1.2一定是直角三角形吗（分层作业，9大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 1.2 一定是直角三角形吗 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 证明直角三角形 题型02 利用勾股定理逆定理求解 题型03 勾股数问题 题型04 勾股定理的逆定理在实际生活中的应用 B组 能力进阶 题型01 在网格中判断直角三角形 题型02 勾股定理及其逆定理的综合应用 题型03 勾股数与整式化简 C组 思维拔高 题型01 与勾股数有关的规律探究 题型02 新定义问题 证明直角三角形题型01 1．（24-25九年级上·黑龙江·期中）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论． 【详解】解：A、， ，，不能作为直角三角形的三边长； B、， ，，可以作为直角三角形的三边长； C、， ，，不能作为直角三角形的三边长； D、， ，，不能作为直角三角形的三边长． 故选：B． 2．在中，不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形． 根据直角三角形的定义，即可判断A、B，根据勾股定理逆定理，即可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、设， ∵， ∴不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方． 根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴C正确， ，A错误， ，B错误， D错误． 故选：C． 4．若三角形三边长为6，8，11，则该三角形是______三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】先判断三角形三边长为6，8，10，可以构成直角三角形，11比直角三角形的斜边10还长，即构成的是钝角三角形，据此即可作答． 【详解】∵， ∴三角形三边长为6，8，10，可以构成直角三角形， ∵， 即：， ∴三角形三边长为6，8，11，此时构成的是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理与三角形形状的判断等知识，掌握三角形中两条较短边的平方和小于第三边的平方，此时三角形为钝角三角形，是解答本题的关键． 5．如图，已知在中，于点D，，，，    (1)求的长； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1)， (2) 证明：∵，，， ∴，即 ∴是直角三角形， 【分析】（1）在中，利用勾股定理求的的长度，再在中求得的长度，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 在中， 在中， ∴ （2）略 【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 利用勾股定理逆定理求解题型02 1．在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（　　） A．∠BAC＝90° B．∠BAD＝90° C．∠ABD＝90° D．∠ADB＝90° 【答案】D 【分析】根据AD2+BD2＝AB2，则∠ADB＝90°，即可得出答案． 【详解】解：∵AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理. 2．已知：在中，，则的面积是（      ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先判断是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积是：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 3．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______． 【答案】15 【分析】延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△ACE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积． 【详解】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴CE=AB=5，∠BAD=∠E， ∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13， ∴CE2+AE2=AC2， ∴∠E=90°， ∴∠BAD=90°， 即△ABD为直角三角形， ∴△ABD的面积=AD•AB=15． 故答案为15． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 4．如图，在中，D是边上一点，，，，，求的长． 【答案】 【分析】直接利用勾股定理逆定理得出，进而利用勾股定理得出的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形 ， ∴，即， ∴在中，， ∵，              ∴ ∴． 5．如图，在中，，，，点D为内一点，且，． (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分（四边形）的面积． 【答案】(1)5 (2)24 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其 逆定理是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理逆定理可证为直角三角形，且，再根据，结合三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． ∵， ∴． 勾股数问题题型03 1．下列各组数是勾股数的是（    ） A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1.5，2，2.5 D．5，11，12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数，勾股数必须是正整数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小小数的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A选项，，7，24，25是勾股数； B选项，三个数都不是正整数，0.3，0.4，0.5不是勾股数； C选项，1.5和2.5不是正整数，1.5，2，2.5不是勾股数； D选项，，5，11，12不是勾股数； 故选：A． 2．若3、4、a为勾股数，则a的值为（    ） A． B．5 C．5或7 D．5或 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数求解即可． 【详解】解：∵3、4、a为勾股数， 当4为直角边时， ∴a==5， 当4为斜边时， ∴a==，不是整数，舍去， 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 3．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 4．我们知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，都是勾股数．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出一组勾股数：7，________，________． (2)清朝数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果k是大于1的奇数，那么，是一组勾股数． （Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么，是一组勾股数． ①已知在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据以上两个法则分别求出另外两个数； ②请你从这两个法则中选择一个，并证明它是正确的． 【答案】(1)， (2)①，；，； ②选择法则Ⅰ，证明过程如下： ，， ∴， 又∵，是正整数， ∴如果k是大于1的奇数，那么，是一组勾股数． 选择法则Ⅱ，证明过程如下： ，， ∴， 又∵，是正整数， ∴如果k是大于2的偶数，那么，是一组勾股数． 【分析】本题主要考察勾股数、勾股定理、整式的运算，熟练掌握勾股数、勾股定理、整式的运算是解决本题的关键． （1）根据勾股数的定义解决此题． （2）①根据题干中法则（Ⅰ），（Ⅱ）解决此题． ②根据整式的运算以及勾股数的定义解决此题． 【详解】（1）解：根据勾股数的定义，可得：，，， 故答案为：，． （2）解：①根据法则（I）， 当时，，， 解得：（负数舍去），此时， 当时，，， 解得：（舍去）， ∴另外两个数是：，． 根据法则（Ⅱ）， 当时，，； 当时，，，， 解得：（舍去）； 当时，，，， 解得：（舍去）； ∴另外两个数是：，． ②略 5．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 【答案】探究1（1）6，8，10； （2）证明： ， ， 满足以上公式的是一组勾股数； （3）； 探究2（1）,； （2），； （3）①80，②，弦 【分析】探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）； （2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证； （3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数； 探究2：（1）根据规律即求解； （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝； （3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论． 【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；· （2）略 （3）∵＝ ∴满足以上公式的是一组勾股数； 当时，， ∴构成一组勾股数．(答案不唯一） 探究2：（1）依据规律可得，如果勾为， 则股， 弦， （2）如果勾用，且为奇数）表示时， 则股， 弦 （3）①b＝80． ②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)， 则另一条直角边 弦 【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足的三个正整数均为勾股数是解题的关键． 勾股定理的逆定理在实际生活中的应用题型04 1．（24-25八年级下·安徽·期末）故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）不符合要求（   ） A．，， B．，2， C．1，2，3 D．7，24，25 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】A、，与相等，是直角三角形，不符合题意； B、，与相等，是直角三角形，不符合题意； C、，与不相等，不是直角三角形，符合题意； D、，与相等，是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 2．如图，是某地医院、公园和超市的平面示意图．超市在医院的南偏东35°的方向上，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的（    ） A．北偏东75°的方向上 B．北偏东65°的方向上 C．北偏东55°的方向上 D．北偏东35°的方向上 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理,判定公园、医院、超市构成直角三角形，得到公园与水平线夹角为35°，从而描述即可． 【详解】解：如图，因为， 根据勾股定理的逆定理,所以△ABC是直角三角形， 因为∠ECB=35°， 所以∠ACF=35°，∠DCA=55°， 所以公园在医院的北偏东55°的方向上， 故选C． 【点睛】本题考查了方位角，勾股定理的逆定理，熟练掌握方位角的意义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西_______方向上。 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得． 先根据勾股定理的逆定理得，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可． 【详解】解：如图，过点C作 海里，海里，海里， ， ， ，， ， ， ∵， ， 岛在岛的北偏西方向上． 故答案为：． 4．下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？ 【答案】(1) 解：为直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 为直角三角形且 (2)3600元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形； （2）根据三角形的面积公式求得面积，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2） 总费用为：元 答：将该绿化带铺满草坪需要元 5．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 在网格中判断直角三角形题型01 1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案． 【详解】解：， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．熟记勾股定理的内容是解题的关键． 2．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答． 以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个． 【详解】解：如图所示： 其中，，AB=2， ∵， ∴为直角三角形， 同理：为直角三角形， 网格中其他点C如图所示， 所以格点C的个数是8， 故选：D． 3．如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？说说你的理由． 【答案】 解：④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形． ①由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为22+22=8，12+22=5，9， ∵8+5≠9，故不是直角三角形； ②由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为12+32=10，32+42=25，9， ∵10+9≠25，故不是直角三角形； ③由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为12+22=5，12+32=10，12+42=17， ∵5+10≠17，故不是直角三角形； ④由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为12+32=10，12+32=10，22+42=20， ∵10+10=20，故是直角三角形； ⑤由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为32+22=13，12+52=26，22+32=13， ∵13+13=26，故是直角三角形； ⑥由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为32+22=13，12+32=10，12+42=17， ∵13+10≠17，故不是直角三角形． 【分析】先根据勾股定理求出各三角形的三边长的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)5 (2) 是直角三角形，理由如下： 由图知，，，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可； （2）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； 【详解】（1）， ， ． （2）略 5．[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积． 小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；    [思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:    [探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)． 【答案】（1）5（2）3.5a2（3）4mn． 【分析】（1）依据图像的特点用割补法进行计算即可； （2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；是直角边长为a，3a的直角三角形的斜边；是直角边长为2a，3a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积； （3）是以2m，n为直角边的直角三角形的斜边长；是以2m，3n为直角边的直角三角形的斜边长；是以4m，2n为直角边的直角三角形的斜边长；继而可作出三角形，然后求得三角形的面积． 【详解】（1）△ABC的面积＝3×4−×2×2−×1×4−×2×3＝5， 故答案为：5； （2）如图：由图可得，S△ABC＝3a×3a−×a×2a−×2a×3a−×a×3a＝3.5a2；     （3）如图，AB=，AC=，BC= ∴S△ABC＝4m×3n−×2m×n−×2m×3n−×4m×2n＝4mn．    【点睛】此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积问题．注意掌握利用勾股定理的知识画长度为无理数的线段是解此题的关键． 勾股定理及其逆定理的综合应用题型02 1．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 2．如图，在四边形中，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点．作，可推出是等腰直角三角形，即可证，利用即可求解． 【详解】解：作的延长线，垂足为M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)36 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出直角三角形的斜边，再用勾股定理的逆定理判断另一个三角形是否为直角三角形，进而解决角度和面积问题． （1）先在中用勾股定理求出的长，再在中通过勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，从而得出的度数； （2）把四边形的面积拆分为和的面积之和，分别计算两个直角三角形的面积后相加得到四边形面积． 【详解】（1）解：，，， ，， 是直角三角形， ； （2）解：， ， ． 4．如图，已知等腰的底边是腰上一点，且 (1)求证：是直角三角形； (2)求的周长 【答案】(1) 证明：∵， ， ∴为直角三角形； (2) 【分析】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答． （1）由，知道，所以为直角三角形， （2）由（1）可求出的长，周长即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵是等腰三角形， ∵， ∴ 即 解得：， ∴的周长 5．如图所示，已知中是上一点，且，．求的面积．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，设，由勾股定理的逆定理证是直角三角形，推出，再由勾股定理求出x的值，即可解决问题． 【详解】解：设， 中， ， ， 根据勾股定理逆定理得， ， ， ， 解得， 的面积． 勾股数与整式化简题型03 1．已知，、、是的三边长，若，则是_________. 【答案】等腰直角三角形 【分析】首先根据题意由非负数的性质可得：a-b=0，a2+b2-c2=0，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵|a-b|+|a2+b2-c2|=0， ∴a-b=0，a2+b2-c2=0， 解得：a=b，a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理以及非负数的性质，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 2．（24-25八年级下·贵州 贵阳·月考）若边长为a的正方形的面积等于长为，宽为的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是___三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由面积得，化简后由勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得：， 三角形为直角三角形， 故答案为：直角． 3．（25-26八年级上·江苏·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1) 证明：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·江西鹰潭·月考）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①________，8，10；②5，________，13；③7，24，________． (2)小铭发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，． ①请你帮小铭证明这三个数，，是勾股数组； ②如果24，45，51是满足上述小铭发现的规律的勾股数组，求的值． 【答案】(1)6，12，25 (2) ①证明：，， ， ∴，，是勾股数； ② 【分析】本题考查勾股数的定义，以及整式的运算等，理解题意，准确结合材料定义进行分析是解题关键． （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）①根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可； ②先对原三个数约去公因数化简，然后拆分化简后的偶数，根据化简后剩余的两个数依次确定出m，n的值即可求解． 【详解】（1）解：①6，8，10；②5，12，13；③7，24，25． 故答案为：6，12，25； （2）① 略 ②解：把24，45，51约去，化简得：8，15，17， 偶数，，, 即，，, ，， ． 5．阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在中，、、是其三条边，已知，，，判断的形状． 解：在中，因为，，所以．所以是直角三角形． 认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题： (1)填空：已知三角形的三边长分别为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形． (2)已知三边分别为，求证：是直角三角形． (3)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形； (3)等腰三角形或直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，乘法公式．熟练掌握勾股定理逆定理判断三角形的形状是解题的关键． （1）根据，进行作答即可． （2）根据，由，可得，进而结论得证； （3）根据整式的乘法公式变形化简可得或，然后判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴ ∴或， 解得或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 与勾股数有关的规律探究题型01 1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大正方形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3， 即S3=6+10+4+6=26． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 2．（25-26八年级上·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形． 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 3．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…,分析上面规律,第5个勾股数组为　 　. 【答案】(11,60,61) 【分析】观察所给数组的规律，继而可得出答案. 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）， 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·质检）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 【答案】(1)40；41 (2) 根据规律设第组勾股数为：，，． ∴， 解得， ∴猜想第组勾股数为：，，． 证明：， ， ， 是整数， ，，，是一组勾股数． 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究． （1）由规律可得，然后再由勾股定理得：，再计算即可； （2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第组数为，，，由此规律解决问题． 【详解】（1）解：由规律可得， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：40，41； （2）略 5．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式； (2)根据（1）的规律，用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间两种相等关系并对其中一种猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 【答案】(1)，；，；股的算式为：；弦的算式为：； (2) 当n 为奇数且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别为：n，，， 猜想他们之间的关系为：①弦-股=1；②勾2+股2=弦2； 证明：①弦-股=； ②勾2+股2=弦2 ； (3)；弦为： 【分析】（1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【详解】（1）解：，； ，； ∴7，24，25的股的算式为：； 弦的算式为：； （2）略 （3）4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； … ∴m为勾，股表示为：；弦为：． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． 新定义问题题型02 1．（25-26八年级·福建南平·学情自测）我们知道，如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数就叫作一组勾股数．如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即：，那么称为广义勾股数，给出下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若，，，其中，，，，均为正整数，则，，为一组勾股数；⑥一个正奇数（除1外）与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数．结论正确的是（    ） A．②③⑤⑥ B．①③④⑤ C．②⑤⑥ D．②④⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据广义勾股数和勾股数的定义，逐个判断每个结论，通过举例排除错误结论，计算验证正确结论，最终得到正确选项． 【详解】解：① 小于7的正整数平方为，，，，不存在两个正整数平方和等于7，所以7不是广义勾股数，故①不符合题意； ②因为，所以13是广义勾股数，故②符合题意； ③因为，，均为广义勾股数，和为，而无法写成两个正整数的平方和，所以不是广义勾股数，故③不符合题意 ④因为，，均为广义勾股数，积为，而无法表示两个正整数的平方和，故④不符合题意； ⑤ ， 又∵均为正整数， ∴，，为一组勾股数，故⑤符合题意； ⑥设除外的正奇数为，两个连续正整数为，由题意得， 解得：， ∴，二者均为正整数， ∵， 即，三个数均为正整数，符合勾股数定义，故⑥符合题意， 综上，正确结论为②⑤⑥． 2．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 4．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 一定是直角三角形吗 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 证明直角三角形 题型02 利用勾股定理逆定理求解 题型03 勾股数问题 题型04 勾股定理的逆定理在实际生活中的应用 B组 能力进阶 题型01 在网格中判断直角三角形 题型02 勾股定理及其逆定理的综合应用 题型03 勾股数与整式化简 C组 思维拔高 题型01 与勾股数有关的规律探究 题型02 新定义问题 证明直角三角形题型01 1．（24-25九年级上·黑龙江·期中）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若三角形三边长为6，8，11，则该三角形是______三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”） 5．如图，已知在中，于点D，，，，    (1)求的长； (2)求证：是直角三角形． 利用勾股定理逆定理求解题型02 1．在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（　　） A．∠BAC＝90° B．∠BAD＝90° C．∠ABD＝90° D．∠ADB＝90° 2．已知：在中，，则的面积是（      ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______． 4．如图，在中，D是边上一点，，，，，求的长． 5．如图，在中，，，，点D为内一点，且，． (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分（四边形）的面积． 勾股数问题题型03 1．下列各组数是勾股数的是（    ） A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1.5，2，2.5 D．5，11，12 2．若3、4、a为勾股数，则a的值为（    ） A． B．5 C．5或7 D．5或 3．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 4．我们知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，都是勾股数．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出一组勾股数：7，________，________． (2)清朝数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果k是大于1的奇数，那么，是一组勾股数． （Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么，是一组勾股数． ①已知在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据以上两个法则分别求出另外两个数； ②请你从这两个法则中选择一个，并证明它是正确的． 5．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 勾股定理的逆定理在实际生活中的应用题型04 1．（24-25八年级下·安徽·期末）故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）不符合要求（   ） A．，， B．，2， C．1，2，3 D．7，24，25 2．如图，是某地医院、公园和超市的平面示意图．超市在医院的南偏东35°的方向上，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的（    ） A．北偏东75°的方向上 B．北偏东65°的方向上 C．北偏东55°的方向上 D．北偏东35°的方向上 3．如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西_______方向上。 4．下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？ 5．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 在网格中判断直角三角形题型01 1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 2．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？说说你的理由． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 5．[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积． 小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；    [思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:    [探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)． 勾股定理及其逆定理的综合应用题型02 1．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 2．如图，在四边形中，，则的长为______． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 4．如图，已知等腰的底边是腰上一点，且 (1)求证：是直角三角形； (2)求的周长 5．如图所示，已知中是上一点，且，．求的面积．    勾股数与整式化简题型03 1．已知，、、是的三边长，若，则是_________. 2．（24-25八年级下·贵州 贵阳·月考）若边长为a的正方形的面积等于长为，宽为的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是___三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）． 3．（25-26八年级上·江苏·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 4．（24-25八年级上·江西鹰潭·月考）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①________，8，10；②5，________，13；③7，24，________． (2)小铭发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，． ①请你帮小铭证明这三个数，，是勾股数组； ②如果24，45，51是满足上述小铭发现的规律的勾股数组，求的值． 5．阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在中，、、是其三条边，已知，，，判断的形状． 解：在中，因为，，所以．所以是直角三角形． 认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题： (1)填空：已知三角形的三边长分别为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形． (2)已知三边分别为，求证：是直角三角形． (3)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 与勾股数有关的规律探究题型01 1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大正方形的面积是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 3．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…,分析上面规律,第5个勾股数组为　 　. 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·质检）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 5．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式； (2)根据（1）的规律，用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间两种相等关系并对其中一种猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 新定义问题题型02 1．（25-26八年级·福建南平·学情自测）我们知道，如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数就叫作一组勾股数．如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即：，那么称为广义勾股数，给出下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若，，，其中，，，，均为正整数，则，，为一组勾股数；⑥一个正奇数（除1外）与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数．结论正确的是（    ） A．②③⑤⑥ B．①③④⑤ C．②⑤⑥ D．②④⑤⑥ 2．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 4．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $