第一章勾股定理【能力提升卷・单元卷 3】2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理【能力提升卷・单元卷 3】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1 探索勾股定理、1.2 一定是直角三角形吗、1.3 勾股定理的应用。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC，垂足为点 D，AB = 26，AD = 24，则 BD 的长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】 B 【解析】 因为 AD ⊥ BC，所以 △ABD 是直角三角形，AD、BD 是两条直角边，AB 是斜边． ， 所以 ．选 B． 【解题提示】已知斜边和一条直角边时，用「斜边的平方减去已知直角边的平方」；求出平方以后别忘了再开方． 2．若一个三角形的三边长分别是 14、48、50，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】 B 【解析】 先找出最长边 50，再把另外两条较短边的平方和与它的平方作比较： ，而 ， 所以 ，由勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形．选 B． 【解题提示】判断形状时一定要先挑出最长边，再把两条较短边的平方和与它的平方作比较，不能三边一起平方相加． 3．如图，每个小正方形的边长都是 1，点 A、B 都落在格点上，则线段 AB 的长是（　　） A．5 B． C． D． 【答案】 B 【解析】 把 AB 放进一个直角三角形里：从点 A 走到点 B，水平方向跨过 3 格，竖直方向跨过 2 格． 所以 ．选 B． 【解题提示】方格纸中求两点间的距离，先数出「横向格数」和「纵向格数」，它们就是直角三角形的两条直角边． 4．如图，在长方形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8，将长方形沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在长方形外的点 E 处，BE 与 AD 相交于点 F，则 DF 的长是（　　） A．5 B． C．4 D． 【答案】 B 【解析】 折叠使 ∠EBD 与 ∠CBD 相等，所以 ∠FBD = ∠CBD． 长方形中 AD ∥ BC，由两直线平行、内错角相等得 ∠FDB = ∠CBD， 于是 ∠FBD = ∠FDB，△BDF 有两个角相等，所以 ． 设 ，则 ． ∠A = 90°，在 Rt△ABF 中，，即 ， 展开得 ，，所以 ．选 B． 【解题提示】折叠加上对边平行，几乎总能得到等腰三角形：折叠给出一对角相等，平行线又给出内错角相等，两个角一凑，两条边就相等了． 5．如图，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的三个顶点都是格点，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D．△ABC 是钝角三角形 【答案】 D 【解析】 用网格把三条边的平方分别算出来：，，，所以 A、B、C 三个结论都正确． 又因为 ，所以 △ABC 是直角三角形，而不是钝角三角形．选 D． 【解题提示】方格纸中判断三角形形状，先把每条边都「横竖拆成两条直角边」算出平方，再比较两条短边的平方和与最长边的平方；要养成「每个选项都验一遍」的习惯． 6．如图，直角三角形 ABC 中，∠C 是直角，斜边 AB = 10，两条直角边的长度之和是 14，则 △ABC 的面积是（　　） A．24 B．48 C．96 D．14 【答案】 A 【解析】 设两条直角边长分别是 a、b，则 ，且由勾股定理得 ． 由 得 ，所以 ． 因此 ．选 A． 【解题提示】已知两条直角边的和与斜边求面积时，不必分别求出两条直角边；用 整体算出 就够了． 7．如图，直线 l 表示一条笔直的公路，A、B 两个小区在公路的同侧，AC ⊥ l 于点 C，BD ⊥ l 于点 D．已知 AC = 1 km，BD = 3 km，CD = 3 km．现要在公路 l 上建一个公交站，使该站到 A、B 两个小区的距离之和最短，则这个和的最小值是（　　） A．4 km B．5 km C． km D． km 【答案】 B 【解析】 把点 A 作关于直线 l 的对称点 A′，则 ，于是 ． 当点 P 落在直线 A′B 上时， 最小，最小值就是线段 A′B 的长． 过点 A′ 作直线 l 的垂线，与过点 B 且平行于 l 的直线相交，得到一个直角三角形，它的两条直角边分别是 （km）与 （km）， 所以 （km）．即 PA + PB 的最小值是 5 km．选 B． 【解题提示】「两条折线之和最短」，先把其中一个点沿直线对称到另一侧，把折线拉直，再用勾股定理求这条线段的长度． 8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．将一架梯子斜靠在左墙上，此时梯子底端到左墙脚的距离是 0.7 m，梯子顶端离地面的高度是 2.4 m；保持梯子底端的位置不动，把梯子斜靠在右墙上，此时梯子顶端离地面的高度是 1.5 m．则该小巷的宽度是（　　） A．2 m B．2.4 m C．2.7 m D．3 m 【答案】 C 【解析】 梯子的长度始终保持不变．靠在左墙上时，墙、地面与梯子围成一个直角三角形，梯子是斜边， 梯子长 （m）． 梯子靠在右墙上时，梯子仍是斜边，底端到右墙脚的距离为 （m）． 所以小巷的宽度是 （m）．选 C． 【解题提示】「梯子换个位置靠」的题，梯长始终不变，它就是每次列式的斜边；两次分别算出底端到墙脚的距离，就能把巷宽拼出来． 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB 比直角边 BC 长 2，另一直角边 AC = 6，则 AB 的长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】 C 【解析】 设 ，则 ． 因为 ∠C = 90°，由勾股定理得 ，即 ． 展开得 ，所以 ，． 检验：，符合题意．选 C． 【解题提示】题目里出现「比……长几」时，把最短的那条边设为 ，其余线段都用含 的式子表示，再套勾股定理列方程． 10．如图，一个长方体的长、宽、高分别是 5 cm、4 cm、12 cm，A、B 是它相对的两个顶点（AB 是一条体对角线）．一只蚂蚁沿长方体的表面从点 A 爬到点 B，则它爬行的最短路程是（　　） A．13 cm B．15 cm C．17 cm D． cm 【答案】 B 【解析】 把长方体相邻的两个面展开到同一个平面内，蚂蚁爬行的路线就变成了一条线段． 展开的方式不同，得到的长方形的尺寸也不同，需要逐一比较： ① 展开「长 5」与「宽 4」所在的两个面，线段跨过 （cm），竖直方向为 12 cm，（cm）； ② 展开「长 5」与「高 12」所在的两个面，线段跨过 （cm），另一方向为 4 cm，（cm）； ③ 展开「宽 4」与「高 12」所在的两个面，线段跨过 （cm），另一方向为 5 cm，（cm）． 因为 ，所以最短路程是 15 cm．选 B． 【解题提示】长方体表面爬行有「三种展开方式」，必须三种都算出来再比较，只算一种很容易漏掉真正最短的那条路线． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB = 17，直角边 AC = 8，则 △ABC 的面积是 ______． 【答案】 60 【解析】 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ． 所以 △ABC 的面积是 ． 【解题提示】先用勾股定理把第三条边求出来，再用「底乘高除以 2」算面积；直角三角形的两条直角边正好互为底和高． 12．如图，等边三角形 ABC 的边长是 8，则 BC 边上的高是 ______． 【答案】 【解析】 过点 A 作 AD ⊥ BC，垂足为点 D．因为 △ABC 是等边三角形，所以 BC 边上的高也是中线，． 在 Rt△ABD 中，． 【解题提示】等边三角形作底边上的高，会把它分成两个全等的直角三角形；这条高同时平分底边，再用勾股定理就能求出高的长． 13．如图，A、B 是两个村庄，分别位于一条笔直的河 l 的两侧，AC ⊥ l 于点 C，BD ⊥ l 于点 D．已知 AC = 5 km，BD = 3 km，CD = 8 km．现要在河边 l 上建一个水泵站，使该站到 A、B 两个村庄的距离相等，则该站到点 C 的距离是 ______ km． 【答案】 3 【解析】 设该站到点 C 的距离为 km，则它到点 D 的距离为 （km）． 因为 AC ⊥ l，所以该站、点 A、点 C 构成直角三角形，两条直角边分别为 与 ， 于是该站到 A 的距离的平方是 ； 同理，该站到 B 的距离的平方是 ． 由题意该站到 A、B 的距离相等，所以 ． 展开得 ，，所以该站到点 C 的距离是 3 km． 【解题提示】「到两点距离相等」的点在两点连线的垂直平分线上；本题直接设未知线段，把两条距离分别用勾股定理表示出来，再令它们相等． 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，垂足为点 D．若 AD = 4，BD = 9，则 CD 的长是 ______． 【答案】 6 【解析】 设 ，则 ，． 因为 ∠ACB = 90°，所以 ， 即 ，，， 因为 ，所以 ． 【解题提示】同一条高 CD 出现在两个直角三角形里，先用它把 AC、BC 的平方表示出来，再套一次勾股定理就得到关于 的方程． 15．如图，在 △ABC 中，AC = 6，BC = 8，AB = 10，点 E 是边 BC 上一点，将 △ACE 沿直线 AE 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 D 处，则 △ABE 的面积是 ______． 【答案】 15 【解析】 因为 ，所以 △ABC 是直角三角形，且 ∠C = 90°． 折叠后 △ADE 与 △ACE 全等，所以 ，，∠ADE = ∠C = 90°，即 DE ⊥ AB． 于是 ．设 ，则 ． 在 Rt△BDE 中，，即 ， 展开得 ，，，所以 ． 因为 ∠C = 90°，所以 AC 是 △ABE 中 BE 边上的高， ． 【解题提示】折叠把 ∠C 的直角搬到了点 D 处，图上就多出一个以 D 为直角顶点的直角三角形；求出线段长以后再回到 △ABE 算面积． 16．如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 8，BC = 6，点 D 是斜边 AC 上一点，连接 BD，将 △BCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处；点 F 是边 AB 上一点，将 △ADF 沿直线 DF 折叠，使点 A 与点 E 重合．则 ∠BEF = ______°，AF 的长是 ______． 【答案】 90； 【解析】 第一次折叠使 ，第二次折叠使 ，所以 ，即点 D 是斜边 AC 的中点． 由折叠还可知 ∠BED = ∠BCD，∠DEF = ∠DAF． 因为点 D 在斜边 AC 上，所以 ∠BCD = ∠BCA，∠DAF = ∠BAC． 在 Rt△ABC 中，∠BCA + ∠BAC = 90°， 所以 ∠BEF = ∠BED + ∠DEF = ∠BCA + ∠BAC = 90°． 于是 △BEF 是直角三角形，且 ．设 ，则 ． 在 Rt△BEF 中，，即 ， 展开得 ，，所以 ． 【解题提示】两次折叠中「点 E」既是点 C 的对应点，又是点 A 的对应点，于是 、 同时成立，这一步能立刻看出 D 是斜边的中点． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7 分）如图，小明在广场上放风筝，他的手离地面的距离 AB = 1.5 m，点 B 在水平地面上．此时风筝位于点 C 处，风筝线 AC = 50 m，点 C 到地面的垂线段 CD 的垂足 D 与点 B 的水平距离 BD = 30 m． (1) 求风筝离地面的高度 CD； (2) 小明把风筝线收短 16 m，若风筝始终保持在原来的竖直线上，求风筝下降的高度． 【答案】 (1) CD = 41.5 m；(2) 下降 24 m 【解析】 (1) 因为 AB ⊥ 地面，CD ⊥ 地面，所以 AB ∥ CD．过点 A 作一条与地面平行的直线，与 CD 相交， 得到一个直角三角形，其中一条直角边等于 （m），斜边等于 （m），另一条直角边就是「风筝比手高出的高度」． 所以 （m）， 即 （m）． (2) 收线后风筝线长 （m），水平距离仍是 30 m， 此时风筝高出小明手的高度为 （m）， 所以风筝下降的高度为 （m）． 【解题提示】风筝问题要把「手的离地高度」单独拎出来：风筝线、水平距离与「风筝比手高出多少」构成直角三角形，最后再把手的离地高度加回去． 18．（7 分）如图，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好拼成一个直角梯形 ABCD．其中 AD ∥ BC，∠A = ∠B = 90°，点 E 在边 AB 上，且 AD = a，AE = b，BC = b，BE = a，两个直角三角形的斜边长都是 c． (1) 用含 a、b 的式子表示直角梯形 ABCD 的面积； (2) 用含 a、b、c 的式子表示图中三个直角三角形的面积之和； (3) 由 (1)(2) 的结果验证勾股定理． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 见解析，得 【解析】 (1) 直角梯形 ABCD 的上底 ，下底 ，高 ， 所以 ． (2) △ADE 的两条直角边是 AD = a、AE = b，面积是 ； △BEC 的两条直角边是 BE = a、BC = b，面积也是 ； 因为 ，且 ∠DEC = 90°，所以 △DEC 是等腰直角三角形，面积是 ． 所以三个三角形的面积之和为 ． (3) 因为拼成的梯形面积等于三个三角形的面积之和，所以 ． 展开左边得 ， 两边同时减去 、再同时乘 2，得 ，即勾股定理成立． 【解题提示】「拼图验证」题的通用思路是：同一个图形用两种方法算面积，结果必然相等，于是得到一个恒等式；把它整理、化简，就还原出了勾股定理． 19．（7 分）如图，台风中心沿东西方向的直线 l 由西向东移动，监测站 A 到直线 l 的距离 AD = 60 km，D 为垂足．当台风中心位于直线 l 上的点 B 处时，测得 AB = 100 km． (1) 求 BD 的长； (2) 以台风中心为圆心、半径 100 km 的圆形区域为受影响区域，请判断监测站 A 是否会受到这次台风的影响，并说明理由； (3) 若台风中心移动的速度为 20 km/h，求监测站 A 受台风影响的持续时间． 【答案】 (1) BD = 80 km；(2) 会受到影响；(3) 8 小时 【解析】 (1) 因为 AD ⊥ l，所以 △ABD 是直角三角形，AD 就是监测站到台风移动路线的距离， （km）． (2) 因为 ，即监测站到台风移动路线的最短距离小于影响半径，所以监测站 A 会受到这次台风的影响． (3) 设台风中心移动到点 E 处时 A 开始受到影响，此时 km，在 Rt△ADE 中，（km）． 由对称性可知，台风中心移动到点 F 处时影响结束，且 km， 所以受影响的路线长 （km）． 所以监测站 A 受台风影响的时间为 （小时）． 【解题提示】判断是否受影响，就看「到台风移动路线的最短距离」与「影响半径」谁大；求影响时长时，受灾路线关于垂足是对称的，把两段加起来再除以速度． 20．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 8，AC = 10，点 M、N 分别在边 AC、AB 上，连接 MN，将 △AMN 沿直线 MN 折叠，使点 A 恰好落在边 BC 上的点 D 处．已知 BD = BC，求 BN 的长． 【答案】 【解析】 由 ∠B = 90° 得 ， 所以 ． 折叠使点 A 落在点 D 处，说明折痕 MN 就是线段 AD 的垂直平分线，于是 ． 设 ，则 ，所以 ． 因为 ∠B = 90°，在 Rt△NBD 中，， 即 ，展开得 ，， 所以 ． 【解题提示】「折叠使某点落在一条边上」时，折痕就是起点与落点所连线段的垂直平分线，折痕上任意一点到这两个点的距离相等，这正是列方程的依据． 21．（8 分）如图，一个圆柱形玻璃杯的底面周长是 12 cm，高是 12 cm．在杯内壁离杯底 8 cm 的点 A 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁、离杯上沿 4 cm 且与蜂蜜相对的点 B 处．求蚂蚁从点 B 爬到点 A 的最短路程． 【答案】 10 cm 【解析】 蚂蚁要从杯外壁爬到杯内壁，必须先经过杯口，所以把杯内壁沿杯口翻折到杯外，与杯外壁摊在同一个平面上． 水平方向：点 A 与点 B 相对，绕过去要走过半个底面周长，即 （cm）． 竖直方向：点 B 离杯上沿 4 cm，在杯口的下面；点 A 离杯底 8 cm，即离杯口 （cm），翻折后它位于杯口上方 4 cm 处， 所以竖直方向的总距离为 （cm）． 展开后两点之间线段最短，最短路程为 （cm）． 所以蚂蚁爬行的最短路程是 10 cm． 【解题提示】「翻过杯口」的题目要把内壁沿杯口翻折到外侧，于是竖直方向的距离变成「两点到杯口的距离之和」，再与半个底面周长一起放进直角三角形． 22．（8 分）如图，某学校操场边原有一条笔直的小路 AB，花园位于点 C 处，点 A、H、B 在同一条直线上，原有小路 AC 把花园与操场相连，且 AB = AC．因操场改造，小路 AC 封闭，学校在操场边新建了取水点 H，并修一条新路 CH，且 CH ⊥ AB．测得 CH = 24 米，HB = 18 米．求新路 CH 比原路 CA 少多少米？ 【答案】 1 米 【解析】 因为 CH ⊥ AB，所以 △CHA 与 △CHB 都是直角三角形，∠CHA = ∠CHB = 90°． 设 （米）．因为点 H 在线段 AB 上，所以 ． 在 Rt△CHA 中，，即 ． 展开得 ，，所以 ． 即原路 米，而新路 米， 所以新路比原路少 （米）． 【解题提示】「两条线段相等」再加上一个直角，是最常见的列方程条件：把各条线段都用同一个未知数表示出来，再用勾股定理就得到一个一元一次方程． 23．（7 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8，点 E 是边 BC 上一点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处．求 BE 的长和 △AEF 的面积． 【答案】 ； 【解析】 由折叠可知 △AFE ≌ △ABE，所以 ，，∠AFE = ∠B = 90°，即 EF ⊥ AC． 在 Rt△ABC 中，， 所以 ． 设 ，则 ． 在 Rt△CEF 中，∠EFC = 90°，，即 ， 展开得 ，，所以 ． 所以 ． 【解题提示】折叠把 ∠B 的直角搬到了点 F 处，图上就出现了 Rt△CEF；先在 Rt△ABC 中求出 AC，就能得到 FC 的长，再设未知数列方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章勾股定理【能力提升卷・单元卷 3】2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：1.1 探索勾股定理、1.2 一定是直角三角形吗、1.3 勾股定理的应用。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC，垂足为点 D，AB = 26，AD = 24，则 BD 的长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 2．若一个三角形的三边长分别是 14、48、50，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．如图，每个小正方形的边长都是 1，点 A、B 都落在格点上，则线段 AB 的长是（　　） A．5 B． C． D． 4．如图，在长方形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8，将长方形沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在长方形外的点 E 处，BE 与 AD 相交于点 F，则 DF 的长是（　　） A．5 B． C．4 D． 5．如图，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的三个顶点都是格点，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D．△ABC 是钝角三角形 6．如图，直角三角形 ABC 中，∠C 是直角，斜边 AB = 10，两条直角边的长度之和是 14，则 △ABC 的面积是（　　） A．24 B．48 C．96 D．14 7．如图，直线 l 表示一条笔直的公路，A、B 两个小区在公路的同侧，AC ⊥ l 于点 C，BD ⊥ l 于点 D．已知 AC = 1 km，BD = 3 km，CD = 3 km．现要在公路 l 上建一个公交站，使该站到 A、B 两个小区的距离之和最短，则这个和的最小值是（　　） A．4 km B．5 km C． km D． km 8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．将一架梯子斜靠在左墙上，此时梯子底端到左墙脚的距离是 0.7 m，梯子顶端离地面的高度是 2.4 m；保持梯子底端的位置不动，把梯子斜靠在右墙上，此时梯子顶端离地面的高度是 1.5 m．则该小巷的宽度是（　　） A．2 m B．2.4 m C．2.7 m D．3 m 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB 比直角边 BC 长 2，另一直角边 AC = 6，则 AB 的长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 10．如图，一个长方体的长、宽、高分别是 5 cm、4 cm、12 cm，A、B 是它相对的两个顶点（AB 是一条体对角线）．一只蚂蚁沿长方体的表面从点 A 爬到点 B，则它爬行的最短路程是（　　） A．13 cm B．15 cm C．17 cm D． cm 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB = 17，直角边 AC = 8，则 △ABC 的面积是 ______． 12．如图，等边三角形 ABC 的边长是 8，则 BC 边上的高是 ______． 13．如图，A、B 是两个村庄，分别位于一条笔直的河 l 的两侧，AC ⊥ l 于点 C，BD ⊥ l 于点 D．已知 AC = 5 km，BD = 3 km，CD = 8 km．现要在河边 l 上建一个水泵站，使该站到 A、B 两个村庄的距离相等，则该站到点 C 的距离是 ______ km． 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，垂足为点 D．若 AD = 4，BD = 9，则 CD 的长是 ______． 15．如图，在 △ABC 中，AC = 6，BC = 8，AB = 10，点 E 是边 BC 上一点，将 △ACE 沿直线 AE 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 D 处，则 △ABE 的面积是 ______． 16．如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 8，BC = 6，点 D 是斜边 AC 上一点，连接 BD，将 △BCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处；点 F 是边 AB 上一点，将 △ADF 沿直线 DF 折叠，使点 A 与点 E 重合．则 ∠BEF = ______°，AF 的长是 ______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7 分）如图，小明在广场上放风筝，他的手离地面的距离 AB = 1.5 m，点 B 在水平地面上．此时风筝位于点 C 处，风筝线 AC = 50 m，点 C 到地面的垂线段 CD 的垂足 D 与点 B 的水平距离 BD = 30 m． (1) 求风筝离地面的高度 CD； (2) 小明把风筝线收短 16 m，若风筝始终保持在原来的竖直线上，求风筝下降的高度． 18．（7 分）如图，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好拼成一个直角梯形 ABCD．其中 AD ∥ BC，∠A = ∠B = 90°，点 E 在边 AB 上，且 AD = a，AE = b，BC = b，BE = a，两个直角三角形的斜边长都是 c． (1) 用含 a、b 的式子表示直角梯形 ABCD 的面积； (2) 用含 a、b、c 的式子表示图中三个直角三角形的面积之和； (3) 由 (1)(2) 的结果验证勾股定理． 19．（7 分）如图，台风中心沿东西方向的直线 l 由西向东移动，监测站 A 到直线 l 的距离 AD = 60 km，D 为垂足．当台风中心位于直线 l 上的点 B 处时，测得 AB = 100 km． (1) 求 BD 的长； (2) 以台风中心为圆心、半径 100 km 的圆形区域为受影响区域，请判断监测站 A 是否会受到这次台风的影响，并说明理由； (3) 若台风中心移动的速度为 20 km/h，求监测站 A 受台风影响的持续时间． 20．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 8，AC = 10，点 M、N 分别在边 AC、AB 上，连接 MN，将 △AMN 沿直线 MN 折叠，使点 A 恰好落在边 BC 上的点 D 处．已知 BD = BC，求 BN 的长． 21．（8 分）如图，一个圆柱形玻璃杯的底面周长是 12 cm，高是 12 cm．在杯内壁离杯底 8 cm 的点 A 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁、离杯上沿 4 cm 且与蜂蜜相对的点 B 处．求蚂蚁从点 B 爬到点 A 的最短路程． 22．（8 分）如图，某学校操场边原有一条笔直的小路 AB，花园位于点 C 处，点 A、H、B 在同一条直线上，原有小路 AC 把花园与操场相连，且 AB = AC．因操场改造，小路 AC 封闭，学校在操场边新建了取水点 H，并修一条新路 CH，且 CH ⊥ AB．测得 CH = 24 米，HB = 18 米．求新路 CH 比原路 CA 少多少米？ 23．（7 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8，点 E 是边 BC 上一点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处．求 BE 的长和 △AEF 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $