三角形. 20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设AB 为最长边，当 时，△ABC 是直角三角形；当 时，通过比较代数式（ 和c2 的大小，探究△ABC 的形状（按角分类）. （1）当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC为　 　三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC为　 　三角形. （2）猜想：当　 　时，△ABC 为锐角三角形；当　 　时，△ABC 为钝角三角形. （3）当a=2，b=4时，探究△ABC 的形状，并求出对应的c2 的取值范围. 三、能力应用 21．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c， n是大于1的奇数，则b= (用含m的式子表示). 22．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点. （1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长. 23．为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表． 问题 如何测量墙体是否与地面垂直？ 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． 测量示意图 （1）第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由． （2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】 6．【答案】24 7．【答案】90 8．【答案】B 9．【答案】（1）解：连接AC， ∵AB⊥BC， AB=4， BC=3， （2） 是直角三角形， ∴∠ACD=90°， 在 Rt△ABC中， 在 Rt△ADC中， 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】D 13．【答案】C 14．【答案】24 15．【答案】18 16．【答案】 17．【答案】直角 18．【答案】 19．【答案】（1）解：因为Rt△ABC中， ∠BCA=90°， AC=12， AB=13，所以 所以BC=5. （2）证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 20．【答案】（1）锐角；钝角 （2）>；< （3）解：因为c为最长边的长，2+4=6，所以4≤c<6. ①当 即 时，△ABC 是锐角三角形，此时 ②当 即 时，△ABC是直角三角形； ③当 即 时，△ABC 是钝角三角形，此时 21．【答案】m 22．【答案】解：（1）点M，N是线段的勾股分割点，理由如下： 如图， ∵， ∴ ∴， ∴以为边的三角形是直角三角形， ∴点是线段的勾股分割点. (2)如图， 设，则， ①当是最长边时， ∵点是线段的勾股分割点， ∴， ∴，解得：， ∴的长为. ②当是最长边时， ∵点是线段的勾股分割点， ∴， ∴，解得：， ∴的长为. 综上所述，的长为或. 23．【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行， 理由如下： 方案一 如下图所示， 证明：因为， 若， 则， ， ， ； 方案二、 证明：如下图所示， ，若，则， ，， 又， ， ， ． （2）解：第三小组的测量方案是： 如下图所示， 在射线，，上分别取点，，， 放置绳子，，使， 用叠合法比较与的长度， 若，则墙体与地面垂直，即于点， 否则不垂直， 证明：， 是等腰三角形， 若，则是等腰三角形的中线， 根据等腰三角形性质可知， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $