第一章 勾股定理 单元测试卷 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册 第一章《勾股定理》单元测试卷 满分：120 分 考试时长：100 分钟 班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，12，14 2．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c。若 a = 6，b = 8，则斜边 c 的长是（　　） A．10　　B．12　　C．14　　D．2 3．如图，阴影部分是一个以直角三角形的斜边为边长的正方形，则这个正方形的面积是（　　） A．100　　B．64　　C．36　　D．48 4．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1.5，2，2.5 B．6，8，10 C．5，11，12 D．7，8，9 5．在 Rt△ABC 中，两条直角边长分别为 5 和 12，则斜边上的高为（　　） A．13　　B．　　C．　　D．12 6．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 3 米处折断倒下，树的顶端落在离树底部 4 米处，则这棵大树折断前的高度是（　　） A．5 米　　B．6 米　　C．7 米　　D．8 米 7．如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，AD ⊥ BC 于点 D，则 AD 的长为（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 8．如图，一个棱长为 2 的正方体，一只蚂蚁从下底面的顶点 A 沿正方体的表面爬到上底面与 A 相对的顶点 B，则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．22　　B．2　　C．2　　D．4 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，将△ABC 沿 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，则 CD 的长为（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D． 10．如图，用 4 个全等的直角三角形（两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c）与中间一个小正方形拼成一个大正方形。若大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，且 a ＞ b，则 ab 的值是（　　） A．6　　B．12　　C．13　　D．24 填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a = 5，b = 12，则 c = ____________。 12．若一个三角形的三边长分别为 5、12、13，则这个三角形是 ____________ 三角形，它的面积是 ____________。 13．如图，以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为 9 和 16，则第三个正方形的面积是 ____________。 14．如图，在数轴上以单位长度为边长作一个正方形，以原点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A 表示的数是 ____________。 15．已知一个直角三角形的两条边长分别为 3 和 4，则第三条边的长是 ____________。 16．如图，在△ABC 中，AB = 13，BC = 10，BC 边上的中线 AD = 12，则 AC 的长是 ____________。 17．如图，在△ABC 中，AB = AC = 10，BC = 16，则△ABC 的面积是 ____________。 18．如图，一架长 2.5 米的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上，梯子底端 B 离墙脚 O 的距离为 0.7 米，则梯子顶端 A 离地面的高度是 ____________ 米。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于点 D，AC = 6，BC = 8。 (1) 求 AB 的长； (2) 求 CD 的长； (3) 求 AD 的长。 20．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13。 (1) 求 AC 的长； (2) 判断△ACD 的形状，并说明理由； (3) 求四边形 ABCD 的面积。 21．（12 分）如图，一架长 2.5 米的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 ON 上，梯子底端 B 离墙脚 O 的距离为 0.7 米。 (1) 求梯子顶端 A 离地面的高度 AO； (2) 若梯子顶端沿墙下滑 0.4 米到点 A′ 处，求梯子底端向外滑动的距离 BB′。 22．（12 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB = 8，BC = 10，将长方形沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处。 (1) 求 BF 的长； (2) 求 EC 的长； (3) 求△AEF 的面积。 23．（10 分）勾股定理的验证：如图，用 4 个全等的直角三角形（两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c）拼成一个大正方形，中间留下一个边长为（b − a）的小正方形。 (1) 用含 a、b 的代数式表示大正方形的面积； (2) 用含 a、b、c 的代数式表示大正方形的面积（另一种算法）； (3) 由以上两种表示方法验证勾股定理。 24．（12 分）综合与实践： (1) 如图 1，棱长为 4 的正方体盒子，一只蚂蚁从下底面的顶点 A 沿表面爬到上底面与 A 相对的顶点 B，求蚂蚁爬行的最短路程； (2) 如图 2，底面周长为 18 cm、高为 12 cm 的圆柱形玻璃容器，一只蚂蚁从容器外壁下底面的点 A 出发，沿外壁爬到上底面与 A 相对的点 B，求蚂蚁爬行的最短路程。 参考答案与解析 一、选择题：1．B　2．A　3．A　4．B　5．B　6．D　7．B　8．C　9．A　10．B 1．B：32 + 42 = 25 = 52，只有 3、4、5 满足 a2 + b2 = c2，能构成直角三角形。 2．A：∠C = 90°，c 为斜边，c = √(a2 + b2) = √(36 + 64) = √100 = 10。 3．A：直角三角形的两直角边分别为 6 和 8，斜边 = √(62 + 82) = 10，正方形面积 = 102 = 100。 4．B：勾股数必须是三个正整数且满足 a2 + b2 = c2。A 中含小数，不是勾股数；C、D 均不满足。只有 6、8、10 符合。 5．B：斜边 c = √(52 + 122) = 13。由面积法 ½×5×12 = ½×13×h，得 h = 60/13。 6．D：折断部分 = √(32 + 42) = 5（米），折断前高度 = 站立部分 + 折断部分 = 3 + 5 = 8（米）。 7．B：∵ AB = AC，AD ⊥ BC，∴ BD = ½BC = 3。在 Rt△ABD 中，AD = √(52 − 32) = √16 = 4。 8．C：把正方体相邻两个面展开成一个长 4、宽 2 的矩形，A、B 恰为该矩形的对角顶点，最短路程 = √(42 + 22) = √20 = 2√5。 9．A：由折叠得 AE = AC = 6，∠AED = ∠C = 90°，∴ BE = AB − AE = 10 − 6 = 4。设 CD = DE = x，则 BD = 8 − x，由 x2 + 42 = (8 − x)2 解得 x = 3。 10．B：大正方形边长 c = 5，小正方形边长 b − a = 1。由 (b − a)2 = a2 + b2 − 2ab 得 1 = 25 − 2ab，故 ab = 12。 二、填空题：11．13　12．直角；30　13．25　14．√2　15．5 或 √7　16．13　17．48　18．2.4 11．c = √(52 + 122) = √169 = 13。 12．∵ 52 + 122 = 169 = 132，∴ 这个三角形是直角三角形；面积 = ½×5×12 = 30。 13．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，故第三个正方形的面积 = 9 + 16 = 25。 14．正方形的对角线长为 √(12 + 12) = √2，故点 A 表示的数是 √2。 15．分两种情况：若 4 是直角边，则第三边（斜边）= √(32 + 42) = 5；若 4 是斜边，则第三边 = √(42 − 32) = √7。故第三条边的长是 5 或 √7。 16．∵ AD 是 BC 边上的中线，∴ BD = ½BC = 5。∵ 52 + 122 = 169 = 132，即 BD2 + AD2 = AB2，∴ ∠ADB = 90°，即 AD ⊥ BC。故 AC = √(AD2 + DC2) = √(122 + 52) = 13。 17．作 AD ⊥ BC 于点 D，则 BD = ½BC = 8，AD = √(102 − 82) = 6，面积 = ½×16×6 = 48。 18．在 Rt△AOB 中，AO = √(AB2 − BO2) = √(2.52 − 0.72) = √5.76 = 2.4（米）。 三、解答题 19．(1) 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AB = √(AC2 + BC2) = √(62 + 82) = √100 = 10。 　　(2) 由面积法：½AB·CD = ½AC·BC，即 ½×10×CD = ½×6×8，解得 CD = 4.8。 　　(3) 在 Rt△ACD 中，AD = √(AC2 − CD2) = √(62 − 4.82) = √12.96 = 3.6。 20．(1) 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = √(AB2 + BC2) = √(32 + 42) = 5。 　　(2) △ACD 是直角三角形。理由：∵ AC2 + CD2 = 52 + 122 = 169，AD2 = 132 = 169，∴ AC2 + CD2 = AD2，由勾股定理的逆定理得 ∠ACD = 90°。 　　(3) S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = ½×3×4 + ½×5×12 = 6 + 30 = 36。 21．(1) 在 Rt△AOB 中，AO = √(AB2 − BO2) = √(2.52 − 0.72) = √5.76 = 2.4（米）。 　　(2) A′O = AO − AA′ = 2.4 − 0.4 = 2.0（米）。在 Rt△A′OB′ 中，OB′ = √(A′B′2 − A′O2) = √(2.52 − 2.02) = √2.25 = 1.5（米），∴ BB′ = OB′ − OB = 1.5 − 0.7 = 0.8（米）。 22．(1) 由折叠得 AF = AD = BC = 10。在 Rt△ABF 中，∠B = 90°，BF = √(AF2 − AB2) = √(102 − 82) = 6。 　　(2) FC = BC − BF = 10 − 6 = 4。设 EC = x，则 DE = DC − EC = 8 − x。由折叠得 EF = DE = 8 − x。在 Rt△EFC 中，EF2 = EC2 + FC2，即 (8 − x)2 = x2 + 42，解得 x = 3，即 EC = 3。 　　(3) △AEF 是由 △ADE 折叠得到的，两者面积相等。DE = 8 − 3 = 5，S△AEF = S△ADE = ½×AD×DE = ½×10×5 = 25。 23．(1) 大正方形的边长为 c，面积 = c2。 　　(2) 大正方形由 4 个全等直角三角形和中间的小正方形组成，面积 = 4×(½ab) + (b − a)2 = 2ab + b2 − 2ab + a2 = a2 + b2。 　　(3) 由 (1)(2) 得 c2 = a2 + b2，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，勾股定理得证。 24．(1) 把正方体相邻的两个面展开成一个长 8、宽 4 的矩形，A、B 恰为该矩形的对角顶点，最短路程 = √(82 + 42) = √80 = 4√5。 　　(2) 把圆柱的侧面展开成矩形：宽为底面周长的一半，即 18 ÷ 2 = 9（cm），高为 12 cm。A、B 为该矩形的对角顶点，最短路程 = √(92 + 122) = √225 = 15（cm）。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $