奥数思维培优 第8讲 周期与推理·余数定位（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教课标版 · 六年级上册奥数思维培优 第8讲 周期与推理 · 余数定位 —————★ ★ ★ ★ ★ ———— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第8讲 专题 周期与推理——余数定位 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 除法；有余数除法；数列规律 核心方法 找周期→算余数→定位；余0取周期最后一个 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握周期问题；会用余数定位；解决星期、日期、数列等周期问题。 过程与方法 经历“观察→找周期→用余数”的过程。 思维品质 培养归纳推理和有序思考能力。 情感应用 感受周期规律在生活中的应用（日历、彩灯等）。 三、情境导入 广场上挂了一串彩灯，按“红、黄、蓝、绿”的顺序重复排列。 动脑筋：第23盏灯是什么颜色？ 悬念：不用一盏盏数，能不能用除法快速算出来？ 图1 彩灯周期排列 这就是周期问题：找周期长度，用余数定位。余1是第一个，余0是最后一个。 四、知识导航 周期问题三步法： 图2 周期解题三步法 步骤 操作 说明 第一步 找周期 观察排列规律，确定几个一循环 第二步 算余数 总数÷周期=商……余数 第三步 定位置 余几就是第几个；余0就是最后一个 五、易错辨析 常见错误 正确做法 余数0当成没有 余0对应周期最后一个 周期找错 仔细观察几个一循环 起点搞错 从第一个开始数余数位置 星期推算忘加 算总天数时要算头算尾 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本周期到综合推理，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【基本周期·彩灯】 题目：彩灯按“红、黄、蓝、绿”4个一循环排列。第23盏灯是什么颜色？ 分析：周期=4，用23÷4求余数。 详解： 23÷4=5……3。 余3，对应第3个颜色：蓝色。 答：第23盏是蓝色。 图3 彩灯周期 方法点睛：余几就是第几个；余0是最后一个。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：学校运动会操场边插彩旗，按 “红、黄、蓝”3 面一组重复排列。第 20 面是什么颜色？ 解答： 20÷3=6……2；余2→第2个→黄色。 点拨：与例1同法：总数÷周期看余数。 例2【星期几】 题目：今天是星期一，第50天以后是星期几？ 分析：星期7天一循环，周期=7。 详解： 50÷7=7……1。 余1，从星期一往后数1天→星期二。 答：第50天是星期二。 图4 星期周期 方法点睛：星期周期7，余数从今天往后数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：今天星期三，再过 30 天就是小明的生日。生日那天星期几？ 解答： 30÷7=4……2；从星期三往后2天→星期五。 点拨：与例2同法：余数从今天往后数。 例3【数列周期】 题目：数列1、3、5、7、9、1、3、5、7、9……第88个数是几？ 分析：5个数一循环，周期=5。 详解： 88÷5=17……3。 余3，对应第3个：5。 答：第88个数是5。 图5 数列周期 方法点睛：数列周期：看几个数一循环。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：有一列数按 2、4、6、8…… 规律排列，第 55 个数是几？ 解答： 55÷4=13……3；余3→第3个→6。 点拨：与例3同法：找周期算余数。 例4【日期推算】 题目：1月1日是星期三，1月31日是星期几？ 分析：从1日到31日共30天，7天一循环。 详解： 31−1=30天。 30÷7=4……2。 从星期三往后2天→星期五。 答：1月31日是星期五。 图6 日期推算 方法点睛：算间隔天数再÷7。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：1 月 1 日星期一，1 月 25 日是学校艺术节，艺术节星期几？ 解答： 25−1=24天；24÷7=3……3；从星期一往后3天→星期四。 点拨：与例4同法：间隔天数÷7。 例5【图形周期】 题目：图形按●▲■●▲■……排列。第40个图形是什么？ 分析：3个图形一循环，周期=3。 详解： 40÷3=13……1。 余1，对应第1个：●。 答：第40个是●。 图7 图形周期 方法点睛：图形周期：观察几个一循环。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：小芳按★☆◆…… 顺序贴装饰贴纸，第 50 张是什么图形？ 解答： 50÷3=16……2；余2→第2个→☆。 点拨：与例5同法：找周期算余数。 例6【循环小数】 题目：1÷7=0.142857142857……，小数点后第100位数字是几？ 分析：循环节142857，周期=6。 详解： 100÷6=16……4。 余4，对应第4位：8。 答：第100位是8。 图8 循环小数 方法点睛：循环小数：找循环节长度。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：1÷11 商是 0.090909……，小数点后第 50 位数字是几？ 解答： 周期=2；50÷2=25……0；余0→最后一个→9。 点拨：与例6同法：余0取最后一个。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【日历周期】（某名校小升初真题） 题目：2025年1月1日是星期三，2025年2月1日是星期几？（1月有31天） 分析：从1月1日到2月1日共31天。 详解： 31÷7=4……3。 从星期三往后3天→星期六。 答：2月1日是星期六。 方法点睛：跨月日期：算总天数÷7。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：2025 年 1 月 1 日星期三，3 月 1 日是植树节，植树节星期几？ 解答： 31+28=59天；59÷7=8……3；星期三往后3天→星期六。 点拨：与真题1同法：总天数÷7。 真题2【数列推理】（某重点中学分班考试真题） 题目：有一列数：2、0、2、2、4、8、2、0、2、2、4、8……第60个数是几？ 分析：观察发现6个数一循环：2、0、2、2、4、8。 详解： 60÷6=10……0。 余0，对应最后一个：8。 答：第60个数是8。 方法点睛：长数列：先找循环节。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：有一列数按 3、1、4、1、5…… 规律排列，第 48 个数是几？ 解答： 周期=5；48÷5=9……3；余3→第3个→4。 点拨：与真题2同法：找循环节算余数。 八、方法总结表 类型 周期长度 余数含义 定位方法 彩灯/图形 观察排列数 余几=第几个 从第一个数余位 星期 7天 余几往后数 从今天往后数 数列 观察循环节 余几=第几个 看循环节第几位 日期 7天 间隔天数÷7 从已知日往后数 循环小数 循环节长 余几=第几位 看循环节第几位 九、解题口诀 周期问题并不难，找对周期第一步； 总数除以周期长，余几就看第几位； 余0就是最后一，星期从今天往后数； 日期间隔要算准，循环节里找答案。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 彩灯红黄蓝3个一循环，第14盏什么颜色？ A2. 今天星期二，第20天后星期几？ A3. 数列1、2、3、1、2、3……第40个数是几？ A4. 图形○△□○△□……第25个是什么？ A5. 1÷3=0.333……第50位数字是几？ B组 能力提升（5题） B6. 彩旗红黄绿蓝4个一循环，第35面什么颜色？ B7. 今天星期四，第45天后星期几？ B8. 数列2、4、6、8、2、4、6、8……第70个数是几？ B9. 1月1日星期一，1月20日星期几？ B10. 图形★☆●▲★☆●▲……第55个是什么？ C组 思维挑战（5题） C11. 2025年1月1日星期三，2月1日星期几？ C12. 数列1、1、2、3、5、1、1、2、3、5……第100个数是几？ C13. 1÷7=0.142857…，小数点后第200位是几？ C14. 彩灯按红、黄、红、蓝、绿5个一循环，前50盏中有多少盏红色？ C15. 数列3、6、9、12、3、6、9、12……第80个数是几？ 十一、参考答案与详细解析 A1 14÷3=4……2；余2→黄色。 A2 20÷7=2……6；星期二往后6天→星期一。 A3 40÷3=13……1；余1→1。 A4 25÷3=8……1；余1→○。 A5 周期=1；50÷1=50……0；余0→3。 B6 35÷4=8……3；余3→绿色。 B7 45÷7=6……3；星期四往后3天→星期日。 B8 70÷4=17……2；余2→4。 B9 20−1=19天；19÷7=2……5；星期一往后5天→星期六。 B10 55÷4=13……3；余3→●。 C11 31÷7=4……3；星期三往后3天→星期六。 C12 100÷5=20……0；余0→最后一个→5。 C13 200÷6=33……2；余2→第2位→4。 C14 50÷5=10组；每组2盏红；共20盏红色。 C15 80÷4=20……0；余0→最后一个→12。 十二、本讲小结 本讲核心是周期问题三步法：找周期、算余数、定位置。余几就是第几个，余0就是最后一个。 星期和日期要从已知日往后数，循环小数找循环节。 关键是先找准周期长度。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 余0当没有 余0对应周期最后一个 周期找错 仔细观察几个一循环 日期忘算间隔 用结束日−开始日算天数 星期方向错 从已知日往后数余数天 学习建议：本讲建议课后多观察生活中的周期现象（日历、红绿灯、星期）；下面我们学习第9讲组合图形，继续探索图形与几何领域的奥秘。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $