第一章 勾股定理（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册勾股定理单元基础通关卷，融合《周髀算经》《九章算术》等文化素材与社区饮水点、圆柱爬行等现实情境，通过基础巩固与综合应用的分层设计，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、直角三角形性质、正方形面积关系|结合《周髀算经》文化素材，生活情境（如走捷径少走路）| |填空题|6/18|方程思想解直角三角形、勾股树、最短路径|跨学科应用（《九章算术》矩形田），动态问题（折叠求长度）| |解答题|9/72|证明、作图、实际应用（葭生池中）、规律探究|分层设计，从基础计算到综合建模，体现推理意识与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 2．一个直角三角形的三条边分别是，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．不能确定 3．中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 4．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．长方形一边长为6，对角线与长方形另一边相差2，则长方形的面积为（     ） A．16 B．6 C．48 D．24 7．如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·四川广安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 9．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的三边，，满足，则的形状为________． 12．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？” 译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩． 13．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 14．（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 16．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为_____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 18．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，按下列要求以为边画． (1)在图①中画一个锐角三角形，且面积为4； (2)在图②中画一个等腰直角三角形． 19．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它高出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： (1)如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； (2)求芦苇的长度． 20．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 21．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 22．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 23．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 24．教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 25．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务二：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：根据勾股数的定义依次判断： 选项A中不是正整数，选项C中三个数都是小数，不是正整数，因此A、C不符合定义，排除； 选项B中，，，，不满足平方关系，因此B不符合定义，排除； 选项D中，，，都是正整数，且，满足勾股数的定义，故选D． 2．一个直角三角形的三条边分别是，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】题干未说明，，中哪条边是斜边，因此无法确定三边的平方关系 【详解】解：∵勾股定理指出，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方， 本题未说明，，哪条边是该直角三角形的斜边， ∴无法确定A、B、C中哪一个等式成立 3．中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可． 【详解】解：在中，，， 为斜边，由勾股定理得， ，， ， 边长为正数， ． 4．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设正方形的边长分别为，利用勾股定理建立三边平方关系，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：设正方形的边长分别为， ∵正方形的面积分别是， ∴，， ∵中间三角形为直角三角形，且为直角边，为斜边， ∴由勾股定理得 ， ∴， ∴正方形的面积是． 5．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 6．长方形一边长为6，对角线与长方形另一边相差2，则长方形的面积为（     ） A．16 B．6 C．48 D．24 【答案】C 【分析】本题利用长方形四个角为直角，邻边与对角线构成直角三角形，结合勾股定理求出另一边长，再根据长方形面积公式计算即可． 【详解】解：设长方形另一边长为，则对角线长为． ∵长方形内角为直角，相邻两边与对角线构成直角三角形， ∴由勾股定理得：， 展开得：， 化简得：，解得． ∴长方形面积为． 7．如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：由网格图可知， ，点到所在直线的距离为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ． 8．（25-26八年级下·四川广安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再根据解答． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得， 则， 所以他们仅仅少走了路． 9．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明，当时，的值最小，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∵点P在上， ∴当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项． 【详解】A、梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 令二者相等，两边乘化简得， 即，故A选项可以证明勾股定理． B、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为 令二者相等，展开化简得， 即，故选项B可以证明勾股定理． C、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为， 令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理． D、大正方形的面积为， 其余各部分面积之和为， 令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的三边，，满足，则的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 12．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？” 译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩． 【答案】/ 【分析】设长方形田的宽为x步，对角线长为步，利用勾股定理建立方程求解宽，再计算面积并转换为亩数即可． 【详解】解：设宽为x步，则对角线长为步， 由勾股定理得：， 解得， 面积平方步， 亩数． 13．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 14．（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 【答案】140 【分析】先在中，利用三边关系判断是否为直角，若，则在中用勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 即． 在中，，， 由勾股定理得： ， （米）． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 【答案】13 【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的中点，高， ∴， 将圆柱侧面展开，如图所示： ∵这个圆柱的底面圆的直径为， ∴在侧面展开图中，，， ∴在中，， 即一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为13． 16．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形，当或时，分别画出图形,再结合折叠的性质以及勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：当时， 将沿折叠到， ， ， 点、、三点共线， ，， 由勾股定理得， 设， 则，， 在中，由勾股定理得：， 解得， ， 当时， ， ， ， 结合折叠的性质，折叠后的点的位置无法使得， 综上，或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边； （2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：，，，， ， ， 解得． 18．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，按下列要求以为边画． (1)在图①中画一个锐角三角形，且面积为4； (2)在图②中画一个等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格画出一个底边为，高为的锐角三角形即可； （2）利用网格画出一个两条边相等，且有一个角是直角的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求； 由图可得：，边上的高为， ∴； （2）解：如图：即为所求； 由勾股定理可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形． 19．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它高出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： (1)如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； (2)求芦苇的长度． 【答案】(1)， (2)尺 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺， （2）解：设芦苇长尺， 则水深尺， 在中，， 即， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺． 20．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可； （2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形； （2）解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 21．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下：            ，，， ，， ，             为直角三角形． (2)原路线的长为 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，再利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 由（1）知为直角三角形， ， 为直角三角形， ， 即， 解得， ， 原路线的长为． 22．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【答案】(1)（10，24，26） (2)，， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26； （2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性． 【详解】（1）略 （2）略 23．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)是直角三角形． 证明：∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得， 在中，， ∵， 根据勾股定理的逆定理得，， ∴是直角三角形； (2)66 【分析】（1）根据勾股定理可知，进而根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）根据面积公式即可求解，，进而表示出即可求解． 【详解】（1）略 （2）在中， ， 在中， ． 24．教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【答案】(1)答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． (2)解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【分析】（1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． （2）略 25．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务二：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 即； (2)24 (3)1.2千米 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B C B C B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．直角三角形 12．/ 13．9 14．140 15．13 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：，，， ．.............3分 （2）解：，，，， ， ， 解得．.............6分 18． 【详解】（1）解：如图：即为所求； 由图可得：，边上的高为， ∴；.............3分 （2）解：如图：即为所求； 由勾股定理可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形．.............6分 19． 【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺，.............2分 （2）解：设芦苇长尺， 则水深尺， 在中，， 即， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺．.............6分 20． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形；.............2分 （2）解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴．.............6分 21． 【详解】(1)解：为直角三角形，理由如下：            ，，， ，， ，             为直角三角形．.............4分 （2）解：设，则， 由（1）知为直角三角形， ， 为直角三角形， ， 即， 解得， ， 原路线的长为．.............8分 22． 【详解】(1)（10，24，26）.............2分 (2)，，.............4分 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数．.............8分 23． 【详解】(1)是直角三角形． 证明：∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得， 在中，， ∵， 根据勾股定理的逆定理得，， ∴是直角三角形；.............4分 （2）在中， ， 在中， ．.............8分 24． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为．.............6分 (2)解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．.............12分 25． 【详解】(1)证明：， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 即；.............4分 （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24；.............8分 （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米．.............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 勾股定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 2．一个直角三角形的三条边分别是，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．不能确定 3．中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 4．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．长方形一边长为6，对角线与长方形另一边相差2，则长方形的面积为（     ） A．16 B．6 C．48 D．24 7．如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·四川广安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 9．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的三边，，满足，则的形状为________． 12．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？” 译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩． 13．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 14．（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 16．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为_____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 18．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，按下列要求以为边画． (1)在图①中画一个锐角三角形，且面积为4； (2)在图②中画一个等腰直角三角形． 19．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它高出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： (1)如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； (2)求芦苇的长度． 20．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 21．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 22．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 23．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 24．教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 25．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务二：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $