第11讲 计数与代数·枚举分类（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级上册奥数思维培优 第11讲 计数与代数 · 枚举分类 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第11讲 专题 计数与代数——枚举分类 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 加法；乘法；有序列举 核心方法 分类用加法，分步用乘法 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握加法原理与乘法原理；会用枚举法有序计数。 过程与方法 经历“分类→分步→枚举”的思维过程。 思维品质 培养有序思考、不重不漏的严谨性。 情感应用 感受计数中的数学之美（路线、搭配、图形）。 三、情境导入 小明从家到学校，中途经过一个十字路口。从家到路口有3条路，从路口到学校有2条路。 动脑筋：小明从家到学校共有多少种不同走法？ 悬念：是3+2=5种？还是3×2=6种？ 图1 从家到学校的路线 今天我们就来学习两大计数原理，搞清楚什么时候用加法、什么时候用乘法。 四、知识导航 计数两大原理： 图2 加法原理与乘法原理对比 原理 适用场景 关键词 公式 加法原理 完成一件事有几类方法 分类（一步到位） 总方法 = 各类方法数之和 乘法原理 完成一件事分几步走 分步（缺一不可） 总方法 = 各步方法数之积 枚举法 对象较少时 有序列举，不重不漏 逐一枚举再数总数 五、易错辨析 常见错误 正确做法 加法乘法混淆 分类用加法，分步用乘法 列举重复或遗漏 按顺序列举，如从小到大 忘记特殊限制 如0不能在最高位 数图形漏数 按大小/方向分类数 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本原理到图形计数，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【加法原理·分类计数】 题目：从甲地到乙地，每天有3班火车、2班汽车。一天中从甲地到乙地共有多少种不同走法？ 分析：乘火车或乘汽车都能直接从甲到乙，这是“分类”，用加法原理。 详解： 第1类：乘火车，有3种走法。 第2类：乘汽车，有2种走法。 两类任选其一都能到达，共 3+2=5（种）。 图3 加法原理路线图 方法点睛：分类完成一件事，各类方法数相加。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：书架上层有4本故事书，下层有5本科普书。小明任取一本，有多少种不同取法？ 解答： 上层取：4种；下层取：5种。共 4+5=9（种）。 点拨：与例1同法：任取一类即可，用加法。 例2【乘法原理·分步计数】 题目：小明有3件不同上衣和2条不同裤子，他选一件上衣和一条裤子搭配，共有多少种不同穿法？ 分析：选上衣是第1步，选裤子是第2步，两步缺一不可，用乘法原理。 详解： 第1步选上衣：3种选择。 第2步选裤子：2种选择。 每种上衣可配2条裤子，共 3×2=6（种）。 图4 穿衣搭配示意图 方法点睛：分步完成一件事，各步方法数相乘。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：食堂有3种主食和4种菜，小明选一种主食和一种菜，共有多少种不同搭配？ 解答： 主食3种，菜4种。共 3×4=12（种）。 点拨：与例2同法：两步缺一不可，用乘法。 例3【枚举法·数字排列】 题目：用1、2、3三张数字卡片，可以摆成多少个没有重复数字的两位数？ 分析：十位有3种选择，个位只剩2种，用乘法原理；也可逐一列举验证。 详解： 十位是1：12、13（2个）。 十位是2：21、23（2个）。 十位是3：31、32（2个）。 共 2+2+2=6（个），即 3×2=6。 图5 数字卡片枚举 方法点睛：有序列举不重不漏，再用乘法验算。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：用2、4、6三张数字卡片，可以摆成多少个没有重复数字的两位数？ 解答： 十位2：24、26；十位4：42、46；十位6：62、64。共6个。 点拨：与例3同法：。 例4【数线段】 题目：一条直线上有A、B、C、D、E五个点，以这些点为端点的线段共有多少条？ 分析：从每个点出发向右数，不回头，避免重复。 详解： 以A为左端点：AB、AC、AD、AE（4条）。 以B为左端点：BC、BD、BE（3条）。 以C为左端点：CD、CE（2条）。 以D为左端点：DE（1条）。 共 4+3+2+1=10（条）。 图6 数线段 方法点睛：n个点的线段数 。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一条直线上有4个点，以这些点为端点的线段共有多少条？ 解答： 3+2+1=6（条）。 点拨：与例4同法：n个点数线段。 例5【数三角形】 题目：从三角形顶点A向底边BC画了3条线段，把底边分成4段。图中共有多少个三角形？ 分析：每个三角形的底边都在BC上，顶点都是A。底边上有多少条线段，就有多少个三角形。 详解： 底边上有5个点（含B、C），线段数为 4+3+2+1=10。 每条线段对应一个三角形，所以共10个三角形。 图7 数三角形 方法点睛：共顶点的三角形个数 = 底边上线段总数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：从顶点向底边画了2条线段，把底边分成3段。图中共有多少个三角形？ 解答： 底边4个点：3+2+1=6（个三角形）。 点拨：与例5同法：数底边线段数。 例6【握手问题】 题目：6位老朋友聚会，每两人之间握一次手，一共要握多少次手？ 分析：每个人与其余5人握手，但甲和乙握手与乙和甲握手是同一次，需除以2。 详解： 第1人握5次，第2人再握4次，第3人再握3次…… 共 5+4+3+2+1=15（次）。 也可用 6×5÷2=15（次）。 图8 握手问题 方法点睛：n人两两握手 次。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：8位同学见面，每两人握一次手，一共要握多少次？ 解答： 7+6+5+4+3+2+1=28（次），即 8×7÷2=28。 点拨：与例6同法：n人握手。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【数字排列·含0】（某名校小升初真题） 题目：用0、1、2三张数字卡片，可以摆成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：0不能在百位。百位只能选1或2（2种），十位和个位再排剩下两个数字。 详解： 百位是1：102、120（2个）。 百位是2：201、210（2个）。 百位不能是0。共 2×2=4（个）。 方法点睛：注意0的特殊位置限制。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：用0、3、4三张数字卡片，可以摆成多少个没有重复数字的三位数？ 解答： 百位3：304、340；百位4：403、430。共4个。 点拨：与真题1同法：0不能在百位。 真题2【排队照相】（某重点中学分班考试真题） 题目：从5名同学中选2人排成一排照相，共有多少种不同排法？ 分析：排第1位有5种选择，排第2位剩4种选择，两步用乘法。 详解： 第1个位置：5种选择。 第2个位置：4种选择（剩下的人）。 共 5×4=20（种）。 方法点睛：排列有顺序：甲站左乙站右 ≠ 乙站左甲站右。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：从4名同学中选2人排成一排照相，共有多少种不同排法？ 解答： 4×3=12（种）。 点拨：与真题2同法：n选2排列 。 八、方法总结表 类型 识别特征 方法 公式 加法原理 一步到位，分类别 各类相加 乘法原理 分多步，缺一不可 各步相乘 数线段 直线上多个点 从左到右数 数三角形 共顶点看底边 数底边线段 同数线段 握手/比赛 两两配对不重复 累加或n(n−1)÷2 九、解题口诀 计数问题有两宝，加法乘法要记牢； 分类完成一步到，各类方法加一加； 分步走路缺不了，步步相乘才是宝； 数线段来握手题，n乘n减一除二了。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 书架上层有3本故事书，下层有5本科普书。任取一本有几种取法？ A2. 小明有2件上衣和3条裤子，选一件上衣和一条裤子有几种穿法？ A3. 用2、3、4三张数字卡片，能摆成多少个没有重复数字的两位数？ A4. 一条直线上有4个点，以这些点为端点的线段共有多少条？ A5. 4位同学每两人握一次手，一共握多少次？ B组 能力提升（5题） B6. 从甲到乙有3条路，从乙到丙有2条路，另有甲到丙直达2条路。从甲到丙共几种走法？ B7. 用0、1、3三张数字卡片，能摆成多少个没有重复数字的两位数？ B8. 从顶点向底边画了4条线段把底边分成5段，共多少个三角形？ B9. 8支球队进行单循环比赛（每两队赛一场），共赛多少场？ B10. 小明有3件上衣、2条裤子、2双鞋，共多少种搭配？ C组 思维挑战（5题） C11. 一个2行3列的方格网中，共有多少个长方形？ C12. 用1、2、3、4四个数字，能组成多少个没有重复数字的两位偶数？ C13. 10人聚会每两人握一次手，共握多少次？ C14. 用1、2、3、4四个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ C15. 从3名男生和2名女生中选1男1女做主持人，有多少种选法？ 十一、参考答案与详细解析 A1 上层3种+下层5种=3+5=8（种）。 A2 2×3=6（种）。 A3 十位3种×个位2种=3×2=6（个）。 A4 3+2+1=6（条）。 A5 3+2+1=6（次），即4×3÷2=6。 B6 经乙：3×2=6种；直达：2种。共6+2=8（种）。 B7 十位不能为0：十位1或3（2种），个位2种。2×2=4（个）：10、13、30、31。 B8 底边6个点：5+4+3+2+1=15（个三角形）。 B9 7+6+…+1=28（场），即8×7÷2=28。 B10 3×2×2=12（种）。 C11 横线选2条：3×2÷2=3；竖线选2条：4×3÷2=6。3×6=18（个长方形）。 C12 个位必须是2或4（2种），十位3种。2×3=6（个）：12、14、32、34、42、24。 C13 9+8+…+1=45（次），即10×9÷2=45。 C14 4×3=12（个）。 C15 男生3种×女生2种=6（种）。 十二、本讲小结 本讲核心是两大计数原理：分类完成用加法，分步完成用乘法。 数线段、数三角形、握手问题都可用累加公式 。 关键是先判断“分类”还是“分步”，再有序列举不重不漏。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 加法乘法混淆 一步到位用加法，多步缺一不可用乘法 忘记特殊限制 0不能在最高位 列举不有序 按顺序列举，避免重复或遗漏 握手问题算重 甲和乙=乙和甲，需除以2 【学习建议】本讲建议课后多观察生活中的搭配与路线问题；下讲学习第12讲必胜策略，开启奇妙的奥数思维之旅。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $